Wurzel im Nenner ableiten

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thechus Auf diesen Beitrag antworten »
Wurzel im Nenner ableiten
Meine Frage:
Hey!

ich sitze gerade an einer ziemlich komplizierten Rechenaufgabe, die ich für mich selbst gerne lösen würde!

Ich möchte die minimale Höhe einer Milchtüte mit qudratischer Grundfläche bestimmen.
Das Volumen beträgt 955cm³.

a = Höhe
b = Breite

0,6 = Klebelasche rechts
0,8 = Klebelasche unten
0,8 = Klebelasche oben

Hauptbedingung lautet also:

(4b + 0,6) * (a + b + 1,6)

Nebenbedingung:

V = a * b², V = 955 => a =

NB in HB




Auflösen ergibt dann:




bzw (gerundet):




Meine Frage lautet nun:

Ist meine bisherige Vorgehensweise korrekt?
Und wie bilde ich denn nun die nächsten beiden Ableitungen??
Ich verzweifle daran...


Meine Ideen:
Mein vielversprechendster Ansatz war bisher:

Bsp:
A(a) =
A'(a) =

Wenn ich hier jedoch die Nullstelle bestimme, kommt ein unrealistischer Wert von 2,~ heraus.
Dies ist unrealistisch, weil ich vorher schon bewiesen hatte, dass die minimale Breite 7,76cm betragen muss.

Wieso setze ich diesen wert nicht einfach für b ein?!....

egal.. mich würde trotzdem interessieren wie man die nächsten beiden Ableitungen bildet!


Vielen Danke und Gruß,

thechus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Wurzel im Nenner ableiten!
Zitat:
Original von thechus
Hauptbedingung lautet also:

(4b + 0,6) * (a + b + 1,6)

Ich verstehe die HB nicht, du hast leider auch nur einen Term aufgeschrieben, keine Gleichung.
Was genau willst du berechnen? Der erste Faktor ist offenbar eine Grundseite, aber was sind (a + b + 1,6) verwirrt

Zitat:
Original von thechus
Nebenbedingung:

V = a * b², V = 955 => a =

Das muss wohl b = heißen.

Weiterhin hätte ich mir diesen Bruch: A(a) = etwas vereinfacht:


Analog kannst du die erste Ableitung vereinfachen, dann wird die zweite Ableitung leichter.

smile

edit: Ach ja, die Frage, wie man eine Wurzel im Nenner ableitet:

Ich schreibe es immer so:

Dann gilt:

thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Naja mit der Hauptbedingung möchte ich den Flächeninhalt der geammtwen Milchttüte berechnen.

A = (4b + 0,6) * ( a + b + 1,6)

a ist dabei die Höhe.
b ist die breite
1,6 die Summe der beiden Klebelaschen (oben und unten)


Die gesamte Höhe des Kartons wenn er aufgeklappt ist definiert sich aus:
Länge der langen Seite (a) + Länge der oberen/ unteren Klappfläche (b bzw 2* b/2) und der Summe der beiden Klebelaschen (1,6)

Ich habe eine kleine Planskizze angehängt vielleicht macht es die Sche etwas anschaulicher.

Ansonsten vielen Dank!!!

Gruß,

thechus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für die Zeichnung. So sehe ich schon mal klarer, was dein Vorgehen betrifft.

Hast du diese Skizze selbst ausgedacht?

Es wäre sehr gut, wenn du einmal den Originaltext der Aufgabenstellung komplett einstellen würdest.

Mit den Klebelaschen habe ich noch Probleme (inwieweit überlappt da was wo?), ebenso mit der unbenannten Fläche:

0,5b - b - b - ? - b - 0,5b

Was ist dieses "?" ? Du hast den schmalen Streifen nicht benannt.


Ich kann leider erst wieder ab ca. 14.00 Uhr weiterhelfen (Mittagessen Augenzwinkern ).
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Jau denn schonmal guten Appetit!


Die ursprüngliche Aufgabenstellung war, die optimale Milchtüte zu entwerfen.
D.h. Minimaler Materialaufwand bei einem Liter Fassungsvermögen.

Nun möchte ich die Bauchigkeit berechnen!
(wenn jemand dazu andere Ansätze hat bin ich immer offen :huhusmile

Die Skizze habe ich gefunden und meiner Aufgabe angepasst :P

Ich habe herausgefunden, dass Milchtüten heute aufgrund der Bauchigkeit (also der Krümmung des Kartons wenn er voll ist) nur theoretisch nur 955cm³ fassen.

Ich wollte mit dieser Bedingung und unter der Bedingung, dass die Grundfläche 7,76 cm beträgt die benötigte Höhe des Kartons bestimmen, diese mit der optimalen Höhe in Verbindung setzen und dann das Bogenmaß der Krümmung berechnen.
Dies könnte man dann auch in Prozent ausdrücken und ich hätte berechnet, um wieviel Prozent sich der Karton ausdehnt.

