Gruppe, Halbgruppe, Ring? |
| 28.03.2012, 16:28 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » |
| Gruppe, Halbgruppe, Ring? Thanks for your help! |
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| 28.03.2012, 16:46 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
| RE: Gruppe,Halbgruppe,Ring ??? Ist das Absicht, dass das im Schulforum gestellt wurde? Eigentlich ist sowas eher Uni-Mathe.... Man kann da einfach mal die Defintionen nachschlagen, eine Halbgruppe ist eine Menge, auf die eine Verknüpfung definiert ist und in der das Assoziativgesetz gilt. Ein Beispiel sind die natürlichen Zahlen mit der Verknüpfung +. Eine Gruppe muss nun zusätzlich ein neutrales Element enthalten und ein bezüglich der Verknüpfung inverses Element, ein Beispiel ist hier die Menge der ganzen Zahlen mit der Verknüpfung +. Ein Ring ist eine Menge, auf die 2 Verknüpfungen definiert sind und zwar so, dass (R,+) eine Gruppe ist, in der zusätzlich das Kommutativgesetz gilt (eine sogenannte kommutative oder auch abelsche Gruppe) und (R,*) ist eine Halbgruppe, so dass die Distributivgesetze gelten. Existiert bezüglich * ein neutrales Element, so sprechen wir von einem Ring mit 1. Ist der Ring Nullteilerfrei, so gilt für alle a,b aus dem Ring a*b=0 --> a=0 oder b=0 Ein einfaches Beispiel für einen (nullteilerfreien) Ring mit 1 sind die ganzen Zahlen mit der üblichen addition und Multiplikation. Wie gesagt, sollte aber nicht schwer sein, das nachzuschlagen... |
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| 28.03.2012, 17:10 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Hm ich mache diesen Stoff in der Fachhochschulreife, dachte nicht das sowas nur an der Uni dran kommt,aber das baut mich auf 
.Hm, mir ist eigentlich immer noch unklar, was (R,+) bedeutet. Es ist eine Verknüpfung mit einer Reellen Zahl, aber warum das +? |
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| 28.03.2012, 17:44 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Nein, mit reellen Zahlen hat das erst mal nichts zu tun, sondern mit einer Menge von Elementen, diese müssen auch nicht unbedingt Zahlen sein. Ich habe dir doch ein Beipspiel genannt, in dem es keine reellen Zahlen sind, nämlich den Ring der ganzen Zahlen, also die Menge . Du kannst die Verknüpfung nennen, wie du willst, die Hauotsache ist, du definierst sie.... Ich dachte aber, um es einfach zu machen greife ich auf bekannte Vrknüpfungen zurück, nämlich die stinknormale Addition in den ganzen Zahlen. Also noch mal: Die Menge der natürlcihen Zahlen bilden mit der stinknormalen Addition eine Halbgruppe, die Summe zweier natürlicher Zahlen ist wieder natürlich und es gilt das Assoziativgesetz. Die Menge der ganzen Zahlen bilden mit der stinknormalen Addition eine Gruppe (sogar eine kommutative), die Summe zweier ganzer Zahlen ist stets wieder eine ganze Zahl, es gilt das Assoziativgesetz, es gibt die 0, so dass für ein beliebiges Element z aus Z z+0=z ist und es gibt zu jedem Element ein inverses bezüglich der Addition, dieses nennen wir -z und es ist z+(-z)=0. Nun nehmen wir noch die stinknormale Multiplikation dazu. Sicherlich ist das Produkt zweier ganzer Zahlen wieder eine ganze Zahl und acuh hier gilt das Assoziativgesetz, also Halbgruppe bezüglich Multiplikation. Desweiteren gelten die Distributivgesetze und es gibt die 1, so dass z*1=z für alle z aus Z gilt. Ein Inverses haben die meisten ganzen Zahlen aber nicht bezüglich der Multiplikation, aber es gibt keine Nullteiler, denn ein Produkt von zwei ganzen Zahlen, von denen keine von beiden 0 ist, wird nie 0. Damit haben wir einen perfekten Prototypen für einen Nullteilerfreien Ring mit 1. |
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| 28.03.2012, 19:27 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » |
achso ok. also gehe ich einfach die eigenschaften ( inverses element, neutrales element, multiplikation und addition ) durch um rauszufinden, ob die menge die ich habe eine gruppe,eine halbgruppe oder ein ring ist? |
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| 28.03.2012, 20:09 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Eine Menge ist erst mal weder eine Gruppe noch sonst irgendetwas, sondern nur eine "Ansammlung" von Elementen (ganz naiv gesagt). Man muss auch eine Verknüpfung auf der Menge definieren, damit man überhaupt irgendeine Algebra (also Gruppe, Ring etc.) bekommen kann. Dann kann man schauen, welche Eigenschaften diese Verknüpfung hat und um was für eine Algebra es sich dann handelt. |
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| 28.03.2012, 20:18 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also habe ich es irgendetwas, dann erstelle ich Verknüpfungen und kontrolliere dann die Eigenschaften. Danach kann ich dann sagen, ob es sich um eine Gruppe,Halbgruppe oder Ring handelt? PS: Verknüpfen ist ja auch ein komplexer Begriff. Man kann doch unter Verknüpfen +.- oder * verstehen oder? |
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| 28.03.2012, 20:39 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Und noch etliches anderes... Wenn dir der Funktionsbegriff etwas sagt, dann ist die Hintereinandersuasführung von Funktionen auch eine Verknüpfung. Der Durchschnitt oder die Vereinigung von Mengen ist eine Verknüpfung, die Bildung von Supremum und Infimum, auf der Menge aller Teiler einer natürlichen Zahl ist die Bildung von kgV und ggT eine Verknüpfung etc. So gibt es etliche verschiedene Verknüpfungen, die "natürlich" sind. Man kann sich aber auch beliebig welche definieren, zum Beispiel kann ich mir ein Intervall auf IR anschauen uns einfach sagen, ich verknüpfe zwei Elemente aus diesem Intervall durch die Operation , die Operation definiere ich also über die bereits bekannte Addition und Multiplikation. Okay, das Intervall wird mit von mir definierten Verknüpfung jetzt mit Sicherheit keine Gruppe sein..... |
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| 28.03.2012, 20:56 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also ist die Reihe einer Funktion auch eine Verknüpfung bzw. könnte ich eine Funktion auch in Gruppe,Halbgruppe und Ring unterteilen? PS: Wieso heißt der Ring eigtl. Ring? Hat das was mit der geometrischen Form zu tun oder bin ich auf dem falschen Weg? |
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| 28.03.2012, 21:00 | lgrizu | Auf diesen Beitrag antworten » |
Wie, die Reihe einer Funktion? 
Auf eine Menge von Funktionen kann man auch eine Verknüpfung bilden, zum Beispiel die Hintereinanderausführung. Mengen von Funktionen können auch Ringe bilden. Zur Wortherkunft: Der Name Ring bezieht sich nicht auf etwas anschaulich Ringförmiges, sondern auf einen organisierten Zusammenschluss von Elementen zu einem Ganzen. Diese Wortbedeutung ist in der deutschen Sprache ansonsten weitgehend verloren gegangen. |
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| 28.03.2012, 21:05 | sunnymaker | Auf diesen Beitrag antworten » |
Also sowas wie der ,,weiße Ring'' ( Hilfsorganisation ) . Man man, dann wár ich auf dem falschen Weg...habe immer einen Ring gesucht ... 
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