Formel für eine bestimmte Reihe

30.03.2012, 13:20

NichtBekannt112

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Formel für eine bestimmte Reihe

Meine Frage:
Hallo,

ich habe heute ein wenig bei WolframAlpha herumprobiert und habe mir auf Grund einiger Ergebnisse diese (hoffentlich richtige) Formel hergeleitet :
Sei $\begin{eqnarray*} m\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ . Dann ist
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2+m^2} =\frac{1}{2m^2}(1+m\pi*coth(m\pi )) \end{eqnarray*}$
oder auch
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{k^2+m} =\frac{1}{2m}(1+\sqrt{m} \pi*coth(\sqrt{m}\pi )) \end{eqnarray*}$ .

Mich hätte nun die Herleitung (falls es denn eine gibt) dieser Formel interessiert. Oder wurde das auch experimentell bestimmt?

Meine Ideen:
Leider weiß ich nicht, wie ich da überhaupt eine Umformung vornehmen soll, geschweige denn, wo dieser "coth" herkommt und wie der Zusammenhang von diesem und der Reihe herkommen könnte.

Schon mal im Voraus danke an jeden, der versucht, mir zu helfen smile

smile

MfG,
NichtBekannt112

30.03.2012, 23:47

Abakus

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe
Hallo,

für m=1 kommt für beide Reihen dasselbe raus, obwohl unten eine 1 mehr addiert wird. Das kann so noch nicht gehen, denke ich.

Ansonsten: ja, ich denke da gibt es Herleitungen für.

Abakus smile

smile

31.03.2012, 00:53

SusiQuad

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe
Vorschlag zur Herleitung ...

Entwickle $\begin{eqnarray*} f(t)= \cosh(xt) \end{eqnarray*}$ in eine FourierReihe.
Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gerade, braucht es nur die Koeff. der $\begin{eqnarray*} \cos(nt) \end{eqnarray*}$ .

Benutze $\begin{eqnarray*} \cosh(xt)=\cos(ixt) \end{eqnarray*}$ u.ä., um Koeff. der Form
$\begin{eqnarray*} \frac{C ~ \sinh(\pi x)}{x^2+n^2} \end{eqnarray*}$ zu erhalten.

Achte auf $\begin{eqnarray*} \sin(n\pi)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \cos(n\pi) = \pm 1 \end{eqnarray*}$ , um die Formel übersichtlich zu halten und werte dann bei $\begin{eqnarray*} t=\pi \end{eqnarray*}$ aus.

_______

@Abakus
Es wird ab $\begin{eqnarray*} k=1 \end{eqnarray*}$ summiert.

Das $\begin{eqnarray*} \frac{a_0}{2} = \frac{\sinh(x\pi)}{x\pi} \end{eqnarray*}$ hat man schon vorher *abgefrühstückt*.

31.03.2012, 13:22

NichtBekannt112

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe
@Abakus
Mein Fehler, bei beiden Reihen sollte natürlich der gleiche Index stehen, hatte mich nur verschrieben Augenzwinkern

Augenzwinkern

@SusiQuad
Danke für deinen ausführlichen Herleitungsvorschlag! Ich werde mich gleich mal ran setzen und schauen, ob ich das hinbekomme Freude

Freude

01.04.2012, 15:47

Abakus

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe

Zitat:

Original von SusiQuad
Entwickle $\begin{eqnarray*} f(t)= \cosh(xt) \end{eqnarray*}$ in eine FourierReihe.
Da $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gerade, braucht es nur die Koeff. der $\begin{eqnarray*} \cos(nt) \end{eqnarray*}$ .

Das könnte ein Ansatz sein. Mir fehlt hier noch das Periodizitätsintervall, denn der cosh ist ja von sich aus nicht periodisch, soll es das "Standardintervall" $\begin{eqnarray*} [-\pi, \pi] \end{eqnarray*}$ sein? Da wäre das $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ dann aber Randpunkt?

@ NichtBekannt: ok, du meintest den Summationsindex ab k=1 dann? Deine weiteren Rechnungen würde ich interessant finden... wäre schön, wenn du sie postest.

Abakus smile

smile

01.04.2012, 21:42

SusiQuad

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe
@Abakus

$\begin{eqnarray*} t \in [-\pi,\pi] \end{eqnarray*}$ ist das Integrations-/Darstellungsintervall.
$\begin{eqnarray*} x \in \mathbb C \setminus i \mathbb Z \end{eqnarray*}$ ein Parameter.

