Eigenvektoren der Matrix

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Vonderklippe Auf diesen Beitrag antworten »
Eigenvektoren der Matrix
Die Folgende Matrix hat Eigenwerte 1 und 2. Für welche Werte von C und D existiert eine Basis des R³ aus Eigenvekoren der Matrix?

C=

Also mein Ansatz ist det(C- *E)=0 ist dieser Ansatz richtig? Danach muss ich vermutlich den Gaußalgorithmus benutzen bin mir aber leider auch nicht sicher

Ich denke das man das auch so sehen kann das c und d Null sein müssen damit die matrix diagonalisierbar ist und damit Eigenvektoren existieren, falls ich die Frage nicht missverstanden habe.

Ich danke für eure Hilfe

MfG Vonderklippe
parkerstone Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
damit die matrix diagonalisierbar ist

Genau das ist hier die entscheidende Frage: Wann ist A diagonalisierbar ? (nicht zu verwechseln mit A ist Diagonalmatrix). Das char. Pol. braucht man dazu, Gaußalgo. dagegen nicht.

Ach ja, d muss nicht 0 sein.
Vonderklippe Auf diesen Beitrag antworten »

Hallo un ddanke für die schnelle Antwort.

Wie bekomme ich denn das Charakteristische Polynom?
parkerstone Auf diesen Beitrag antworten »

das hast du doch bereits hingeschrieben (und du kennst offenbar den Begriff den ich nicht ausgeschrieben hab).

Was sind denn die genauen Bedingungen an die Diagonalisierbarkeit einer Matrix?
Vonderklippe Auf diesen Beitrag antworten »

Diagonalisierbar ist eine Marix die die ähnlichkeitsbedingung erfüllt so habe ich das gerade aus wiki gelesen.

D.H ich habe die det(c-lambda*E)=0 und muss jzt die Inverse bestimmen damit ich gucken kann ob C diagonalisierbar ist richtig?
parkerstone Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Diagonalisierbar ist eine Marix die die ähnlichkeitsbedingung erfüllt so habe ich das gerade aus wiki gelesen.

Der Absatz darüber ist der interessantere. Hier soll die Matrix ja nicht diagonalisiert werden sondern nur gezeigt werden, dass es möglich ist.

Wobei ich mich grad frage ob ihr das in Vorlesung nicht gemacht habt?
 
 
Vonderklippe Auf diesen Beitrag antworten »

das problem ist das ich die Erklärung im Skript nicht verstehe und in der Vorlesung kam das eher beiläufig dran. Naja die Vorlesungen sind auch bisschen her smile

Meinst du die Eigenschaften der Diagonalmatrix? Die Algebraische Vielfachheit des Eigenwertes 1 wäre dann 2 und von 1 wäre es 1

D.h wiederrum das für den Eigenwert 1 der Eigenraum eine geometrisch Vielfachheit von 2 haben muss wenn ich es nicht Falsch verstanden habe.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Hier muss ich aber protestieren...
Das charakteristische Polynom braucht man hier nur bedingt, die Eigenwerte sind ja schon gegeben. Und die Diagonalisierbarkeit ist zwar äquivalent zu der Forderung aus der Aufgabe, aber es sollte doch einfacher sein, die Aufgabe direkt zu beantworten und nicht zwei Umwege zu gehen, um am Ende entweder wieder am Anfang oder bei einer schwierigeren Aufgabe zu landen. (d.h. den Begriff diagonalisierbar brauchen wir hier gar nicht; also lieber weglassen, wenn er verwirrt)

Man muss offenbar zeigen, dass die Summe der Dimensionen der Eigenräume 3 ist. Für den Eigenwert 2 hat man in jedem Fall die Dimension 1 (entweder direkt argumentieren oder über das charakteristische Polynom/die algebraische Vielfachheit).
Die Aufgabe ist also, c und d so zu bestimmen, dass C-1E den Rang 1 hat, d.h. man soll zwei linear unabhängige Lösungen zu (C-E)v=0 finden können.

