Golden-Gate-Bridge Abi-Aufgabe

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lukas234 Auf diesen Beitrag antworten »
Golden-Gate-Bridge Abi-Aufgabe
Hallihallo,

ich bin grad am Abilernen und hab schon einige Aufgaben durchgerechnet, bei den letzten beiden weiß ich nicht genau, wie ich auf die Lösung komme, aber mich würd interessieren, ob die Ansätze so schon mal korrekt sind.

Aufgabe: "Golden-Gate-Bridge"

Erklärung:

(Das Foto zeigt die Golden-Gate-Bridge in San Francisco.)
Oben ist eine vereinfachte Skizze der Brücke dargestellt: Die Seilbefestigungen in den Punkten B und D liegen jeweils 152 m höher als die Fahrbahn. Sie haben einen Abstand von 1280 m voneinander.
Die Verankerungsseile der beiden Masten durch B und D sind in den Punkten A und E befestigt, die jeweils einen Abstand von 337 m von den Fußpunkten der Masten haben.

Nun die Teilaufgaben:
a) Erläutern Sie, welche Gründe für die Wahl des eingezeichneten Koordinatensystems sprechen.
b) Modellieren Sie den Verlauf der Spanndrahtseile (1) von A nach B; (2) von B über C nach D; (3) von D nach E mithilfe von ganzrationalen Funktionen möglichst niedrigen Grades.
c) Untersuchen Sie als Vorbereitung für die weitere Modellierung der Golden-Gate-Bridge die Funktion zu . Skizzieren Sie den Graphen und entnehmen Sie ihm Vermutungen über (1) Verhalten für große Werte von |x|; Symmetrie; (2) Nullstellen; Extrempunkte; Wendepunkte. Beweisen Sie die Vermutungen mithilfe des Funktionstermes.
d) Geben Sie eine mögliche Modellierung des Seilverlaufes von B über C nach D mithilfe der Funktion k aus Teilaufgabe c) an. Bewerten Sie Ihr Ergebnis im Vergleich zur Modellierung aus b) (2).

Erstmal soweit, das ist ja nun schon recht viel.

Meine Lösungsansätze:

a)
- Aufgrund der Achsensymmetrie mit f(x) = f(-x) lassen sich relativ schnell Aussagen über gegenüberliegende Punkte treffen (wie bspw. bei A und E, B und D).
- Man hat die Straße sinnvoller Weise auf "Nullniveau" gesetzt - würde man unterhalb der x-Achse beginnen, könnte dies missverständliche Aussagen über die Höhe der Masten / der Seile über der Straße mitbringen.

b)
Zwischenrechnung: Für alle Funktionen benötigen wir die Kenntnis der Koordinaten der einzelnen Punkte, so haben wir C(0|0), und aufgrund der Achsensymmetrie für B und D gilt x = ±1240/2 = ±640, also B(-640|153) und D(640|153), außerdem für A und D gilt x = ±(640 + 337) = ±977, also A(-977|0) und E(977|0).

Der Verlauf der Spanndrahtseile von
(1) A nach B
lässt sich durch eine Gerade beschreiben, da wir lineare Steigung vorliegen haben. Wir wählen also eine ganzrationale Funktion ersten Grades, eine "lineare Funktion" mit f(x) = mx + b, wobei m = ”y/”x.

Für b gilt b = 0.
m berechnen wir: m = ”y/”x = (153-0)/(-640-(-977))=153/337 ≈ 0,454.

Wir haben also für (1) etwa die Funktion f(x) ≈ 0,454x

(2) B über C nach D

Wir wählen eine Funktion 2. Grades, weil der Verlauf des Graphen eine quadratische Funktion nahe legt.

Für diese "quadratische Funktion" mit g(x) = ax² + bx + c gilt:

Weil B(-640|153), C(0|0) und D(640|153) auf dem Graphen liegen, liegen die Bedingungen vor:

153 = a*(-640)² + b*(-640) + c
0 = c
153 = a*640² + b*640 + c

So erhalten wir (mit c=0) das LGS:

153 = 409600a - 640b
153 = 409600a + 640b

=> Für b muss b=0 gelten!

Also 153 = 409600a <=> a = 153/409600 &#8776; 0,00037

Wir haben also für (2) etwa die Funktion g(x) &#8776; 0,00037x²

(3) D nach E

Weil wir Achsensymmetrie vorliegen haben, gilt für die Gerade von D nach E:
f(x) = f(-x), also erhalten wir für m &#8776; -0,454.

Dies setzen wir wieder in unsere Funktion ein und erhalten h(x) = -0,454x.

Wir haben also für (3) etwa die Funktion h(x) &#8776; -0,454x

c)
Wir haben mit und .

Zunächst das Globalverhalten:
Bei x->&#8734; gilt lim()=&#8734; und es gilt lim(=0, also lim()=&#8734;.

Bei x->-&#8734; gilt ebenfalls lim()=&#8734;.

Also: Wenn x -> ±&#8734;, geht f(x) in jedem Fall -> +&#8734;.

Symmetrie:

Zunächst prüfen auf Achsensymmetrie mit der Bedingung k(x)=k(-x).
Wir setzen also gleich:

, w.A. für alle x aus Q.

Die Funktion weist Achsensymmetrie auf, Punktsymmetrie kann demzufolge auch ausgeschlossen werden.

Nullstellen / Wendepunkte / Extrempunkte:

Bei exponentiellem Wachstum sind keine Nullstellen oder Wendepunkte zu erwarten. Durch die Addition der beiden exponentiellen Teilfunktionen müsste aber ein Tiefpunkt vorliegen (aufgrund der Achsensymmetrie bei x=0).