Die Reihe konvergiert btw erkennbar absolut, $\begin{eqnarray*} \cosh \end{eqnarray*}$ ist stetig, sodaß wir sogar glm. Konvergenz der Reihe gegen $\begin{eqnarray*} \cosh \end{eqnarray*}$ haben. Insbesondere gilt die Darstellung für $\begin{eqnarray*} t=\pi \end{eqnarray*}$ .

Falls abs. Konvergenz nicht vorliegt, braucht man 'glatte' Übergänge.

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02.04.2012, 20:24

Abakus

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe
OK, danke.

@ NichtBekannt: dann kannst du loslegen. Sind dir Fourierreihen bekannt bzw. kommst du damit zurecht?

Abakus smile

smile

03.04.2012, 07:20

NichtBekannt112

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe
Also ich weiß, dass eine Fourierreihe so
$\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{1}{2} A_0 + \sum\limits_{r=1}^\infty (A_r cos(rt) + B_r sin(rt)) \end{eqnarray*}$
entwickelt wird. Dabei ist, da cosh(x) gerade ist :
$\begin{eqnarray*} A_r = \frac{2}{\pi } \int_0^\pi \! f(t) cos(rt) \, dt \end{eqnarray*}$
und $\begin{eqnarray*} B_r \end{eqnarray*}$ = 0.

Also ist $\begin{eqnarray*} A_0 = \frac{2}{\pi} \int_0^\pi \! cosh(xt) \, dt \end{eqnarray*}$ , ausgerechnet :
$\begin{eqnarray*} A_0 = \frac{2 sinh(\pi x)}{\pi x} \Rightarrow \frac{A_0}{2} = \frac{sinh(\pi x)}{\pi x} \end{eqnarray*}$
Außerdem ist $\begin{eqnarray*} A_r \end{eqnarray*}$ hier
$\begin{eqnarray*} A_r = \frac{2}{\pi } \int_0^\pi \! cosh(xt) cos(rt) \, dt \end{eqnarray*}$ .

Bei diesem Integral habe ich Probleme. Ich weiß nicht, wie man das machen soll ... muss man cosh(xt) irgendwie in einer anderen Form darstellen?

P.S. Der Summationssindex bei meinem ersten Post soll zwei Mal die 0 sein Augenzwinkern

Augenzwinkern

03.04.2012, 09:52

NichtBekannt112

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe
Ich hab mein Problem mit dem Integral mal als extra-Frage gestellt, da das meiner Meinung nach ein anderes Themengebiet als meine Frage hier ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

Link :
Unbestimmtes Integral ausrechnen

03.04.2012, 11:22

Valdas Ivanauskas

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Partialbruchzerlegung des Kotangens
Die angebene Identität ist doch die Partialbruchzerlegung des Kotangens hyperbolicus

$\begin{eqnarray*} \sum_{n=1}^\infty \frac {x^2}{x^2+n^2}=\frac{\pi x \coth(\pi x)}2-\frac 12 \end{eqnarray*}$

welche mittels

$\begin{eqnarray*} \coth(x)=i~\cot(ix) \end{eqnarray*}$

sofort aus der PBZ des Kotangens folgt.

03.04.2012, 12:37

NichtBekannt112

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe
Okay, hab das Integral jetzt raus. Mit
$\begin{eqnarray*} \int \! cosh(xt) cos(rt) \, dt = \frac{x*sinh(xt)cos(rt)+r*cosh(xt)sin(rt)}{x^2+r^2} \end{eqnarray*}$ ist dann

$\begin{eqnarray*} A_r = \frac{2}{\pi } \int_0^\pi \! cosh(xt) cos(rt) \, dt = \frac{2}{\pi}*\frac{x*sinh(x\pi )cos(r\pi)+r*cosh(x\pi)sin(r\pi))}{x^2+r^2} \end{eqnarray*}$ .

