Aequivalenzrelation mit Geschichte |
| 31.03.2012, 23:22 | ermeglio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Aequivalenzrelation mit Geschichte Hallo ihr lieben, habe so ne Aufgabe und einmal mehr bin ich mir nicht sicher ob ich das Verlangte richtig verstanden habe. hier mal die Aufgabe: Auf einem Bauernhof leben drei Generationen zusammen mit einem Knecht. Geben Sie für jede der folgenden Relationen auf der Menge der auf dem Hof lebenden Menschen jeweils an, ob sie reflexiv, symmetrische, antisymmetrische, transitive und/oder Äquivalenzrelation ist. Begründen Sie kurz ihre Entscheidung. "x ist ein Geschwister von y" "x ist verheiratet mit y" "x hat dieselbe Augenfarbe wie y" "x ist ein Nachkommen von y" Meine Ideen: Mein Problem ist zuerst mal dass ich nicht verstehe wo ich anfangen soll. Ich porbiere es mal mit der Menge. Da man von 3 Generationen spricht nehme ich an dass folgende Personen auf dem Hof leben: GV = Grossvater GM = GrossMutter Va = Vater Mu = Mutter So = Sohn To = Tochter Kn = Knecht und somit habe ich, gemäss Ahname folgende Menge: ist es zumindest mal bis hier richtig? falls ja, hätte ich nun die Relationsmenge gebildet, im Sinn dass ich versucht hätte, die verschiedenen Relationen auf M zu applizieren. Zum Beispiel hätte ich probiert, R1 auf M zu applizieren und folgendes erhalten: ich füge hier bewusst (So, So) und (To, To) ein, weil ich als "Geschwister" die Definition "den gleichen Vater und Mutter haben" nehme und somit für mich ein Geschwister auch Geschwister von sich selbst ist (ich weiss, man könnte sich darüber streiten). für R1 hätte ich dann folgende Resultate erhalten: R1 ist nicht Reflexiv, da (Gv,Gv), (Gm,Gm), (Va,Va), (Mu,Mu), (Kn,Kn) nicht vorhanden sind. R1 ist symmetrisch da alle Pärchen symmetrisch vorhanden sind R1 ist nicht antisymmetrisch da alle Pärchen ja symmetrisch vorhanden sind R1 ist tranistiv da für alle Pärchen gilt x R y ^ x R z gilt x R z R1 ist nicht transitiv, da es nicht reflexiv ist stimmen alle meine überlegungen? Wäre der Fall R1 somit beendet und richtig? danke viel mal für Eure hilfe gruss ermeglio |
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| 01.04.2012, 17:36 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte Hallo, Du musst Dir nicht konkret überlegen, wie exakt die Familie sich zusammensetzt. Das kann ja von der konkreten Ausprägung her alles möglich bedeuten. Entscheidend ist nur die reine Information, daß da drei Generationen wohnen (und ein Knecht). Wenn Du Dir etwa die Relation 1 ansiehst, so ist diese sicherlich nicht reflexiv: Man ist nicht Geschwister von sich selbst, wie kommst Du darauf? Aber symmetrisch ist sie: Egal, in welcher Generation wir uns gerade befinden (es können ja auch Geschwister beispielsweise der 2. Generation auf dem Hof leben, jedenfalls weiß man es nicht genau): Nehmen wir uns ein Geschwisterpärchen her: Sei Dennis (D) ein Bruder von Oliver (O) (beide dritte Generation), dann ist also , aber eben auch . Ebenso gilt das auch für die anderen beiden Generationen, man muss sich da gar nicht konkret aufschreiben, wie die Familienkonstellation jetzt exakt aussehen mag. Transitiv ist die Relation natürlich auch: Seien Dennis (D) und Oliver (O) Brüder in der dritten Generation, und Oliver Bruder von Stefanie (S), dann ist auch Dennis Bruder von Stefanie, also Ebenso für die beiden anderen Generationen. Genauso gehst Du auch alle anderen Relationen einfach durch, ohne Dich groß zu fragen, wie die Familienkonstellation haargenau aussehen mag. |
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| 02.04.2012, 23:55 | ermeglio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte Lieber Dennis, zuerst mal vielen, viele Dank für Deine Hilfe. ich versuche es nun mal ohne Menge, frage mich ob das alles stimmt und vorallem ob auch meine Begründungen stimmen^ 
