S1XS1 Torus |
| 29.03.2012, 20:08 | qed1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| S1XS1 Torus ich versuche gerade den Torus zu verstehen und komme ab einem gewissen Punkt nicht weiter. Folgendes: In einem Buch definieren Sie zunächst den Torus im vierdimensionalen Raum als kartesisches Produkt zweier Einheitskreise. Also Sie sagen: Der Torus im 4 dim. ist gerade die Punkte Menge {(x,y,z,w): x²+y²=1, z²+w²=1}. Gut, soweit so gut. Dann sagt das Buch: Deshalb besteht der Torus aus allen Punkten der Form (cos(u),sin(u),cos(v),sin(v)). Naja, ich denke, das ist mir auch klar, auf dem Einheitskreis kann jeder Punkt durch das Paar (cos/sin) ausgedrückt werden. Jeder Punkt dieses Torus hat den Abstand 2^(1/2). Das ist mir auch klar, weil eben x²+y²=1, z²+w²=1 gelten muss (bitte korrigiert mich, wenn ich falsch liege). Dann schreiben sie, dass sie diesen Torus um den Faktor 2^(1/2) verkleinern, um auf eine Teilmenge der 3-Sphäre zu kommen (ohne Nordpol). D.h Dieser Torus ist homöomorph zu der Teilmenge der 3-Sphäre. Dann benutzen Sie die stereografische Projektion (das Bild nenn ich jetzt halt A) um zu zeigen, dass Der Torus im 4 dimensionalen homöomorph ist zu A (das ist mir auch noch klar, weil Homöomorphismen eine Äquivalenzrelation bilden). Aber nun kommt der Punkt, wo ich komplett aussteige: Sie sagen: Das bild des "verkleinerten Torus" , also das Bild von den Punkten der Form (cos(u),sin(u),cos(v),sin(v))/(2^(1/2)) ist gerade der Punkt (1,0,cos(v))/((2^(1/2)-sin(v)). Und ich verstehe nicht, wie sie auf die 1 und die 0 kommen. Ich sitze wirklich seit einiger Zeit immer mal wieder dran, und habe im Internet auch viel recherchiert, aber viel finde ich wirklich dazu nicht. Ich bitte um Hilfe, Vielen Dank |
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| 30.03.2012, 14:54 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hier scheint nur die stereografische Projektion "Sphäre --> (u,v)" bzw. deren Umkehrung notwendig zu sein. Die Formeln sind wohlbekannt. |
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| 30.03.2012, 15:35 | qed1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, Kannst du mir das nochmal erläutern Sphäre ---> (u,v)? Nach meinem Verständnis projeziert man jeden Punkt von A in den Raum. Wie kommst du auf (u,v)? Und die Formeln sind bekannt, ja. Aber sie liefern ja gerade (für die erste Koordinate) cos(u)---> (cos(u))/(sqrt(2)-sin(v)). Aber sie legen irgendwie fest, dass cos(u)=1 ist, und ich verstehe noch nichtmal von der Anschauung, warum und weshalb das sein soll? |
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| 30.03.2012, 18:18 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Entschuldigung, mein Beitrag war wenig durchdacht. Es geht hier nicht um die mir hinreichend bekannte stereografische Projektion der 2-Sphäre auf die Ebene sondern um die stereografische Projektion der 3-Sphäre auf einen R³. Zu meiner Schande muss ich gestehen, dass ich die jetzt auch nicht "so ohne Weiteres" hinkriege. Hier muss die Lösung verborgen sein: http://en.wikipedia.org/wiki/3-sphere ... aber ich sehe immer noch nichts ... Wenn ich genau wüsste, welche stereografische Projektion benutzt wird, und wie deren Bildformeln aussehen, wäre ich fertig. Vermutlich findest du die Formeln in deinem Buch, also bitte her damit, dann ist die Nuss geknackt. 
Wenn du die Bildformeln auch nicht hast, weisst du vielleicht wenigstens etwas mehr über die genaue Art der stereografischen Projektion. Dann könnten wir versuchen, die Formeln herzuleiten ... 
Meine (schwache) Intuition sagt mir, dass es durchaus möglich sein kann, dass das Bild eines in die 3-Sphäre eingebetteten S1xS1-Torus eine (von einem Parameter v abhängige) Kurve im R³ ist, die einen gewöhnlichen Torus erzeugt. Das wäre doch nett, oder ... ? |
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| 01.04.2012, 15:30 | qed1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Hallo, ja, darauf möchte man hinaus: Das Bild der stereografischen Projektion des eingebetteten Torus in der 3-Sphere soll das sein, was man anschaulich unter einem Torus versteht. Aber: Ich verstehe nicht, wie sie die u weghauen. Die Bildformeln habe ich aber: Also man geht von der 3-Sphere in den Raum: (x,y,z,w)--->((x)/(1-w)), (y)/(1-w),(z)/(1-w)) |
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| 03.04.2012, 18:11 | qed1991 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Da ich mein Beitrag nicht editieren kann, vielleicht paar zusätzl. Infos: Projeziert wird vom Nordpol aus (0,0,0,1), sie schreiben, dass das Bild der Projektion gerade die Menge der Punkte (1,0,cos(v))/(sqrt(2)-sin(v)) ist, gedreht um einen Winkel u um die z-Achse. Das ergibt einen Kreis in der xz-Ebene, der bei Rotation einen Torus ergibt. |
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