Setzt man dies in die Fourier-Reihendarstellung ein, erhält man
$\begin{eqnarray*} f(t) = \frac{1}{2} A_0 + \sum\limits_{r=1}^\infty (A_r cos(rt) + B_r sin(rt)) =\frac{sinh(\pi x)}{\pi x} + \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} + \sum\limits_{r=1}^\infty \left[\frac{2}{\pi}*\frac{x*sinh(x\pi )cos(r\pi)+r*cosh(x\pi)sin(r\pi))}{x^2+r^2} cos(rt)\right] \end{eqnarray*}$

Da $\begin{eqnarray*} sin(\pi x)=0 \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} cos(\pi x)= \pm 1 \end{eqnarray*}$ , vereinfacht sich das Ganze zu
$\begin{eqnarray*} cosh(xt)=\frac{sinh(\pi x)}{\pi x}+\sum\limits_{r=1}^\infty \left[\frac{2}{\pi}*\frac{x*sinh(x\pi )(-1)^r)}{x^2+r^2} cos(rt)\right] = \frac{sinh(\pi x)}{\pi x}+\frac{2x*sinh(x\pi )}{\pi} \sum\limits_{r=1}^\infty \left[\frac{(-1)^r}{x^2+r^2} cos(rt)\right] \end{eqnarray*}$

Es folgt die Auswertung bei t= $\begin{eqnarray*} \pi \end{eqnarray*}$ :

$\begin{eqnarray*} cosh(\pi x)=\frac{sinh(\pi x)}{\pi x}+\frac{2x*sinh(x\pi )}{\pi} \sum\limits_{r=1}^\infty \left[\frac{(-1)^r}{x^2+r^2} cos(\pi r)\right] \end{eqnarray*}$

Außerdem ist ja $\begin{eqnarray*} cos(\pi x)= \pm 1 \end{eqnarray*}$ , somit

$\begin{eqnarray*} cosh(\pi x)= \frac{sinh(\pi x)}{\pi x}+\frac{2x*sinh(x\pi )}{\pi} \sum\limits_{r=1}^\infty \left[\frac{{\left((-1)^r\right) }^2}{x^2+r^2}\right] \end{eqnarray*}$ .

Dividiert man die Gleichung mit sinh(Pi*x), bekommt man mit $\begin{eqnarray*} coth(x)=\frac{cosh(x)}{sinh(x)} \end{eqnarray*}$ heraus :

$\begin{eqnarray*} coth(\pi x)= \frac{1}{\pi x}+\frac{2x}{\pi} \sum\limits_{r=1}^\infty \left[\frac{1}{x^2+r^2}\right] \end{eqnarray*}$

Weiterhin wird die Umformung $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{r=1}^\infty \left[\frac{1}{x^2+r^2}\right]=\sum\limits_{r=0}^\infty \left[\frac{1}{x^2+r^2}\right]-\frac{1}{x^2} \end{eqnarray*}$ benutzt.

$\begin{eqnarray*} coth(\pi x)= \frac{1}{\pi x}+\frac{2x}{\pi} \left[\sum\limits_{r=0}^\infty \left[\frac{1}{x^2+r^2}\right]-\frac{1}{x^2} \right] =\frac{-1}{\pi x}+\frac{2x}{\pi} \sum\limits_{r=0}^\infty \left[\frac{1}{x^2+r^2}\right] \end{eqnarray*}$

Die Gleichung mit Pi*x durchmultiplizieren, umstellen und das finale Ergebnis ist
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{r=0}^\infty \frac{1}{r^2+x^2} =\frac{1}{2x^2}(1+x\pi*coth(x\pi )) \end{eqnarray*}$

03.04.2012, 12:41

NichtBekannt112

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe
Ich hoffe, dass sich oben keine gravierenden Fehler finden lassen.
Vielen Vielen Dank an SusiQuad für die tolle Idee Freude

Freude

und Abakus für sein Mitwirken und die Motivation Freude

Freude

Toll, dass ihr euch meinem Problem angenommen habt!
Ich mach jetzt erstmal Pause Big Laugh

Big Laugh

Grüße,
NichtBekannt112 Wink

Wink

04.04.2012, 00:04

SusiQuad

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe
Supi [2] (hatte ich nicht von Dir erwartet), mit dem (Zwischen-)Ergebnis ...

