direkte Summe bei Untermannigfaltigkeit

02.04.2012, 15:47

Merlinius

direkte Summe bei Untermannigfaltigkeit

Hi!

Ich betrachte gerade die projektiven Räume $\begin{eqnarray*} \mathbb CP^n, \mathbb HP^n \end{eqnarray*}$ etc. Dabei wurden die projektiven Räume zunächst folgendermaßen definiert:

$\begin{eqnarray*} \mathbb CP^n = S^{2n+1}/S^1 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \mathbb HP^n = S^{4n+3}/S^3 \end{eqnarray*}$

als Orbiträume, wobei die Orbits die Form $\begin{eqnarray*} pS^1 \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} pS^3 \end{eqnarray*}$ haben für $\begin{eqnarray*} p \in \mathbb S^{2n+1} \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb S^{4n+3} \end{eqnarray*}$

D.h. wir haben jeweils eine Projektion:

$\begin{eqnarray*} \pi: \mathbb S^{2n+1} \rightarrow \mathbb CP^n, p \mapsto pS^1 \end{eqnarray*}$
bzw.
$\begin{eqnarray*} \pi: \mathbb S^{4n+3} \rightarrow \mathbb HP^n, p \mapsto pS^3 \end{eqnarray*}$

Nun die eigentliche Frage. In einem folgenden Satz wird $\begin{eqnarray*} \mathbb CP^n \end{eqnarray*}$ als Untermannigfaltigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb HP^n \end{eqnarray*}$ betrachtet und dabei folgendermaßen geschrieben:

$\begin{eqnarray*} \mathbb CP^n = \pi(L) = \pi((\mathbb R^{n+1} \oplus i \mathbb R^{n+1}) \cap \mathbb S^{4n+3}) \end{eqnarray*}$

Der Sinn davon ist, dass man im Folgenden einen Satz anwenden will, der über Eigenschaften von L als Untermannigfaltigkeit von $\begin{eqnarray*} \mathbb S^{4n+3} \end{eqnarray*}$ zu einer Aussage über $\begin{eqnarray*} \pi(L) \end{eqnarray*}$ führt.

Allerdings verstehe ich nicht ganz, warum man die Schreibweise mit dem $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ hier wählt. Ist nicht einfach $\begin{eqnarray*} \mathbb R^{n+1} \oplus i \mathbb R^{n+1} = \mathbb C^{n+1} \end{eqnarray*}$ ? Was soll damit zum Ausdruck gebracht werden?

03.04.2012, 10:16

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Hi Merlinius,

Ich denke du hast recht, dass das nichts weiter ist als $\begin{eqnarray*} \mathbb C^{n+1} \end{eqnarray*}$ (wobei die Einbettung $\begin{eqnarray*} \mathbb C \hookrightarrow \mathbb H \end{eqnarray*}$ jedoch keineswegs kanonisch ist -- ausser, dass die i,j,k-Notation einem die Einbettung $\begin{eqnarray*} x+iy \mapsto x+iy \end{eqnarray*}$ suggeriert... Vielleicht wird es deshalb so geschrieben, einfach um genau zu sein?)

03.04.2012, 12:00

Merlinius

Auf diesen Beitrag antworten »

Danke für Deine Antwort!

Ich habe das Gefühl, dass ich vielleicht diese Mannigfaltigkeiten in Bezug auf $\begin{eqnarray*} \mathbb H \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} \mathbb C \end{eqnarray*}$ falsch verstehe und daher die Notation nicht ganz nachvollziehen kann.

Wenn von der Mannigfaltigkeit " $\begin{eqnarray*} \mathbb S^{4n+3} \subset \mathbb H^{n+1} \end{eqnarray*}$ " gesprochen wird, ist das dann dasselbe, als würde ich $\begin{eqnarray*} \mathbb S^{4n+3} \subset \mathbb R^{n+1} \end{eqnarray*}$ betrachten oder sind da irgendwelche strukturellen Unterschiede wegen der Rechenregeln für Quaternionen? Haben die Tangentialräume alle die Struktur $\begin{eqnarray*} T_p \mathbb S^{4n+3} \cong \mathbb R^{4n+3} \end{eqnarray*}$ ?

