Gruppentheorie

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tobi_new Auf diesen Beitrag antworten »
Gruppentheorie
Hallo,

sei eine Permutation der symmetrischen Gruppe , wobei alle Zykeln außer ungerade Länge haben.

Beispiel:

Nun habe ich - ohne genaue Begründung - gelesen, man kann diese Permutation mit einer Zahl potenzieren, so dass dann nur noch dasteht, d.h. es gilt



für ein .

Kann mir das jemand begründen, warum so eine Zahl existiert?

Vielen Dank!

Gruß,
tobi
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppentheorie
Hm, kannst du uns für ein kleines Beispiel, z.B. die Permutation (12)(123) mal kurz vorrechnen, für welche k-te Potenz da (12) rauskommen soll? Ich hoffe, du sagst jetzt nicht, du hättest eine Bedingung vergessen, z.B. dass die Zyklen elementfremd sein sollen...
 
 
experte Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppentheorie
hallo leute,
habe auch über diese aufgabe nachgedacht. Natürlich ist es hier wichtig, das
die zyklen elementfremd sind, sonst funktioniert die sache nicht. Es ist so: wenn
man die ungeraden zykel mit ihrer jeweiligen zykellänge potenziert, neutralisieren
sie sich wieder, und wenn man also die ganze sache mit dem kleinsten gemeinsamen vielfachen der zykellängen potenziert, verschwinden sie also alle,
der gerade zykel (c_1,c_2) bleibt dagegen, weil (c_1,c_2) bei ungeraden potenzen (und das kgV ist hier ja ungerade) konstant bleibt, bei geraden potenzen verschwindet.
gruss ollie3
Mystic Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Gruppentheorie
Ja, oder mit Induktion nach der Anzahl n der Zyklen ungerader Länge... Ist n=0, so gilt die Behauptung trivialerweise, ist aber n>0 und die kleinste unter den uneraden Zyklennlängen der gegebenen Permutation , so ist dann die Permution von der gleichen Bauart, aber mit mindestens einem Zyklus ungerader Länge weniger, da Zyklen der Länge nun "verschwunden" sind, woraus dann für (und damit natürlich auch für selbst) die Behauptung durch Anwendung der Induktionsvoraussetzung folgt...
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