[1] ... $\begin{eqnarray*} coth(\pi x)= \frac{1}{\pi x}+\frac{2x}{\pi} \sum\limits_{r=1}^\infty \left[\frac{1}{x^2+r^2}\right] \end{eqnarray*}$

... bin ich einverstanden, wenngleich ...

vorher wohl $\begin{eqnarray*} \cos(\pi \color{red}{r}\color{black}) = (-1)^r \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \sin(\pi \color{red}{r}\color{black}) = 0 \end{eqnarray*}$ gemeint war ?!!
Dieser Parameter $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb C \setminus i\mathbb Z \end{eqnarray*}$ vermeidet schlicht NullNenner (bei nachff. Reihen) UND erlaubt weitere Ergebnisse.

Mit dem Tipp: Werte bei $\begin{eqnarray*} t=\pi \end{eqnarray*}$ aus (!), reduziert sich die Fourier-Darstellung ZUDEM (erheblich) ...

$\begin{eqnarray*} f(t) &=& \frac{1}{2} A_0 + \sum\limits_{r=1}^\infty (A_r cos(rt) + B_r sin(rt))\\ &=& \frac{1}{2} A_0 + \sum\limits_{r=1}^\infty A_r (-1)^r \end{eqnarray*}$

... sodaß wir doch mit DIN-A4 (Portrait) auskommen ?!!
d.h. nur $\begin{eqnarray*} {A_r}(-1)^r \end{eqnarray*}$ weiterhin zu betrachten haben
und insgesamt bei [1] angelangen.

Nun können wir [1] nach $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{r={\color{blue} 1 \color{black}}}~{\cdots} \end{eqnarray*}$ auflösen (und sind fertig).

Allerdings ist $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x} =\frac{x}{x^2 ~+~ 0^2} \end{eqnarray*}$ offenbar eine passende Ergänzung für

die $\begin{eqnarray*} \sum_r {\frac{x}{x^2 ~+~ r^2}} \end{eqnarray*}$ bei $\begin{eqnarray*} r=0 \end{eqnarray*}$ , sodaß

wir einen pos. Summanden $\begin{eqnarray*} \frac{1}{x\pi} \end{eqnarray*}$ links bekommen.

Was uns auf $\begin{eqnarray*} \frac{1+x\pi~\coth(x\pi)}{2x^2} = \sum\limits_{r=0}^\infty \left[\frac{1}{x^2+r^2}\right] \end{eqnarray*}$ führt ...

... und in der Reihenfolge [2] $\begin{eqnarray*} \longrightarrow \end{eqnarray*}$ [1] ein Nachweis nach meinem Geschmack wäre.

HTH SQ
____________

PS.:

[2] Abakus hatte eine berechtigte Kritik ... , sodaß wir ff. Überlegungen bei Fourier-Darstellungen voranstellen. - Nebenher empfehle ich stets den Zusammenhang einer Darstellung mit einer Reihenentwicklung auf nachff. Niveau zu hinterfragen (und es folgt längliches Geschwafel)...

Man nennt (speziell)

$\begin{eqnarray*} f(t) \sim \frac{a_0}{2} + \sum\limits_{k=1}^{\infty} ~ {a_n}cos(nt) ~+~ {b_n}sin(nt) \end{eqnarray*}$

eine Fourierreihen-Darstellung
einer $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodischen Funktion $\begin{eqnarray*} f \colon \mathbb R \to \mathbb R \end{eqnarray*}$ .

Dabei bedeutet $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ 'Darstellung' zunächst mal nix, ausser dass die $\begin{eqnarray*} a_n,b_n \end{eqnarray*}$ nach (speziellen) Regeln gebildet werden.
Wenn $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ jedoch (stetig-)diff.bar ist (über $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ ), haben wir punktweise(glm.) Konvergenz der Reihe gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ , d.h. wir können $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ durch $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ ersetzen, was die Darstellung zu einer sinnvollen Aussage macht.

Unsere Funktion $\begin{eqnarray*} f \colon \mathbb R \to \mathbb R ~,~ f(xt)=cosh(xt) \end{eqnarray*}$
mit $\begin{eqnarray*} t \in [-\pi,+\pi] \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x \in \mathbb C \setminus i\mathbb Z \end{eqnarray*}$ (wg. div. Nullnenner)
wird von $\begin{eqnarray*} [-\pi,+\pi] \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb R \end{eqnarray*}$ nun $\begin{eqnarray*} 2\pi \end{eqnarray*}$ -periodisch fortgesetzt
und ist in den Übergangspunkten stetig (weil $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ gerade) PLUS die DarstellungsReihe konv. in den Ü.Pkten abs. - Letztlich bekommen wir dadurch glm. Konvergenz der Reihe gegen $\begin{eqnarray*} f \end{eqnarray*}$ . - Kurz: Unser Vorgehen macht Sinn (deshalb dieses Vorgeschwafel) und wir schreiben jetzt $\begin{eqnarray*} = \end{eqnarray*}$ statt $\begin{eqnarray*} \sim \end{eqnarray*}$ .