Ein Absatz vorher wird nämlich von einer normalen Geodätischen $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb HP^n \end{eqnarray*}$ gesprochen, die per horizontalem Lift zu einer Geodätischen $\begin{eqnarray*} c^h \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb S^{4n+3} \end{eqnarray*}$ gehoben wird, $\begin{eqnarray*} p := c^h(0) \end{eqnarray*}$ . Dann wird gesagt " $\begin{eqnarray*} c^h(\pi/2) \end{eqnarray*}$ ist senkrecht zum Unterraum $\begin{eqnarray*} p\mathbb H \end{eqnarray*}$ " und das kann ich geometrisch nicht ganz nachvollziehen, zumindest scheint mir das nicht ganz trivial, denn wenn $\begin{eqnarray*} a \perp b \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb R^{4m} \end{eqnarray*}$ , dann bleibt die Orthogonalität (in $\begin{eqnarray*} R^{4m} \end{eqnarray*}$ ) ja nicht unter Multiplikation mit Quaternionen erhalten. Oder ist damit vielleicht ein Skalarprodukt gemeint, das $\begin{eqnarray*} \mathbb H \end{eqnarray*}$ -(bi)linear ist?

Ich hoffe, dass ich Dich nicht zu sehr strapaziere mit der Anschlussfrage.

03.04.2012, 13:07

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Wenn von der Mannigfaltigkeit " $\begin{eqnarray*} \mathbb S^{4n+3} \subset \mathbb H^{n+1} \end{eqnarray*}$ " gesprochen wird, ist das dann dasselbe, als würde ich $\begin{eqnarray*} \mathbb S^{4n+3} \subset \mathbb R^{n+1} \end{eqnarray*}$ betrachten

Du meinst $\begin{eqnarray*} \mathbb S^{4n+3} \subset \mathbb R^{4n+4} \end{eqnarray*}$ ? Ich denke (ich habe mich übrigens nie nähers mit den Quaternionen beschäftigt - sie sind nur ab und zu mal aufgetaucht, von daher bin ich nirgendwo absolut sicher - allerdings ist ja alles mehr oder weniger analog zu IR und IC mit den projektiven Räumen), darin besteht nicht wirklich ein Unterschied, denn ein Element von $\begin{eqnarray*} \mathbb H^{n+1} \end{eqnarray*}$ ist ja von der Form

$\begin{eqnarray*} (z_1, \dots, z_{n+1}) , \quad z_i = x_i + i y_i + j u_i + kv_i \in \mathbb H \end{eqnarray*}$

und kann deshalb auch geschrieben werden als $\begin{eqnarray*} (x_1, y_1, u_1, v_1, \dots, x_{n+1}, y_{n+1}, u_{n+1}, v_{n+1}) \in \mathbb R^{4n+4} \end{eqnarray*}$ und das Betragsquadrat beider Vektoren ist

$\begin{eqnarray*} |(z_1, \dots, z_{n+1})|^2 &=& |z_1|^2 + \dots + |z_{n+1}|^2 \\ &=& x_1^2 + y_1^2 + u_1^2 + v_1^2 +\dots + x_{n+1}^2 + y_{n+1}^2 + u_{n+1}^2 + v_{n+1}^2 \\ &=& |(x_1, y_1, u_1, v_1, \dots, x_{n+1}, y_{n+1}, u_{n+1}, v_{n+1})|^2 \end{eqnarray*}$

Also bleibt unter dieser Identifizierung die Norm (und damit auch die Sphäre $\begin{eqnarray*} S^{4n+3} \end{eqnarray*}$ ) erhalten. Damit sollten dann auch die Tangentialräume genau die gleichen sein. Die zusätzliche Algebra-Struktur sollte dabei keine Rolle spielen.

