Kern und Bild einer Funktion |
| 29.03.2012, 11:54 | DAOF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| Kern und Bild einer Funktion f(e2) = e1 - 5e2 - e3 f(e3) = e1 + 4e2 + 2e3 e1, e2 und e3 seien die kanonischen Basen! Bestimmen Sie jeweils eine Basis von Bild f und Kern f. Ich habe dann ja die Funktion f(x,y,z) = (2x-y+z, x-5y-z, x+4y+2z). Um den Kern f zu bestimmen würde ich f(x,y,z) = 0 setzen und das GLS lösen. Muss ich die Funktion in Zeilen- oder Spaltenform setzen? 2 1 1 | 0 -1 -5 4 | 0 1 -1 2 | 0 2 -1 1 | 0 1 -5 -1 | 0 1 4 2 | 0 |
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| 29.03.2012, 11:58 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Kern und Bild einer Funktion
Richtig ist: f(x,y,z) = (2x-y-z, x-5y-z, x+4y+2z)
In Zeilenform. Die 2. Matrix ist also bis auf die 3. Komponente in der 1. Zeile richtig. |
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| 29.03.2012, 12:34 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
RE: Kern und Bild einer Funktion
Wenn ich darin den ersten Einheitsvektor einsetze, erhalte ich f(e1)=(2,1,1)=2e1+e2+e3 und nicht 2e1-e2-e3. Die Bilder der Basisvektoren sind doch die Spalten der Abbildungsmatrix, oder? Also würde ich f(x,y,z)=(2x+y+z,-x-5y+4z,-x-y+2z) anbieten. mfg, Ché Netzer |
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| 29.03.2012, 12:58 | klarsoweit | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kern und Bild einer Funktion Du hast natürlich Recht. Da war ich etwas zu leichtfertig. 
@DAOF: vergiß einfach meinen Beitrag. |
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| 30.03.2012, 16:14 | DAOF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kern und Bild einer Funktion okay, danke. das haben wir jetzt gemacht und das LGS soweit gelöst 1 0 1 |0 0 1 -3 |0 0 0 0 |0 Jetzt haben wir noch das problem die lösung abzulesen. Ist (-1,3,0) ? |
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| 30.03.2012, 17:19 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kern und Bild einer Funktion Fast. (-1,3,1) würde besser passen. Aber das ist natürlich nicht die einzige Lösung. Aber bist du dir bei den Umformungen sicher? Wenn ich mir die Ausgangsmatrix ansehe (bei f(e1) hast du wohl am Ende +e3 statt -e3 gemeint; sonst wäre der Rang 3), komme ich auf einen anderen (insbesondere von deinem linear unabhängigen) Vektor. |
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| 30.03.2012, 17:26 | DAOF | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kern und Bild einer Funktion ja, hatte mich bei der ausgangsaufgabe vertippt. weitere lösungen sind die vielfachen, richtig? vielen dank für deine hilfe! |
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| 30.03.2012, 17:31 | Che Netzer | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||
| RE: Kern und Bild einer Funktion Ja, Vielfache bzw. Linearkombinationen der Lösungen sind wieder welche. Aber die Darstellungsmatrix ist doch Wenn du die mit (-1,3,1) multiplizierst, kommst du nicht auf 0. (Tipp: Addiere mal die beiden rechten Spalten) |
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