Das "?" ist einfach nur ein Überbleibsel der alten SKizze.
Ich habe die Skizze nochmal überarbeitet.

Gruß,
thechus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, das ist dann aber ein ungewöhnliches Vorgehen, wenn du statt mit einem Liter mit 955 ml rechnest und wenn du die Bauchigkeit gleich mit berücksichtigst, anstatt zu sagen, ich habe einen Quader mit 1 Liter Inhalt.
Abgesehen davon: Wenn ich 1 Liter Milch in den Karton fülle und der dann in der Mitte etwas auseinander geht, habe ich immer noch 1 Liter Milch drin.
Ich kann nicht nachvollziehen, wohin die 45 ml verschwinden sollen.


Daher eine Frage: Handelt es sich bei der Aufgabe um eine gewöhnliche Oberstufen-Extremwertaufgabe?
Oder steckt da etwas anderes dahinter, eine Aufgabe aus dem Design-Umfeld etwa?
Ist dir aufgetragen worden, die Bauchigkeit zu berechnen? Welche Angaben hast du dazu?
Ist gesagt worden, dass du aufpassen sollst, weil man (trotz dem 1Liter-Volumen) nicht mit einem Liter Inhalt rechnen darf?
Weiterhin frage ich mich, wie du auf die Grundfläche von 7,76 cm² kommst.

Und welche Höhe willst du dann für die Berechnung verwenden? Die "theoretische" Quaderhöhe oder die "praktische" Höhe mit Bauch?

Und ganz abgesehen davon ist die Milchtüte mit der minimalen Oberfläche ein Würfel, das ist nicht neu. Ein wenig kann sich die Form aufgrund der Falze verändern.

Sorry für die ganzen Fragen, eigentlich ist die Aufgabe eine 5-Minuten-Angelegenheit.
Aber es kommen bei jedem Post von dir neue Details dazu, so dass ich denke, du hast immer noch nicht alle Informationen gegeben.
 
 
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Die Aufgabe ist folgende:

Eine Firma möchte eine 1-Liter Milchtüte mit quadratischer Grundform herstellen, dabei aber die Materialkosten minimal halten.

Sie ist eigentlich eine gewöhnliche Oberstufen Aufgabe aber ich hab sie etwas komplizierter gestaltet.

Hier mein gesamter Hintergedanke (Schreibarbeit ._.)

Bei der Aufgabe soll es sich um ein Mathematisches Model handeln.
Meine Vorgehensweise war folgende:

Zunächste habe ich rechnerisch die offensichtliche Annahme bewiesen, dass ein Würfel die gewünschten Eigenschaften hätte.
Nachdem ich Klebelaschen etc. mit in die Rechnung einbezogen hatte habe ich mir die Frage gestellt, warum solche Würfel denn nicht im Markt verkauft werden.
Hier bin ich von einem Liter ausgegangen und habe die Bauchigkeit vernachlässigt.

Ich habe daraufhin den Minimalen Flächeninhalt einer realen Milchtüte wie folgt berechnet:

Das Volumen beträgt 1000cm³.

a = Höhe
b = Breite

0,6 = Klebelasche rechts
0,8 = Klebelasche unten
0,8 = Klebelasche oben

Hauptbedingung lautet also:



Nebenbedingung nach a umgestellt:



NB in HB:



Zielfunktion



Ableitungen




Und jetzt mit dem Newton Verfahren:




Das Ergebnis lautet dann 7,76 für die Nullstelle also auch für den minimalen Flächeninhalt.



Jetzt, warum ich mit 955cm³ rechne:

Im nächsten Schritt möchte ich die Bauchigkeit berücksichtigen!
eine Milchtüte wird heute für ein mathematisches Volumen von 955cm³ konzipiert.
Dies nehme ich nun als Ausgangsbedingung und gehe die Rechnung nochmal unter dieser Bedingung durch und versuche die Höhe zu berechnen.

Des weiteren werde ich die theoretische Höhe verwenden.

Ich weiß aber, dass es auch einen anderen Lösungsweg geben sollte:

Setzt ich die vorausgesetzten 7,76cm in



sollte ich die Höhe bekommen.

Die Länge der Seite bei 1000ml berechne ich dann durch:




Die Differenz dieser beiden Werte müsste dann in Prozent angegeben auch der Wert sein, um die sich die Seite der Milchtüte krümmt.

Somit hätte ich eine Eigenschaft der Milchtüte errechnet.
In meiner Ausarbeitung werde ich dann alles versuchen rückwärts zu rechnen.
Ich würde angeben, dass die Pappe sich um einen soundso %-Wert verlängert und damit die minimal mögliche Fläche der Pappe mit Berücksichtigung der Bauchigkeit angeben.