?"x ist ein Geschwister von y" reflexiv: nein, da x nicht Geschwister von x ist symmetrisch: ja, denn auch y ist ein Geschwister von x antisymmetrisch: nein, da x,y in R1, aber auch y,x in R1 und x y transitiv: nein, da x,y^y,x --> xx folgt, aber xx nicht in R1 ist Äquivalenz: nein, da nicht reflexiv und nicht transitiv "x ist verheiratet mit y" reflexiv: nein, da x nicht verheiratet mit x ist symmetrisch: ja, denn auch y ist verheiratet mit x antisymmetrisch: nein, da x,y in R2, aber auch y,x in R2 und x y transitiv: nein, da x,y^y,x --> xx folgt, aber xx nicht in R2 ist Äquivalenz: nein, da nicht reflexiv und nicht transitiv "x hat dieselbe Augenfarbe wie y" reflexiv: ja, da x dieselbe Augenfarbe wie x hat und das selbe gilt für y symmetrisch: ja, denn auch y hat dieselbe Augenfarbe wie x. Auch ist x,x sowie y,y sind vorhanden. antisymmetrisch: nein, da x,y in R3, aber auch y,x in R3 und x y transitiv: ja, da x,y^y,x --> xx folgt und xx in R3 und da y,x^x,y --> yy folgt und xx in R3 Äquivalenz: ja, da reflexiv , symmetrisch und transitiv "x ist ein Nachkommen von y" reflexiv: nein, da x nicht ein Nachkommen von x ist symmetrisch: nein, denn y ist nicht ein Nachkommen von x antisymmetrisch: ja, denn x,y in R4, aber y,x nicht in R4 und x y transitiv: nein, da y,x nicht in R4 Äquivalenz: nein, da nicht reflexiv, nicht symmentrsich und nicht transitiv alles richtig? danke schon im Voraus für die Hilfe! |
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| 03.04.2012, 22:25 | ermeglio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte kann mir niemand sagen ob meine Annahmen richtig sind? 
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| 03.04.2012, 22:51 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte hab jetzt nicht alles durchgelesen; du willst ne bestätigung für deinen vorletzten post, oder? nagut: R1 und R2 ok! R3: du musst bei transitivität beliebige x,y,z betrachten und aus x~y und y~z folgern: x~z, das ist ja hier offensichtlich, aber deine begründung ist wie gesagt nicht ganz in ordnung. R4: antisymmetrie: sei x~y dann ist aber nie y~x, also sogar asymmetrisch. transitivität hast du falsch: wenn x nachkomme von y und y nachkomme von z dann ist ja wohl auch x nachkomme von z. lg |
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| 04.04.2012, 00:09 | ermeglio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte Hallo Weisbrot! zuerst mal vielen Dank für Dein Feedback! Frage: R3: habe ich Dich richtig verstanden, dass meine Lösung stimmt, aber die Begründung falsch ist ? R4: transitivität habe ich falsch, klar. die anderen alle richtig? merci! |
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| 04.04.2012, 00:14 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte 1. frage: jap. 2. frage: jap, alles was zu bemängeln war hab ich geschrieben. lg |
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| 04.04.2012, 00:20 | ermeglio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte hmm... was ist denn an meiner Begründung falsch? ich dachte es ist so dass wenn xRy ^yRx --> xRx folgen muss und dass (x,x) auch vorhanden sein muss, liege ich da falsch? |
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| 04.04.2012, 00:37 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte die begrüngung ist nicht ausreichend; du hast nur gezeigt, dass x~y und y~x => x~x, du musst aber, wie gesagt, für alle x,y,z zeigen: x~y und y~z => y~z. oder meinst du bei R4? das hatte ich dir auch erklärt. lg |
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| 04.04.2012, 00:48 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte
Du meinst bestimmt x~z. |
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| 04.04.2012, 01:00 | ermeglio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte nee, ich meinte schon R3. "x hat dieselbe Augenfarbe wie y" transitiv: ja, da x,y^y,x --> xx folgt und xx in R3 und da y,x^x,y --> yy folgt und xx in R3 wenn ich dich richtig verstehe, stimmt die Begründung eigentlich schon, aber sie ist zu weit enfernt von der Realität, denn wer sagt schon: xavier hat dieselbe Augenfarbe wie yena ^ yena hat dieselbe Augenfarbe wie xavier , daher folgt dass xavier dieselbe Augenfarbe wie xavier hat. üblicher ist wahrscheinlich dieser Fall: xavier hat dieselbe Augenfarbe wie yena ^ yena hat dieselbe Augenfarbe wie zora daher folgt dass xavier dieselbe Augenfarbe wie zora hat. ist einfacher schöner, oder? hab ich es vielleicht verstanden? |
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| 04.04.2012, 01:10 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte
Hallo, ermeglio, ich verfolge jetzt schon etwas länger Deine Beiträge und was mir auffällt, ist, daß Du manchmal sehr unmathematisch an die Aufgaben herangehst: Es geht nicht darum, ob etwas schöner oder realitätsnäher ist, sondern darum, wie es mathematisch definiert ist. Meiner Meinung nach gehst Du zu interpretativ an die Aufgaben heran und deutest zu viel, anstatt "einfach" mathematische Definitionen anzuwenden. (Mathematik lebt gerade von Abstraktion und bei Aufgaben wie dieser ist es nicht gut, wenn man die Situation gleich zu konkret herunterbricht; das kann man machen, klar, aber vielleicht besser hinterher - um zu schauen, ob man den allgemeinen (abstrakteren) Fall verstanden hat.) Und Du solltest vielleicht etwas geduldiger sein und nicht jedes Mal nachfragen, ob Du es denn jetzt verstanden hast und stattdessen selbst darüber nachdenken, ob es sinnvoll ist (oder nicht), was Du an Ideen vorschlägst. Edit: Zum Beispiel bei der Transitivität musst Du doch eigentlich nur die Definition (s. z.B. Wikipedia) anwenden. Wie weisbrot es schon geschrieben hat: Bei R3 zeigt Du die Aussage nicht für drei Elemente, sondern lediglich für zwei und das ist eben unvollständig. Aus der Tatsache, daß folgt eben noch nicht die Transitivität. Das ist ein voreiliger (unvollständiger) Schluss. |
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| 04.04.2012, 01:20 | ermeglio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte leider ist dies für mich nicht immer einfach, wenn ich sicher wäre und alles verstanden hätte, dann wäre ich nicht hier 
trotzdem, danke für den Tip, werde es versuchen umzusetzten 
fällt mir aber schwer die Abstraktion 
anscheinend war ja meine Erklärung vorher komplett falsch war, frage: hast Du mir auch noch ein Tip, wieso die Begründung von R3 falsch ist? danke! |
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| 04.04.2012, 01:25 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte Das hat weisbrot doch schon zwei Mal geschrieben: Du hast die Transitivität noch nicht vollständig gezeigt, denn dafür nimmt man sich drei Elemente aus der Grundmenge her, Du hast Dir ja aber nur zwei Elemente hergenommen und dann die Symmetrie ausgenutzt; damit ist der Nachweis der Transitivität aber eben noch nicht erbracht. |
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| 04.04.2012, 01:34 | ermeglio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte
1) aber ich hatte ja im vorlezten Post 3 Elemente (xavier, yenia und zora) 2) sorry, ich bin trotzdem etwas verwirrt, denn: aber aus der Tatsache, daß folgt doch die Transitivität. Und es sind doch auch nur 2 Elemente und nicht 3. |
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| 04.04.2012, 01:44 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte
Okay, da hast Du von drei Personen geredet, stimmt. So wörtlich ist das auch okay. ---------- Aus der Tatsache folgt nicht die Transitivität, denn da muss das Gewünschte für alle möglichen drei Elemente x,y,z gelten. Du hast nur den Spezialfall gezeigt, daß x,y,z mit z=x. |
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| 04.04.2012, 02:02 | ermeglio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte ok, ich sehe den Punkt, ich habe als Begründung "den Spezialfall" verwendet und dieser ist anscheinend nicht ausreichend. Besser wäre also als Begründung für die Transitivität von R3 z.Bsp so was: wenn x dieselbe Augenfarbe wie y hat und y dieselbe Augenfarbe wie z hat, dann hat x dieselbe Augenfarbe wie z. bis hier alles klar. lass mich nur noch kurz ausschweifen: falls der Spezialfall gegeben ist, ist doch die Transitivität auch bewiesen. Denn, falls ja, sollte doch meine Begründung matematisch gesehen völlig richtig sein: transitiv: ja, da x,y^y,x --> xx folgt und xx in R3 und da y,x^x,y --> yy folgt und xx in R3 habe ich eine richtige mathematische Schlussfolgerung gemacht (ich versuche Dein Tip von vorher umzusetzen
) oder wieder falsch abstrahiert? |
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| 04.04.2012, 13:55 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte
Nein, denn aus dem "Spezialfall" folgt nicht notwendigerweise der allgemeine Fall. (Umgekehrt wird nur ein Schuh draus.) |
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| 04.04.2012, 14:55 | ermeglio | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte ok, alles klar, also immer allgemeiner Fall anwenden danke für deine Hilfe
ein lieber Gruss ermeglio 
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| 04.04.2012, 15:39 | Gast11022013 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Aequivalenzrelation mit Geschichte Bitte, kein Problem. |
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