Zitat:

Ein Absatz vorher wird nämlich von einer normalen Geodätischen $\begin{eqnarray*} c \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb HP^n \end{eqnarray*}$ gesprochen, die per horizontalem Lift zu einer Geodätischen $\begin{eqnarray*} c^h \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} \mathbb S^{4n+3} \end{eqnarray*}$ gehoben wird, $\begin{eqnarray*} p := c^h(0) \end{eqnarray*}$ . Dann wird gesagt " $\begin{eqnarray*} c^h(\pi/2) \end{eqnarray*}$ ist senkrecht zum Unterraum $\begin{eqnarray*} p\mathbb H \end{eqnarray*}$ " und das kann ich geometrisch nicht ganz nachvollziehen, zumindest scheint mir das nicht ganz trivial, denn wenn $\begin{eqnarray*} a \perp b \end{eqnarray*}$ ist mit $\begin{eqnarray*} a, b \in \mathbb R^{4m} \end{eqnarray*}$ , dann bleibt die Orthogonalität (in $\begin{eqnarray*} R^{4m} \end{eqnarray*}$ ) ja nicht unter Multiplikation mit Quaternionen erhalten. Oder ist damit vielleicht ein Skalarprodukt gemeint, das $\begin{eqnarray*} \mathbb H \end{eqnarray*}$ -(bi)linear ist?

Es sollte schon das normale Skalarprodukt über IR gemeint sein, würde ich sagen.

Ich denke, dass man das folgendermassen sehen kann: OBdA können wir annehmen, dass wir starten bei $\begin{eqnarray*} p = (1,0,\dots, 0) \end{eqnarray*}$ .
Nach $\begin{eqnarray*} \pi/2 \end{eqnarray*}$ Zeit haben wir einen Viertel eines Grosskreises entlang der Geodäte abgewandert; z.B. könnte dieser Grosskreis von der Form $\begin{eqnarray*} (\cos\theta , \sin\theta , 0,\dots, 0) \end{eqnarray*}$ sein.
Damit wären wir dann also bei $\begin{eqnarray*} (0,1,0,\dots, 0) \end{eqnarray*}$ angelangt. Und da sieht man, dass dieser Punkt senkrecht zu $\begin{eqnarray*} p\mathbb H \end{eqnarray*}$ steht.
Nach einer geeigneten Rotation senkrecht zu p können wir sogar immer annehmen, dass wir entlang dieses Grosskreises wandern.

Falls du dich jetzt fragst, weshalb man nicht auch von $\begin{eqnarray*} (1,0,\dots, 0) \end{eqnarray*}$ nach $\begin{eqnarray*} (i,0,\dots, 0) \end{eqnarray*}$ laufen könnte, dann dürfte das sein, weil der horizontale Lift nur Komponente in horizontaler Richtung des Fiber-Bundles haben darf (ich vermute jedenfalls, dass dies die Definition ist). Das heisst in diesem konkreten Fall, dass für den Geschwindigkeitsvektor der Hochhebung bei $\begin{eqnarray*} p \end{eqnarray*}$ keine der Komponenten in $\begin{eqnarray*} (i,0,\dots, 0), (j,0,\dots, 0) , (k, 0,\dots, 0) \end{eqnarray*}$ - Richtung ungleich null sein dürfen, denn die hochgehobene Geodäte ist in jedem Fall gegeben durch

$\begin{eqnarray*} c^h(t) = p \cos(vt) + q \sin(vt) \qquad \text{mit } p\perp q, \; p,q\in \mathbb S^{4n+3}, \; v > 0 \end{eqnarray*}$

(da jede Geodäte auf $\begin{eqnarray*} S^{4n+3} \end{eqnarray*}$ diese Form hat)
Hätte q nun einen Anteil in $\begin{eqnarray*} p\mathbb H \end{eqnarray*}$ (d.h. wäre die erste Komponente nicht =0), dann würde sie doch einen vertikalen Geschwindigkeitsanteil haben, oder nicht?

Das ist jedenfalls was ich mir so zusammenreimen könnte, aber ich bin noch nicht dazu gekommen mit mit Quaternionen oder Fiber-Bundles näher auseinanderzusetzen - das ist also alles bloss so geschrieben, wie es für mich intuitiv Sinn machen würde! verwirrt

03.04.2012, 15:01

Merlinius

Auf diesen Beitrag antworten »

Ahhh, danke! Du hast genau ins Schwarze getroffen. Ich versuche seit drei Tagen vergeblich, ein paar wenige Absätze in dem Kapitel zu verstehen...