Ich hoffe das war verständlich.

Gruß,
thechus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Das Ergebnis lautet dann 7,76 für die Nullstelle also auch für den minimalen Flächeninhalt.


Nein, das ist die Seitenlänge, der minimale Flächeninhalt der Grundseite beträgt 7,76² cm² = 60,2176 cm².

Weiterhin verstehe ich die 955 cm³ jetzt so, dass dies das Volumen wäre, wenn man die durch die Bauchigkeit entstandene, geringere Höhe mit der Grundfläche der 1000 cm³ verrechnen würde.

Hast du den prozentualen Unterschied schon berechnet?
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Hey,

Ja, so meinte ich das ja auch smile

Und die Sache mit der Bauchigkeit hast du auch richtig verstanden.

Der prozentuale Zuwachs beträgt

4,73%

(Seitenlänge bei 955cm³ = 15,86cm)
(Seitenänge bei 1000cm³ = 16,61 cm)

Nun frage ich mich aber... ist es möglich das daraus entstehende Bogenmaß zu errechnen?


Gruß,
thechus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Der prozentuale Zuwachs kann so nicht stimmen. Du beziehst dich auf die 955cm³, du musst dich aber auf die 1000cm³ als Grundwert beziehen.

Außerdem ist doch eigentlich klar, dass bei konstantem Grundwert die Differenz (45 cm³) auf 1000 bezogen die Lösung sein muss: 4,5 %.

Wie du die Bauchigkeit bei einem Quadratprisma errechnen willst, ist mir jetzt nicht klar. Das dürfte etwas schwieriger werden... verwirrt
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Stimmt....

würde ich aber trotzdem gerne versuchen.

Ich weiß ja nun, dass sich die eine Seite um 4,5% also 0,75 cm vergrößert.

Kann ich damit denn das Bogenmaß errechnen?
Bei gleicher Höhe muss sich die Seite um 0,75cm vergrößern.
(Dies ist stark vereinfacht, da ich nur von einer Seite ausgehe, es aber 4 gibt)


Gruß,
thechus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Naja, die Prozentangabe bezieht sich durchaus auf jede Seite. Augenzwinkern

Du kannst versuchen, das Bogenmaß zu errechnen. Inwieweit dieser theoretische Wert mit der Praxis übereinstimmt, weiß ich jedoch nicht.
(Wenn sich die Packung wirklich in horizontaler Richtung verformt, also effektiv dehnt, könnte sie sich theoretisch auch in vertikaler Richtung verformen bzw. dehnen).
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ja.

Leider habe ich nur keinen Ansatz, wie ich dieses Bogenmaß errechnen soll.

Außerdem will ich das ja nicht realitätsgetreu nachrechnen.
Nur habe ich Gefallen am mathematischen Modellieren gefunden und dachte mir, dass es auch mal ganz nett wäre den Lehrer zu überraschen.

Würdest du mir helfen, das Bogenmaß herauszufinden?

Gruß,
thechus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich dachte, du wüsstest, was du da tun willst. Augenzwinkern

Ich sehe das Problem, dass wir keinen Winkel haben, ebensowenig wie einen Radius oder die Segmenthöhe.

verwirrt
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

haha Big Laugh
Das hab ich ja auch gesehen....

Wir haben die Kreissehne und den Kreisbogen gegeben.
Wir haben auch den Flächeninhalt des Kreissegments gegeben.

Was lässt sich damit machen? Ich grübel derweil....

Gruß,
thechus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wo hast du den Flächeninhalt des Kreissegments gegeben? verwirrt
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Der Flächeninhalt müsste doch das dazugewonnene Volumen sein?
(Wir sollten jedoch in Flächenrechnen....)

ääh.... klingt nach einem Paradoxon....

Aber es muss möglich sein aus Bogenmaß und Kreissehne diese Fläche zu berechnen!

Wie ist dann aber die Frage.....

hmmm..

Gruß,

thechus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ein Problem ist auch, dass sich die Packung vermutlich nicht überall gleichmäßig ausdehnt. Ich würde mir die Tendenz Richtung Tonne vorstellen, das hieße, dass in der Mitte der Seiten die Ausdehnung am stärksten, an den Kanten am geringsten, vielleicht sogar 0 ist.

Eventuell könntest du ja die 45/4 = 11,25 cm³ pro Seite so über die Fläche 7,76·15,859 cm² verteilen, dass es wie ein Teilstück eines Ellipsoids aussieht.
Leider werde ich dir bei einer solchen Berechnung nicht helfen können.
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm.. okay...

Das dachte ich mir auch schon.

Wir könnten doch erstmal von einem rechtwinkligen Dreieck für die Segmenthöhe ausgehen?
Mit dem Hinteredanken hab ich mich mal ein wenig schlau gemacht und kam auf folgender Annäherungsformel:



somit wäre:



und h = 2,14 cm!