Beweis:
Nullstellen => k(x)=0 => => solve(TR) =>"false"
A: Es liegen keine Nullstellen vor.
Extrempunkte => Notw. Bed. k'(x)=0, also: => x=0. Hinr. Bed.: k''(x)&#8800;0, Prüfen: k''(0)=1+1=2, 2>0, daher: Tiefpunkt! y-Koordinate => 2, da k''(0)=k(0)
A: Es liegt ein Tiefpunkt bei T(0|2) vor.
Wendepunkte => Notw. Bed. k''(x)=0, aber weil k''(x)=k(x), gilt wieder "false"
A: Es liegen keine Wendepunkte vor.

d) (Hier war ich mir nicht sicher, ob der Ansatz so stimmt...)
Eine Funktion mit der Form oben lässt sich beschreiben durch .

Was mach ich nun?? Ich hab die gegebenen Punkte B, C und D eingesetzt, aber da kamen bei mir keine Zahlen raus, sondern nur wieder so Relationen..

Versteht mich einer? Big Laugh

Würd mich freuen, wenn mir jemand helfen könnte.

Liebe Grüße
Lukas
Integralos Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo,
Könntest du bitte eine Skizze anhängen, würde vor allem Aufgabe a)
für einen Leser ohne Bild von der Situation extrem vereinfachen.
lg
lukas234 Auf diesen Beitrag antworten »

Wie blöd von mir. Klar smile
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

1.2) Teilweise schwer zu lesen. Mit deinen ganzen Hyroglyphen :P.
Du hast 153 statt 152 für die Höhe benutzt.
Deine Ansätze sind aber in allen drei Fällen richtig Freude .

1.3) Die Klammersetzung ist hier nicht beachet:


(Für die Potenz nutze e^{-x}, also geschweifte Klammern, ums in Latex richtig darzustellen)

Globalverhalten: Nicht lesbar

Symmetrie richtig.

Nullstellen / Wendepunkte / Extrempunkte: Der Teil ist wieder richtig.
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Zur 1.4

Dein Ansatz ist nicht ausreichend und außerdem kann man ihn verfeinern.
Verfeinerung: Wir wissen um die Symmetrieeigenschaft.



Allgemeiner:


Das ist so leider nicht durchführbar, denn wenn wir den Punkt C nehmen, dann hätten
wir k=0.

Wir tricksen:


Dann ist k beliebig. Setze nun D ein und du erhälst einen Wert für k Augenzwinkern .


Du konntest mir folgen? Die Trickserei am Ende verstanden? Einen anderen
Ansatz sehe ich leider nicht.
lukas234 Auf diesen Beitrag antworten »

Hey, danke, vielen Dank! smile

Ja, den Ansatz kann ich verstehen, ich frag mich wieso ich da nicht selbst drauf gekommen bin 8)

Stimmt, deshalb kommt bei mir auch keine Lösung raus, wenn k=0 ist und k darf ja bekanntlich nicht 0 sein... Also:

Merci! Gott
 
 
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Ich dachte schon du hättest mich vergessen Big Laugh .


Wenn nun alles verstanden ist, dann ist ja gut Freude .

Wink
lukas234 Auf diesen Beitrag antworten »

Jep, Quatsch, ich war nur die Woche über nicht daheim 8)

Ich hätte jetzt noch eine Aufgabe zu 1.5, die ich überhaupt gar nicht verstehe.

Machen Sie plausibel, dass die Länge L des Funktionsgraphen einer Funktion über einem Intervall [a;b] mithilfe folgender Formel berechnet werden kann:



Formulieren Sie eine Vermutung über die Länge des Seils von B über C nach D nach den Modellen aus b)(2) und d). Überprüfen Sie diese durch Berechnung.

Ich hab hierfür noch nicht mal einen Ansatz, ich hab gar keine Ahnung, wie das gehen könnte :/
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, eine Vermutung würde ich mittels eines Dreiecks BCD (Berechne die Länge
der Schenkel BC und CD) anstellen. Dürfte hier ausreichen.
Oder was meinst du mit b)(2) und d) verwirrt .

Und L dann halt berechnen, mit der angegebenen Formel.
lukas234 Auf diesen Beitrag antworten »

Das versteh ich ehrlich gesagt nicht... wir haben doch bislang eine quadratische Funktion bzw. eine e-Funktion für den Graphen von B über C zu D gehabt... wie kommst du da auf ein Dreieck? :o
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, du sollst ja eine Vermutung über die Länge aussprechen, also eine
Abschätzung machen. Da ich nicht wusste/weiß was du mit b)(2) und d) meinst...
lukas234 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, hi, hat sich schon erledigt, bin selbst drauf gekommen. :-)

Das Integral über a und b (also über den x-Koordinaten der Punkte B und D) konnte man berechnen.

Man weiß nun das die Länge eines jeden möglichst kleinen Streckenabschnittes mithilfe eines Dreiecks beschrieben werden konnte, man lässt also quasi die Anzahl an Unterteilungen des Bereiches zwischen a und b gegen unendlich laufen und ermittelt dann die einzelnen Steigungen.

Satz des Pythagoras wurde dann umgekehrt und dann hatte man die Streckenlängen für alle Streckenabschnitte. Die musste man dann nur noch integralweise aufsummieren...

Liebe Grüße und danke smile

Lukas
Equester Auf diesen Beitrag antworten »

Super umso besser Freude .

Wink
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