Zu dieser Aussage noch:
Zitat:
D.H ich habe die det(c-lambda*E)=0 und muss jzt die Inverse bestimmen damit ich gucken kann ob C diagonalisierbar ist richtig?

Wenn die Determinante Null ist, gibt es doch gar keine Inverse.

mfg,
Ché Netzer
parkerstone Auf diesen Beitrag antworten »

Bei Wikipedia kommt nicht so schön rüber was wir hier genau verwenden (hatte gehofft es steht in deinem Skript besser):
Eine nxn-Matrix A ist diagonalisierbar genau dann wenn das charakterische Polynom in Linearfaktoren zerfällt (was wir hier haben) und die geometrische Vielfachheit aller EW entspricht deren algebraischen Vielfachheit.

Was ist denn die geometrische Vielfachheit eines EW (hat was mit dem Eigenraum zu tun)?

Und die alg. Vielfachheiten sind bis auf Tippfehler richtig: EW1 hat Vielfachheit 2, EW 2 Vielfachheit 1.
parkerstone Auf diesen Beitrag antworten »

@che netzer:
Jetzt muss ich aber protestieren:
Der begriff diagonalisierbar ist äquivalent zur Fragestellung und meiner Meinung nach der deutlich anschaulichere, außerdem wurde der Begriff als Lösungsansatz vom fragesteller gebracht, also warum nicht damit arbeiten. Und ich sehe nicht wie dieser begriff hier verwirrt. Und einen ernsthaften Umweg sehe ich hier nicht. Höchstens einen Ansatz wie man das ganze auf etwas unangenehmere matrizen anwenden kann.

Außerdem widersprichst du dir selbst: Erst sagst du das charakterische Polynom wäre unnötig, dann verwendest du es selber in einer Argumentation.

Mal ganz abgesehen davon plapperst bereits Sachen aus die ich gerne vom Fragensteller gehört hätte.
Vonderklippe Auf diesen Beitrag antworten »

Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraum. Das heist, vermute ich, ich muss die Dimension des charakteristischen Polynoms bestimmen

det(C- 1*E) * =

Aber diese 3 Vektoren sind dann linear abhängig was keine bsis des R³ wäre
parkerstone Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des Eigenraum

Vollkommen richtig. Was ist denn der Eigenraum eines Eigenwerts?

Zitat:
det(C- 1*E) * =

Das verwirrt mich. Wie kommst du hier auf ein "+"? Und was für 3 Vektoren?
(und bei der matrix ist rechts unten ein Fehler).

Der Eigenraum zum EW 1 soll 2 dimensional sein (alg.Vielf. = geom. Vielf.). Eine Basis davon kann also keine Basis des IR³ sein.
Vonderklippe Auf diesen Beitrag antworten »

war ein tippfehler smile sollte * sein. habe shift nicht gedrückt^^. Genau den Eigenraum habe ich nicht so ganz verstanden unglücklich .

Nach deiner aussage existiert keine Basis des R³ für die eigenvektoren oder? Für den Eigenwert 2 auh nicht
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

@parkerstone:
Wenn ich Diagonalisierbarkeit zeigen möchte, sehe ich mir die Eigenräume an. Wieso sollte man also eine Frage nach deren Dimensionen auf Diagonalisierbarkeit zurückführen und über Ähnlichkeiten diskutieren?

Und das charakteristische Polynom war in der Argumentation nur eine Alternative.

Die Beiträge (bzw. fast alle) vor der Gleichung, die der Fragesteller vor kurzem aufgestellt hat (bei der links übrigens noch ein det zu viel steht), hätte man sich meiner Meinung nach sparen können.
parkerstone Auf diesen Beitrag antworten »

Jein.



Die Determinante einer Matrix dagegen ist immer ein Skalar (eine Zahl).

Wie kommt man von der Matrix auf die Dimension des Eigenraums. (ich erschlage sowas gern mit dem Dimensionssatz, es gibt aber anschaulichere Methoden.)


