Interpolationspolynome: äquidistante Stützstellen, 3 Punkte, Ableitung an Mitte bekannt

01.04.2012, 11:29

pablosen

Interpolationspolynome: äquidistante Stützstellen, 3 Punkte, Ableitung an Mitte bekannt

Guten Tag

Wenn ich durch die Stützstellen

$\begin{eqnarray*} x_0=-1 , x_1=0 , x_2=1 \end{eqnarray*}$

ein Interpolationspolynom 2. Grades lege, ist die Ableitung an der Stelle $\begin{eqnarray*} x=0 \end{eqnarray*}$ "bekannt".

Dieser Sachverhalt wurde verwendet, um die Simpsonregel zu beweisen.

Durch Tests habe ich herausgefunden, dass die Ableitung an der Stelle 0 genau der Steigung der Gerade von $\begin{eqnarray*} f(x_1) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} f(x_2) \end{eqnarray*}$ entspricht.

Wie kann man das formal beweisen, warum ist das so?

Wenn ich das Interpolationspolynom entwickle und dann ableite, bekomme ich immer nur die Gleichung

$\begin{eqnarray*} f'(0)=f'(0) \end{eqnarray*}$

Jmd. vlt. eine Idee?

Grüsse

01.04.2012, 12:28

Math1986

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RE: Interpolationspolynome: äquidistante Stützstellen, 3 Punkte, Ableitung an Mitte bekannt
Die Ableitung ist ja gerade so definiert, dass sie die Steigung (der Tangente) in einem bestimmten Punkt angibt.

01.04.2012, 14:04

pablosen

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RE: Interpolationspolynome: äquidistante Stützstellen, 3 Punkte, Ableitung an Mitte bekannt
Und warum muss das genau die Steigung der Gerade von f(-1) nach f(1) sein?

01.04.2012, 14:41

Math1986

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RE: Interpolationspolynome: äquidistante Stützstellen, 3 Punkte, Ableitung an Mitte bekannt
Die Frage verstehe ich nicht, sorry unglücklich

Beispiel?

01.04.2012, 15:01

Mystic

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RE: Interpolationspolynome: äquidistante Stützstellen, 3 Punkte, Ableitung an Mitte bekannt
@Math198

Er/Sie meinte vermutlich mit Steigung der Geraden von f(-1) nach f(1) den Ausdruck

$\begin{eqnarray*} \frac {f(1)-f(-1)}{1-(-1)} \end{eqnarray*}$

oder sowas von der Art... Augenzwinkern

@pablosen

Ich denke, du solltest das Interpolationspolynom in der Gestalt

$\begin{eqnarray*} f(x)=a_0+a_1x+a_2x(x+1) \end{eqnarray*}$

ansetzen, mit Hilfe der Wertepaare

$\begin{eqnarray*} (-1,f(-1)),(0,f(0)),(1,f(1)) \end{eqnarray*}$

seine Koeffizienten

$\begin{eqnarray*} a_i, \quad i=0,1,2, \end{eqnarray*}$

berechnen und zum Schluss dann auch $\begin{eqnarray*} f '(0) \end{eqnarray*}$ , um zu sehen, ob das Richtige herauskommt...

02.04.2012, 19:06

pablosen

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RE: Interpolationspolynome: äquidistante Stützstellen, 3 Punkte, Ableitung an Mitte bekannt

Zitat:

Die Frage verstehe ich nicht, sorry

Ich wollte einfach einen formalen Beweis. Den habe ich jetzt:

Ich habe das Interpolationspolynom für 4 Stützstellen berechnet, was nicht richtig war. Wenn man aber

$\begin{eqnarray*} p_2 := \end{eqnarray*}$ Interpolationspolynom zu Stützstellenmenge $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1\\ 0 \\ -1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und Wertemenge $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} f_1\\ f_0 \\ f_{-1} \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Dann ist

$\begin{eqnarray*} p_2'(0)=\frac{f_1-f_{-1}}{2} \end{eqnarray*}$

Danke&Grüsse

04.04.2012, 10:50

Mystic

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RE: Interpolationspolynome: äquidistante Stützstellen, 3 Punkte, Ableitung an Mitte bekannt

Zitat:

Original von pablosen

Zitat:

Die Frage verstehe ich nicht, sorry

Ich wollte einfach einen formalen Beweis. Den habe ich jetzt:[...]

Ja, das war schon klar... Das Problem war nur, dass schon deine Frage so schwerwiegende formale Mängel aufwies, dass man nur mit sehr viel Fantasie (und guten Willen!) dahinter kommen konnte, was du überhaupt meinst... Na, wenigstens habe ich oben in dieser Hinsicht richtig getippt! Augenzwinkern

04.04.2012, 17:55

pablosen

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Ok, gesehen, sry, war ein Fehler mit x_1 usw... .

Grüsse

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