Klingt soweit ganz gut oder?

Gruß,
thechus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Da muss ich erst mal in mich gehen, habe aber im Moment eher weniger Zeit.

Später werde ich genug Ruhe dazu haben. smile

edit: Gibt es einen Link, wo du die Formel her hast?
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

So und mit den weiteren Formeln:

gegeben:
s = 15,86
b = 16,61
h = 2,14















Der Link ist: http://www.matheplanet.com/default3.html... ed%3D0CGkQFjAJ


Aber nun habe ich ein kleines Problemchen....
Setze ich die Werte in die Volumengleichung ein (für die Segmentkugel)
Bekomme ich für das Volumen 216,47 raus.

Habe ich da einen Denkfehler oder wurde nur zu stark vereinfacht?
Gruuß,
thechus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, aktuell bin ich mit anderen Sachen im Real Life beschäftigt, werde mir aber heute Abend deine Rechnung in Ruhe durchsehen.

smile
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ist gut smile Musst auch nicht nur du helfen.

Danke dir vielmals.
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

AHH!

Ich habe die Lösung!

Ich hätte von Anfang an h/4 teilen müssen!

Das bedeutet:

h = 2,14/4 = 0,535!
















Jetzt die Probe mit dem Volumen:








Die 8cm³ lassen sich auf Rundungen und der ersten Annäherung zurückführen!


Und wenn das logisch klingt sollte ich fertig sein smile

Man bin ich glücklich Big Laugh


Vielen Dank soweit nochmal smile

Gruß,
thechus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm, ich habe so einige Probleme mit deinen Rechnungen.
Warum hättest du einerseits die Höhe h durch 4 teilen sollen? Die ermittelten Werte der Körperhöhen gehen als b = 16,61 cm und s = 15,86 in die Rechnung ein, die Höhe des Kreissegments (2,14 cm) ist eindeutig.
Andererseits: Es ist klar, dass volle Milchpackungen nicht einen über 4cm größeren Durchmesser haben, von daher kann die errechnete Höhe des Kreissegments nicht stimmen.

Das Volumen des Kugelsegmentes ist wiederum zu groß, da das zur Verfügung stehende Volumen insgesamt nur 45 cm³ beträgt, pro Segment also 11,25 cm³.

Davon abgesehen haben wir keine Kugel bzw. deren Segmente vorliegen, eher schon ein Ellipsoid bzw. dessen Segmente als Ausbuchtung, wie ich schon geschrieben hatte.
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Das heißt, dass ich "einfach" die falschen Formeln (die eines Kreises) verwendet habe?
Dass es zu groß ist hab ich mir mit dem vielen Runden erklärt.
Schon ganz am Anfang fing ich mit dem Runden an.

Hmm...

Dann such ich mir mal die Formeln für Elipsoide heraus.
Oder hast du sie bereits parat?

Danke nochmal,

Gruß
thechus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Wie gesagt, da kann ich leider nicht helfen. Mit Ellipsoiden habe ich noch nicht gerechnet.
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Hmm ja..

Deine Mitbetreuung ist trotzdem sehr hilreich.

Mich beschäftigt grad, dass das Volumen des Ellipsoids mit den Seitenlängen, die für das Volumen 955cm³ errechnet wurden, nahezu genau 1000cm³ beträgt.

Siehst du da vllt irgend eine Verbindung zwischen?

Eigentlich sollte das Volumen mit diesen Seitenlängen doch kleiner sein....







Gruß,
thechus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich nehme an, die Figur des Ellipsoids ist nicht 100% passend, um das Volumen der Milchpackung zu berechnen.

Vielleicht hat ein anderer Helfer mehr Erfahrung mit dem Thema?
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

ja bestimmt...

Laut rufen bringt aber leider nichts... <_<


Gruß,
thechus
sulo Auf diesen Beitrag antworten »

Ich würde dir raten, einen neuen Thread zu starten.

Wir sind ja auch meilenweit vom Titel (Wurzel im Nenner ableiten) entfernt. Augenzwinkern

Du kannst darin ja auf diesen Thread verweisen, aber das als neues Problem starten.
Dann wirst du sicher Hilfe zum Thema Ellipsoid finden.
thechus Auf diesen Beitrag antworten »

Wo du Recht hast hast du Recht Big Laugh

Wobei....
Wäre es nicht doch logisch, die Segmenthöhe durch 4 zu teilen?
Denn wir haben die Fläche des Segments an einer Seite bestimmt.
Ist die Milchtüte jedoch zusammengefaltet werden daraus 4.
Dadurch verändert sich zwar nicht der Flächeninhalt, aber das Volumen.

Hmm....

Gruß,
thechus
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