Mengenlogik / Beweis der Aussage

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01.04.2012, 12:17	A_BOS12	Auf diesen Beitrag antworten »
Mengenlogik / Beweis der Aussage Schönen Sonntag zusammen, folgende Aufgabenstellung: A und B sind Teilmengen von M und M ist ungleich der Leerenmenge!! $\begin{eqnarray} A = \left\{\right\} \equiv \forall B\in P(M)gilt: A \end{eqnarray}$ \ $\begin{eqnarray} B=A\cap B \end{eqnarray}$ Ziegen Sie die Gültigkeit dieses Aussage! Im endeffekt versteh ich eigentlich gar nix von dieser Aussage Das heißt ja soviel wie: A = Leeremenge und das ist Äquivalent zu (gleich) Für alle B (ist hier eine Menge oder?) Element von der Potenzmenge ( M) für die gilt: A ohne B = A geschnitten mit B! (Potenzmengen sind alle Teilmengen von M also A,B,C,....) Ich würde hier jetzt sagen: Nachdem A die Leeremenge ist und A \ B wäre dann auch die Leeremenge da Leeremenge ohne eine Menge B immer noch die Leeremenge ist??? und das ist gleich wie: A geschnitten mit B und wenn ich die Leeremenge und eine andere Menge schneide, hab ich ja immer noch die Leeremenge??? Also ist die Aussage richtig????
01.04.2012, 12:19	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlogik / beweis der Aussage! Die Hinrichtung passt - die Rückrichtung wäre mit dieser Aufgabenstellung nicht richtig.
01.04.2012, 12:22	A_BOS12	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlogik / beweis der Aussage! Erstmal kurze Frage! WAs ist Hinrichtung und was ist Rückrichtung??? Ist damit gemeint, Das ich erstmal A = Leeremenge als Voraussetzung hab und damit den die andere Seite beweise und umgekehrt???
01.04.2012, 12:24	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlogik / beweis der Aussage! Die Aussage lautet: $\begin{eqnarray} A = \{ \} \end{eqnarray}$ genau dann, wenn $\begin{eqnarray} \forall B \in P(M) \end{eqnarray}$ gilt: $\begin{eqnarray} A\backslash B = A \cap B \end{eqnarray}$ . Was du also zeigen musst: Wenn A leer ist, dann gilt für alle B aus P(M) die Gleichung. Die Rückrichtung wäre: Die Gleichung gilt für alle B aus P(M) und du musst folgern, dass dann A schon leer sein muss.
01.04.2012, 12:38	A_BOS12	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlogik / beweis der Aussage! Das ist die Lösung meines Dozenten für die Rückrichtung! $\begin{eqnarray} \forall B \in P(M) gilt A \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} B = A \cap B \end{eqnarray}$ auch für $\begin{eqnarray} B = M A \end{eqnarray}$ \ $\begin{eqnarray} M = \end{eqnarray}$ {} $\begin{eqnarray} = A \cap M = A \Rightarrow A = \end{eqnarray}$ {}
01.04.2012, 12:48	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlogik / beweis der Aussage! Tut mir leid, ich hatte $\begin{eqnarray} B \subset P(M) \end{eqnarray}$ gelesen - natürlich Stuss. Aber ja, die Idee ist B=M zu wählen.
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01.04.2012, 12:50	A_BOS12	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlogik / beweis der Aussage! NUr leider versteh ich diese Lösung nicht! könntest du mir das vielleicht erklären??
01.04.2012, 12:52	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlogik / beweis der Aussage! Du hast als Voraussetzung, dass für alle B Teilmengen von M gilt $\begin{eqnarray} A \cap B = A \backslash B \end{eqnarray}$ . Wenn du B = M wählst, wie sieht dann die linke Seite aus - und wie die rechte?
01.04.2012, 13:08	A_BOS12	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlogik / beweis der Aussage! $\begin{eqnarray} A \cap B = A \backslash B \end{eqnarray}$ Ich muss so zusagen auf der einen SEite dann die Leeremenge stehen haben und auf der anderen die Menge A! $\begin{eqnarray} A \cap M = A \end{eqnarray}$ weil die Menge A in M enthalten ist und somit ist es A und $\begin{eqnarray} A \backslash M= Leeremenge \end{eqnarray}$ ist auch logisch WEnn also B eine Teilmenge von M ist kann ich sagen B=M???
01.04.2012, 13:18	IfindU	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlogik / beweis der Aussage! Die Gleichung stimmt. Die rechte Seite behauptet, dass jede Teilmenge von M diese Gleichung erfüllt. In dem Fall wählen wir ein spezielles B und daraus folgt schon, dass $\begin{eqnarray} A = \emptyset \end{eqnarray}$ . Du hättest auch $\begin{eqnarray} B = \emptyset \end{eqnarray}$ probieren können.
01.04.2012, 14:03	A_BOS12	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Mengenlogik / beweis der Aussage! danke! Ich werd mich mal noch an anderen Aufgaben versuchen und schauen was bei raus kommt. schönen Sonntag noch!

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