Etwas off-topic: * für Multiplikation finde ich etwas unschön. Weglassen wenn möglich, in TeX einfach \cdot verwenden.
Vonderklippe Auf diesen Beitrag antworten »

Che Netzer wie wäre den dein Vorschlag? Ich brauch jzt auch keine mathematischen beweise oder so. Ich muss lediglich als Ingenieur das werkzeug benutzen können. Und das Werkzeug verstehe ich nicht.

Danke für eure Mühe
parkerstone Auf diesen Beitrag antworten »

So, nochmal mein Post von gerade in sauber mit Anmerkungen an che Netzer:

Jein.



Die Determinante einer Matrix dagegen ist immer ein Skalar (eine Zahl).

Wie kommt man von der Matrix auf die Dimension des Eigenraums. (ich erschlage sowas gern mit dem Dimensionssatz, es gibt aber anschaulichere Methoden.)


Etwas off-topic: * für Multiplikation finde ich etwas unschön. Weglassen wenn möglich, in TeX einfach \cdot verwenden.

Zitat:
Wenn ich Diagonalisierbarkeit zeigen möchte, sehe ich mir die Eigenräume an. Wieso sollte man also eine Frage nach deren Dimensionen auf Diagonalisierbarkeit zurückführen und über Ähnlichkeiten diskutieren?

Häh?
Zitat:
Und das charakteristische Polynom war in der Argumentation nur eine Alternative.

Und genau wegen solcher Sachen sage ich nicht von vornherein dass das char. Polynom unnötig ist. Es ist für manche Argumentationen hier nützlich.

Zitat:
Die Beiträge (bzw. fast alle) vor der Gleichung, die der Fragesteller vor kurzem aufgestellt hat (bei der links übrigens noch ein det zu viel steht), hätte man sich meiner Meinung nach sparen können.

Jeder darf eine Meinung haben. Aber fragen wir doch den Thradersteller welche Vorgehensweise ihm lieber ist.
Vonderklippe Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte jzt nicht einen Streit zwischen euch entfachen traurig . Und diese frage zieht sich auch ziemlich ins lange und ich verstehe auch nur noch Bahnhof...

Was mache ich jzt mit der deiner Eig(1,C)=Kern(C-1*E) aussage?

Und Che Netzer könntest du mir bitte nochmal deine Variante erklären.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dann würde ich mal "meinen Weg" erklären. Der ist im Endeffekt allerdings derselbe, ich hätte nur den Begriff Diagonalisierbarkeit und weiteres dazu ausgelassen.

Ich tu jetzt also so, als wäre das hier der erste Beitrag:

Damit drei linear unabhängige Eigenvektoren existieren, muss die Summe der Dimensionen der Eigenräume 3 sein.
Die Dimension des Eigenraumes zum Eigenwert 2 ist offenbar 1 (da auch die algebraische Vielfachheit 1 ist).
Jetzt müssen also c und d so bestimmt werden, dass der Eigenraum zum Eigenwert 1 die Dimension 2 hat, d.h. dass es für

zwei linear unabhängige Lösungen gibt.

Damit wären wir jetzt ungefähr auf dem gleichen Stand, schätze ich.

Und das charakteristische Polynom ist hier natürlich nützlich. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass es nicht zwingend nötig ist, da die Eigenwerte schon angegeben sind (bzw. da man sie ablesen kann).
parkerstone Auf diesen Beitrag antworten »

@Vonderklippe:
Du kannst für diesen Streit nichts. Ich entschuldige mich dafür dass das deinen Thread beeinträchtigt hat.

@che netzer:
Zitat:
Und das charakteristische Polynom ist hier natürlich nützlich. Ich wollte nur darauf hinweisen, dass es nicht zwingend nötig ist, da die Eigenwerte schon angegeben sind (bzw. da man sie ablesen kann).

Wenn das dein einziger Punkt war dann hast du das gut versteckt insbesondere hinter dem relativ aggresivem Anfang:
Zitat:
Hier muss ich aber protestieren...


