Diagonalmatrix bestimmen

27.03.2012, 20:03	MarOl1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Diagonalmatrix bestimmen Meine Frage: a) Berechnen Sie die Eigenwerte der reellen Matrix $\begin{eqnarray} A = \begin{pmatrix} 2& -1& -1\\ -1& 2& -1\\ -1& -1& 2\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ sowie zugehorige Eigenvektoren. b) Geben Sie eine orthogonale Matrix P an, so dass $\begin{eqnarray} P^{T}AP \end{eqnarray}$ eine Diagonalmatrix ist. Meine Ideen: Als Eigenvektoren habe ich: $\begin{eqnarray} \vec{x1} = \begin{pmatrix} 1\\ 1\\ 1\end{pmatrix} , \vec{x2} = \begin{pmatrix} -1\\ 1\\ 0\end{pmatrix} ,<br /> \vec{x3} = \begin{pmatrix} -1\\ 0\\ 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Bei denen bin ich mir auch ziehmlich sicher, dass sie stimmen, trotzdem wäre kurze Bestätigung nett Um nun die Matrix P zu bekommen, damit die Bedingung aus b) gilt, schreibt man die Eigenvektoren von A als Spalten in eine Matrix oder nicht? $\begin{eqnarray} \Rightarrow P = \begin{pmatrix} 1& -1& -1\\ 1& 1& 0\\ 1& 0& 1\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Aber wenn ich nun $\begin{eqnarray} P^{T}AP \end{eqnarray}$ rechne, bekomme ich folgende Matrix: $\begin{eqnarray} \begin{pmatrix} 0& 0& 0\\ 0& 6& 3\\ 0& 3& 6\end{pmatrix} \end{eqnarray}$ ...welche meiner Meinung nach keine Diagonalgestalt (unter und über der Diagonalen nur Nullen?) hat. Kann mir jemand sagen, wo ich mich verrechnet, bzw was ich falsch gemacht habe? Schonmal Danke an alle Helfer!
27.03.2012, 21:05	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Um die Diagonalmatrix mit $\begin{eqnarray} P^{T}AP \end{eqnarray}$ ausrechnen zu könne muss P eine orthogonale Matrix sein, sprich die EV müssen eine orthonormal Basis bilden. Alternativ die Diagonalmatrix mit $\begin{eqnarray} P^{-1}AP \end{eqnarray}$ berechnen.
27.03.2012, 21:15	MarOl1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Also muss ich die Eigenvektoren mit Gram-Schmidt orthogonalisieren und hab bei der MAtrixmultiplikation anschließend die diagonalgestalt, verstehe. ohne orthogonalisierung muss ich einfach nur mit der Inversen von P rechnen und würde auf das selbe ergebnis kommen, hab ich das richtig verstanden? LG
27.03.2012, 21:17	galoisseinbruder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja.
27.03.2012, 23:08	MarOl1992	Auf diesen Beitrag antworten »
Habe nun für P die Matrix: $\begin{eqnarray} P = \begin{pmatrix} \frac{1}{\sqrt{3} } & -\frac{1}{\sqrt{2} } & -\frac{1}{\sqrt{6} } \\ \frac{1}{\sqrt{3} } & \frac{1}{\sqrt{2} } & -\frac{1}{\sqrt{6} } \\ \frac{1}{\sqrt{3} } & 0 & \frac{2}{\sqrt{6} } \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Stimmt das nun? LG

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