Ordnung von Elementen |
| 29.03.2012, 17:54 | Chris1988 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
| Ordnung von Elementen Hallo zusammen. Also ich habe folgende Aufgabe bzgl. der Ordnung von Elementen die ich nicht wirklich verstehe. Finde die Ordnung von jedem Element von Z6. (Dabei gilt das Z als Symbol für ganze Zahlen und die sechs ist tiefgestellt) Meine Ideen: Also die Lösung sagt, dass Z6 aus sechs Elementen besteht. Dieses müsste ja 0, 1, 2, 3, 4, 5, sein. Das ist mir noch recht klar. Weiterhin sagt die Lösung, dass 1 und 5 die Ordnung 6 haben, 2 und 4 die Ordnung 3 haben und 3 die Ordnung 2 hat. Wie kommt man auf die Ordnung der einzelnen Elemente??? Und warum wird in der Lösung die Ordnung des Elementes 0 nicht erwähnt? |
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| 29.03.2012, 17:56 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Hallo, Was ist denn die Ordnung eines Elements einer Gruppe?
Weil klar ist, dass die 1 ist. |
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| 29.03.2012, 18:01 | Chris1988 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na die Ordnung eines Elementes ist doch immer ein Teil der Gruppenordnung. Meine es so verstanden zu haben, so oft wie es potenziert werden muss, bis das neutrale Element rauskommt Ist das richtig? |
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| 29.03.2012, 18:07 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Räusper: Ein Teiler der Gruppenordnung, nach Satz von Lagrange. Und das ist nicht die Defintion der Ordnung sondern eine Eigenschaft. Diese findet sich in deinem Skript oder auch hier . Du meinst vielleicht das Richtige es ist aber deutlich zu schwammig formuliert um das wirklich zu erkennen. Beachte auch das hier eine additive Gruppe betrachtet wird. |
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| 29.03.2012, 18:09 | Chris1988 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Denn ich habe es so gemacht: Um die Ordnung des Elemntes 2 herauszufinden: 2^1=2 2^2=4 2^3=8==2 (also durch 8mod6=2) 2^4=16==4 (also durch 16mod6=4) Und eigentlich müsste doch schon bei 2^3=1 rauskommen , damit es die Ordnung 3 hat. Oder wo ist da mein Fehler? |
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| 29.03.2012, 18:13 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Ich habe das nicht ohne Grund dazu geschrieben. Also nicht potenzieren, sondern was? |
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| 29.03.2012, 18:18 | Chris1988 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Dann muss ich es wohl addieren, aber wie? Sorry aber habe kein Skript zu dem Thema, nur verschiedene Bücher und da wird es nicht wirklich erklärt.... Und bin auf dem Gebiet totaler Laie.... |
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| 29.03.2012, 18:31 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Etliche mir bekannte Bücher sind etwas aufgemotzte Skripten. Von daher ist ein Buch zumindest nicht notwendig schlechter als ein Skript. Mein Bosch definiert die Ordnung eines Gruppenelements g z.B. so. ord (g)=|<g>| , also als Ordnung der von dem Element erzeugten Untergruppe. Bei einer multiplikativ geschriebenen Gruppe sind das also (immer davon ausgehend dasss g eine endliche Gruppe ist.) Wie sieht das bei einer additiven Gruppe aus? |
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| 29.03.2012, 18:49 | Chris1988 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ich versuch es mal: e= g, g+g, g+g+g=3g ..... Aber wenn das so richtig ist.... wie übertrage ich es denn dann auf die Aufgabe? |
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| 29.03.2012, 18:53 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Fast. Die Ordnung eines Elements einer additiven Gruppen ist also das kleinste n>1 mit (statt ) |
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| 29.03.2012, 18:59 | Chris1988 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay nun versuch ich es mal auf die das Element 2 zu beziehen: Rausbekommen müsste ich: ord(2)=3 g=2 Aber wie groß ist denn mein e? |
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| 29.03.2012, 19:01 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
e ist eine Bezeichnung für das neutrale Element der Gruppe. |
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| 29.03.2012, 19:15 | Chris1988 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Wenn e=0 wäre passt aber dch nicht n*g=e n*2=0 Und dann wäre n ja überall O AHHHHHH .... irgendwo mach ich was falsch Schonmal Danke für dein Durchhalten 
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| 29.03.2012, 19:20 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
ist es auch. Und für die Ordnung sind nur natürliche Zahlen >0 zugelassen. (Die erzeugte Untergruppe von g enthält ja mindestens ein Element, g.) Denke auch an Modulorechnung. |
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| 29.03.2012, 19:56 | Chris1988 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Na nun weiß ich nicht weiter ..... Wie muss ich nun was mit dem Modulo machen??? |
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| 29.03.2012, 20:00 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Natürlich musst du modulo rechnen, so ist die Addition auf der Menge definiert. (und du hast es ja bereits am Anfang getan.) Gesucht ist also die kleinste natürliche Zahl, nicht 0, die folgendes erfüllt: |
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| 29.03.2012, 20:21 | Chris1988 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Also ganz versteh ich das mit dem Modulo noch nicht: Hab nur bei dem anderen das mit der folgeenden Formel gemacht gehabt: z mod l = z - l (z/l) Und das Ergebnis in den Klammern immer auf die nächste ganze Zahl abrunden. Aber muss ich nun einfach für n die Zahlen einsetzen , also so: 1*2=2 2*2=4 3*2=6==0 , denn 6 mod 6 = 0 Also ord(2)=3 Passt das so?? Ich probiere das gleich nochmal für die anderen aus? Aber noch ne Frage: Wieso muss hier nun bei der Modulorechnung 0 rauskommen bei der Multiplikation hatte ich immer 1??? |
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| 29.03.2012, 20:30 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Passt.
Was du meinst ist richtig, wie du´s schreibst ist falsch. Die Objekte links (das ist eigentlich eine Äquivalenzklasse von Zahlen) und rechts (eine Zahl) sind nicht vergleichbar. Bei kleinerem Zahlen addiere bzw. subtrahiere ich das l solange bis was geeignetes dasteht.
Weil 0 das neutrale Element dieser Gruppe ist. (Eigenschaften mal nachrechnen.) Noch was: Das mod kommt nach der Gleichung, nicht in die Gleichung. |
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| 29.03.2012, 20:41 | Chris1988 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||||||
Okay, ich werde nun das ganze nochmal versuchen richtig zu berechnen und auch aufzuschreiben. Schonmal Danke für deine Tipps! Haben mir echt geholfen ... und wenn ich nicht weiter weiß schreib ich morgen nochmal ... aber hoffentlich nicht....^^ |
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