@Moderatoren:
Das ist jetzt bereits das zweite Mal dass che netzer einen von mir betreuten Threads kapert. So macht es keinen Spaß hier Leuten zu helfen wenn ich noch Abwehrgefechte führen muss. Und um vollständig paranoid zu werden: Liegt es vielleicht daran, dass ich nicht registriert bin und darum zum kapern freigegeben?

Zusammenfassung:
Um nicht noch mehr Verwirrung zu siften ziehe ich mich zurück.
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

@parkerstone:
Hm, tut mir leid, wenn das "aggressiv" klang, so war das nicht gemeint.
Aber es sah so aus, als würdet ihr nur über Diagonalisierbarkeit und deren Eigenschaften, die nicht mehr im Sinne der Aufgabe sind, diskutieren... Das wollte ich vermeiden.
Damit, dass du nicht registriert bist, hat das auch nichts zu tun.

Edit: Das war also auch nicht als "Kapern" gedacht, sondern eher als Hinweis, dass die Diskussion sich etwas von der Aufgabenstellung wegbewegt hat.
Vonderklippe Auf diesen Beitrag antworten »

@ Che Netzer

(C-1*E)*x=0 da kommt als Lösung bei mir ein Vektor raus. Das ist aber nur eine Lösung und ich brauche ja 2 um die lineare unabhängigkeit der beiden zu bestimmen.

Ist das richtig so?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Was hast du denn da gerechnet?
Die Gleichung lautet
,
oder?
Für ergibt sich damit ein einfacheres Gleichungssystem. Dann musst du c und d so bestimmen, dass du zwei Variablen (bzw. Koeffizienten von x) beliebig wählen kannst.
Vonderklippe Auf diesen Beitrag antworten »

ok da habe ich was falsche gemacht

Hier nochmal meien Zusammenfassende Erklärung.

Da der Eigenwert 2 die Dimension 1 hat muss der Eigenwert 1 die dimension 2 haben damit die Summe 3 Dimensionen ergibt und somit existiert eine Basis des R³ aus Eigenvektoren



so damit dieses Gleichung system 2 lösungen und damit 2 Dimensionen hat muss c=0 sein. Sehe ich das soweit richtig?

Das hiese, dass ich 2 Nullgleichung habe und somit 2 x variablen wählen kann und die letzte gleichugn ist dann x_2*d+x_3=0

so und nun?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Inhaltlich ist soweit alles richtig. Aber du solltest nicht sagen, dass "der Eigenwert 1 die Dimension 2" haben soll, ein Eigenwert ist ein Skalar. Der Eigenraum zum Eigenwert soll die Dimension 2 haben.
Und das Gleichungssystem soll auch nicht zwei Lösungen haben, sondern vielmehr zwei linear unabhängige Lösungen. (insgesamt sollen es ja unendlich viele sein)

Und c=0 reicht schon aus. Wenn das erfüllt ist, existiert die Basis aus Eigenvektoren.
Dann hat nämlich der Eigenraum zum Eigenwert 1 die Dimension 2 und man kann sich aus den beiden Eigenräumen (es gibt ja noch den zum Eigenwert 1) drei linear unabhängige Vektoren suchen.
Vonderklippe Auf diesen Beitrag antworten »

Ok Vielen dank für eure Mühe.

Aber eien Letzte Frage habe ich noch smile . Und zwar wenn ich dann die Matrix C= hab un d herrausfinden muss ob eine Basis es R³ aus Eigenvektoren existiert mit den Eigenwerten 1 und 2. Ist ja die selbe Aufgabe nur ohne variablen.

Also würde ich jzt die gleichung =0

benutzen und die Eigenwerte einsetzen und versuchen Nullen in einer Zeile zu bekommen damit ich die Dimensionen wieder herrausfinden kann richtig ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Im allgemeinen Fall muss die algebraische Vielfachheit mit der geometrischen bei jedem Eigenwert übereinstimmen. Bzw. (wie gesagt) die Summe der Dimensionen der Eigenräume muss 3 ergeben (oder allgemein die Dimension des entsprechenden Vektorraumes).

