Gruppentheorie |
30.03.2012, 16:53 | tobi_new | Auf diesen Beitrag antworten » |
Gruppentheorie sei eine Permutation der symmetrischen Gruppe , wobei alle Zykeln außer ungerade Länge haben. Beispiel: Nun habe ich - ohne genaue Begründung - gelesen, man kann diese Permutation mit einer Zahl potenzieren, so dass dann nur noch dasteht, d.h. es gilt für ein . Kann mir das jemand begründen, warum so eine Zahl existiert? Vielen Dank! Gruß, tobi |
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30.03.2012, 17:35 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Gruppentheorie Hm, kannst du uns für ein kleines Beispiel, z.B. die Permutation (12)(123) mal kurz vorrechnen, für welche k-te Potenz da (12) rauskommen soll? Ich hoffe, du sagst jetzt nicht, du hättest eine Bedingung vergessen, z.B. dass die Zyklen elementfremd sein sollen... |
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30.03.2012, 18:07 | experte | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Gruppentheorie hallo leute, habe auch über diese aufgabe nachgedacht. Natürlich ist es hier wichtig, das die zyklen elementfremd sind, sonst funktioniert die sache nicht. Es ist so: wenn man die ungeraden zykel mit ihrer jeweiligen zykellänge potenziert, neutralisieren sie sich wieder, und wenn man also die ganze sache mit dem kleinsten gemeinsamen vielfachen der zykellängen potenziert, verschwinden sie also alle, der gerade zykel (c_1,c_2) bleibt dagegen, weil (c_1,c_2) bei ungeraden potenzen (und das kgV ist hier ja ungerade) konstant bleibt, bei geraden potenzen verschwindet. gruss ollie3 |
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30.03.2012, 18:28 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » |
RE: Gruppentheorie Ja, oder mit Induktion nach der Anzahl n der Zyklen ungerader Länge... Ist n=0, so gilt die Behauptung trivialerweise, ist aber n>0 und die kleinste unter den uneraden Zyklennlängen der gegebenen Permutation , so ist dann die Permution von der gleichen Bauart, aber mit mindestens einem Zyklus ungerader Länge weniger, da Zyklen der Länge nun "verschwunden" sind, woraus dann für (und damit natürlich auch für selbst) die Behauptung durch Anwendung der Induktionsvoraussetzung folgt... |
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