Surjektivität von GHM

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30.03.2012, 12:40	Juppie	Auf diesen Beitrag antworten »
Surjektivität von GHM Hallo, ich habe Probleme damit zu zeigen, ob ein GHM surjektiv ist. Ich bring ein paar Beispiele mit Fragen: 1. Beispiel: Homomorphiesatz $\begin{eqnarray} \alpha :G\rightarrow H \end{eqnarray}$ ist Gruppenhomomorphismus, dann ist die durch Alpha induzierte Abbildung: $\begin{eqnarray} \alpha' : G/Ker( \alpha) \rightarrow Im (\alpha): \alpha'([g])=\alpha(g) \end{eqnarray}$ wohldefiniert und ein Isomorpismus. Als Beweis zur Surjektivität habe ich hier: $\begin{eqnarray} \forall g := \alpha (g') \in Im (\alpha) : \alpha'([g'])=\alpha(g')=g \end{eqnarray}$ Wieso darf man das so allgemein festlegen, ich verstehe das nicht so genau was da gemacht wurde. 2. Beispiel: 2. Isomorphiesatz Sei G eine Gruppe, M Teilmenge N Teilmenge G zwei Normalteiler von G. Dann ist auch N/M ein Normalteiler von G/M und es gilt: (G/M)/(N/M) isomorph zu G/N Als Beweis für Surjektivität habe ich: Sei $\begin{eqnarray} \beta: G/M \rightarrow G/N: \beta (gM)=gN \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} gN \in G/N \end{eqnarray}$ dann ist $\begin{eqnarray} gN=\beta (gM) \in Im(\beta) \end{eqnarray}$ Auch hier versteh ich nicht, wieso das bedeutet dass die Abbildung surjektiv ist?
30.03.2012, 12:47	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Surjektivität von GHM Bei 1. Man nimmt sich ein $\begin{eqnarray} g \in Im(\alpha) \end{eqnarray}$ und zeigt, dass es ein $\begin{eqnarray} [g'] \in G/ \ker(\alpha) \end{eqnarray}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray} \alpha'([g']) = g \end{eqnarray}$ . Das ist das was man für Surjektivität tun muss. Was man dann noch benutzt ist die Definition von $\begin{eqnarray} Im(\alpha) \end{eqnarray}$ - denn was heißt es, dass g ein Element davon ist?
30.03.2012, 12:55	Juppie	Auf diesen Beitrag antworten »
Meinst du jetzt wenn g Element von dem Bild von Alpha an sich ist oder in diesem GHM? Ich verstehe nicht, weiso man das für alle g pauschalisieren darf dass g=alpha(g') ? Muss man g einfach irgendwie definieren, dass wenn man das vorne reinwirft wieder g rauskommt?
30.03.2012, 13:50	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Nein, g ist ein allgemeines Element. Das liegt aber im Bild von \alpha, also gibt es ein g', so dass $\begin{eqnarray} \alpha(g') = g \end{eqnarray}$
01.04.2012, 19:07	Juppie	Auf diesen Beitrag antworten »
Hätte ich bei 1. auch schreiben können: surjektiv weil $\begin{eqnarray} \forall g:= e_{H} \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \alpha'([e_{G}])=\alpha(e_{G}) =e_{H} = g \in Im(\alpha) \end{eqnarray}$ ? Und man sieht dass etwas auf eH abgebildet wird??
01.04.2012, 19:12	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Soll $\begin{eqnarray} e_G \end{eqnarray}$ das neutrale Element in G sein? Was du zeigen musst: $\begin{eqnarray} \forall h \in Im(\alpha) \subset H \end{eqnarray}$ gibt es ein $\begin{eqnarray} [g]\in G\backslash ker(\alpha) \end{eqnarray}$ mit $\begin{eqnarray} \alpha'([g]) = h \end{eqnarray}$ .
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01.04.2012, 19:16	Juppie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja es soll das Neutrale sein... geht das dann so wie oben? Also $\begin{eqnarray} \forall h := e_{H} \in Im(\alpha) \end{eqnarray}$ gibt es ein $\begin{eqnarray} [g] \in G/Ker(\alpha); g:= e_{G} ; \alpha'([g])=\alpha(e_{G})=e_{H} \end{eqnarray}$ Also ich hab gelesen, dass man nur zeigen muss dass irgendwas aufs neutrale abbildet, weil ich versteh nicht wie ich FÜR ALLE zeigen kann dass es irgendetwas gibt, das auf die abbildet...
01.04.2012, 19:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Du hast damit gezeigt, dass ein Element im Bild ein Urbild hat. Du musst es für alle möglichen Elemente im Bild zeigen. $\begin{eqnarray} \forall h := e_H \end{eqnarray}$ macht auch wenig Sinn. \forall sagt es gilt für alle h, und dann weißt du h gleichzeitig einen festen Wert zu.
01.04.2012, 19:21	Juppie	Auf diesen Beitrag antworten »
Was hat es dann damit auf sich, dass man nur zeigen muss, dass etwas auf das Neutrale abbildet - ist das falsch?
01.04.2012, 19:22	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Dass Neutrales auf Neutrales geht, ist eine notwendige Bedingung dafür, dass es ein Homomorphismus ist. Mit Surjektivität hat das aber nichts zu tun.
01.04.2012, 19:26	Juppie	Auf diesen Beitrag antworten »
Ok, danke. Könnte ich bei 2. sowas schreiben: $\begin{eqnarray} \forall h:=g'N \in G/N \end{eqnarray}$ gilt $\begin{eqnarray} \beta(g'M)=g'N=h \end{eqnarray}$ und deshalb surjektiv?
01.04.2012, 19:30	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
Stimmt so, wobei man sich überlegen muss, wie N und M zueinander stehen müssen, damit es eben stimmt.
01.04.2012, 19:36	Juppie	Auf diesen Beitrag antworten »
Wie?
01.04.2012, 20:06	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
M ist eine Teilmenge von N, nach Voraussetzung. Deswegen gilt es.

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