Im neuen Beispiel musst du das also nur überprüfen und keine Variablen entsprechend bestimmen

Aber du solltest zwischen Determinante und Matrix unterscheiden lernen:
Deine Angabe von C ist eine Determinante (durch die senkrechten Striche) und in deiner Gleichung sollte links auch eine Matrix und keine Determinante stehen.
Vonderklippe Auf diesen Beitrag antworten »

Guten morgen smile ,

ich wolle zu meiner letzten Matrix c nochmal etwas fragen, weil ich da trotzdem irgendwie auf dem schlau stehe...



so wie schae ich jetzt hier ob der Eigenwert 1, den ich hier eingesetzt habe, welche algeb. und geometrische vielfachheit es hat?
Danke schonma :P

Mfg
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist doch aber eine ganz andere Matrix als die letzte, oder?

Und in dem Fall ist die algebraische Vielfachheit auch nicht zwingend erforderlich:
Du überprüfst, welche Dimension der Kern von C-1E hat und welche der von C-2E. Wenn die Summe davon 3 ist, existiert die geforderte Basis.

Mit algebraischer Vielfachheit sieht das so aus:
Du bestimmst das charakteristische Polynom und untersuchst die Vielfachheit der Nullstellen. Am Anfang kannst du also durch t-2 teilen und/oder durch t-1. Danach bleibt nur noch ein Linearfaktor übrig. Wenn dein Polynom also (t-2)²(t-1) ist, musst du nur den Eigenraum zum Eigenwert 2 untersuchen; der zum Eigenwert 1 hat maximal (bzw. genau) die Dimension 1, also ist nur noch die Dimension des anderen Raumes von Interesse.
Wenn dein Polynom (t-1)²(t-2) ist, gehst du analog vor.
Jetzt gibt es noch den Fall, dass es einen dritten Eigenwert gibt. Dann kann es aber keine Basis aus Eigenvektoren zu 1 und 2 geben, da deren Eigenräume jeweils eindimensional sind.

Und das *x in deiner Gleichung passt noch nicht ganz. Entweder lässt du es ganz weg oder du schreibst es auf beide Seiten.
Vonderklippe Auf diesen Beitrag antworten »

Ok nun hab ich ja die Eigenwerte 1 und 2. Also kann ich sie ja auch Direkt in det(C-t*E) einsetzen und dann die determinante bestimmen oder?

Wenn das so richtig ist muss dann die determinante ungleich NUll sein damit die algebraische Vielfachheit vom Eigenwert t=2 2 ist ?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Ich habe das Gefühl, du solltest dir nochmal ansehen, was Eigenwerte sind, und wie man die algebraische Vielfachheit bestimmt.

Ein Eigenwert kann jedenfalls dadurch definiert werden, dass , d.h. als Nullstellen des charakteristischen Polynoms.
Wenn du also einen Eigenwert findest, bei dem diese Determinante ungleich 0 ist, läuft da irgendetwas schief.

Die algebraische Vielfachheit bestimmst du durch das charakteristische Polynom:
(t-4)³(t-2)²(t+1)²t
hat z.B. 4 als dreifache Nullstelle (algbraische Vielfachheit ist 3), 2 und -1 als zweifache Nullstellen und 0 als einfache Nullstelle.
Die geometrische Vielfachheit ist die Dimension des zugehörigen Eigenraumes, also des Kerns von (C-tE), wobei t ein Eigenwert ist.
Außerdem ist die geometrische Vielfachheit maximal so groß wie die algebraische. Im Beispiel kann die geometrische Vielfachheit von 0 also nur 1 sein, die von 2 und -2 ist kleiner gleich 2 und die vom Eigenwert 4 ist kleiner gleich 3.

Also:
Die algebraische Vielfachheit liest du im charakteristischen Polynom ab.
Die geometrische erhältst du durch Berechnung der Eigenräume. (Wenn die algebraische Vielfachheit aber 1 ist, ist auch die geometrische Vielfachheit 1)
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