04.04.2012, 03:43

SusiQuad

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RE: Partialbruchzerlegung des Kotangens
@Valdas
dann erzähl mal (PZB) ...
Identität (woher) + (frum)
... und ... (Huhn ( Ei)

05.04.2012, 14:45

Valdas Ivanauskas

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RE: Partialbruchzerlegung des Kotangens

Zitat:

Original von SusiQuad
dann erzähl mal (PZB) ...
Identität (woher) + (frum)
... und ... (Huhn ( Ei)

verwirrt

ist wohl spät geworden, was?!?

09.04.2012, 19:46

Abakus

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe
Gut, jetzt haben wir eine schöne Formel. Da drängt sich mir gleich eine Frage auf, nämlich ob es auch für folgendes etwas gibt:

$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{(k + y)^2} =~? \end{eqnarray*}$

Das sieht ja sehr ähnlich aus, jetzt steht der zusätzliche Summand im Nenner in der Klammer.

Abakus smile

smile

09.04.2012, 21:17

NichtBekannt112

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=0}^\infty \frac{1}{(k + y)^2} =~? \end{eqnarray*}$

Lösung :
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{(k + y)^2} = \sum\limits_{k=1-y}^\infty \frac{1}{(k + y)^2} - \sum\limits_{k=1-y}^0 \frac{1}{(k + y)^2} = \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} - \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6} -\sum\limits_{k=1}^y \frac{1}{k^2} \end{eqnarray*}$

Augenzwinkern

Augenzwinkern

10.04.2012, 12:28

Abakus

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe
Für $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ bestens, aber was ist, wenn $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb Q,~ 1 > y > 0 \end{eqnarray*}$ ?

Abakus smile

smile

10.04.2012, 12:48

NichtBekannt112

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe

Zitat:

Für $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb N \end{eqnarray*}$ bestens, aber was ist, wenn $\begin{eqnarray*} y \in \mathbb Q,~ 1 > y > 0 \end{eqnarray*}$ ?

WolframAlpha sagt
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{(k+y)^2} = \psi^{(1)} (y+1) \end{eqnarray*}$
also die erste Ableitung der Digamma-Funktion von (y+1).

Bitte frag nicht, wie man drauf kommt, ich hab keine Ahnung (Ich weiß nicht mal, was die Digamma Funktion ist und bin gerade zu faul, zu googlen) Big Laugh

Big Laugh

10.04.2012, 19:34

Abakus

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe

Zitat:

Original von NichtBekannt112
WolframAlpha sagt
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{(k+y)^2} = \psi^{(1)} (y+1) \end{eqnarray*}$
also die erste Ableitung der Digamma-Funktion von (y+1).

CAS-Systeme machen es sich da recht einfach, aber immerhin ist das eine kurze Schreibweise. Für rationale Argumente lässt sich ggf. ein elementarer Ausdruck finden.

Hier gibt es sicher noch einiges herauszufinden Augenzwinkern

Augenzwinkern

.

Abakus smile

smile

10.04.2012, 21:47

NichtBekannt112

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RE: Formel für eine bestimmte Reihe
Ich hab mich jetzt mal über die Poly- und speziell über die Trigammafunktion informiert. Und dabei bin ich auf

Zitat:

Von http://de.wikipedia.org/wiki/Trigamma-Funktion
Außerdem gilt [in abgeänderter Form]
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{k=1}^\infty \frac{1}{(k+y)^2} = \psi^{(1)} (y+1)= -\int\limits_0^1 \frac{x^y\ln{x}}{1-x}\,\mathrm dx \end{eqnarray*}$

gestoßen.

Allerdings habe ich keine umgeänderte Form gefunden und habe auch keine Idee, wie man das machen könnte.

Edit : Habe die Frage von Abakus in einen neuen Thread geschrieben. Wenn Anregungen dazu aufkommen, bitte dort posten. Danke smile

smile

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