Also nochmal zusammenfassend: Alle normalen Geodätischen in $\begin{eqnarray*} \mathbb S^{4n+3} \end{eqnarray*}$ haben die Form $\begin{eqnarray*} c^h(t) = p cos(t) + q sin(t) \end{eqnarray*}$ , wenn p, q orthogonal und normiert sind. Man sieht $\begin{eqnarray*} q := c^h(\pi/2) = c^{h'}(0) \end{eqnarray*}$ . Nach Definition des horizontalen Lifts muss dann $\begin{eqnarray*} q = c^{h'}(0) \end{eqnarray*}$ horizontal sein zu den Fasern, das ist auf jeden Fall korrekt.

Im Skript steht auch, dass der Raum der vertikalen Vektoren erzeugt wird von $\begin{eqnarray*} pi, pj, pk \end{eqnarray*}$ . Damit wäre dann q orthogonal zu p, pi, pj und pk, also auch zu $\begin{eqnarray*} p\mathbb H \end{eqnarray*}$ .

Nur eine klitzekleine Frage dazu habe ich noch. Im Skript wird recht lapidar erwähnt, dass der Raum der vertikalen Vektoren von $\begin{eqnarray*} \{pi, pj, pk\} \end{eqnarray*}$ erzeugt wird bzw. an anderer Stelle schreiben sie $\begin{eqnarray*} J_p(pi), J_p(pj), J_p(pk) \end{eqnarray*}$ (weißt Du zufällig, was das $\begin{eqnarray*} J_p \end{eqnarray*}$ heißen mag?), und Du gibst die Vektoren auch direkt an.

Mir ist aber nicht ganz klar, woher $\begin{eqnarray*} pi, pj, pk \end{eqnarray*}$ hier kommen. Die Fasern haben nach unserer Definition die Form $\begin{eqnarray*} pS^3, S^3 \subset \mathbb H \end{eqnarray*}$ . Die vertikalen Vektoren sind nun - so wie ich das verstehe - die Tangentialvektoren $\begin{eqnarray*} v \in T_p \mathbb S^{4n+3} \end{eqnarray*}$ , die auch tangential zur Untermannigfaltigkeit $\begin{eqnarray*} pS^3 \end{eqnarray*}$ sind, also in $\begin{eqnarray*} T_p (pS^3) \end{eqnarray*}$ . Wie komme ich an dieser Stelle zu {pi, pj, pk}? Ich befürchte, dass das völlig trivial ist, ich habe aber gestern stundenlang dazu recherchiert und darüber nachgedacht, aber leider ohne Ergebnis.

03.04.2012, 17:37

gonnabphd

Auf diesen Beitrag antworten »

Schön, dass das Sinn gemacht hat. smile

Zitat:

Nur eine klitzekleine Frage dazu habe ich noch. Im Skript wird recht lapidar erwähnt, dass der Raum der vertikalen Vektoren von $\begin{eqnarray*} \{pi, pj, pk\} \end{eqnarray*}$ erzeugt wird bzw. an anderer Stelle schreiben sie $\begin{eqnarray*} J_p(pi), J_p(pj), J_p(pk) \end{eqnarray*}$ (weißt Du zufällig, was das $\begin{eqnarray*} J_p \end{eqnarray*}$ heißen mag?), und Du gibst die Vektoren auch direkt an.

Was $\begin{eqnarray*} J_p \end{eqnarray*}$ heissen soll, weiss ich auch nicht verwirrt

Irgendwie kommt mir spontan Jacobi in den Sinn (vor allem weil ich ein grosses J in der Mathematik sonst fast nie gesehen hab - ausser vielleicht für Jets), aber kA.

Dass die vertikalen Vektoren gerade von $\begin{eqnarray*} \{pi, pj, pk\} \end{eqnarray*}$ erzeugt werden, würde ich folgendermassen zeigen:

$\begin{eqnarray*} T_p (pS^3) \end{eqnarray*}$ hat (reelle) Dimension 3 und die Vektoren $\begin{eqnarray*} \{pi, pj, pk\} \end{eqnarray*}$ sind linear unabhängig über IR, somit reicht es zu zeigen, dass sie alle vertikal sind.
Man kann dazu z.B. für (pi) die Kurve entlang eines Grosskreises betrachten

$\begin{eqnarray*} \gamma(t) = p\cdot(\cos(t) + i\sin(t)) \end{eqnarray*}$

Diese verläuft auf $\begin{eqnarray*} S^{4n+3}\cap pS^3 \end{eqnarray*}$ und erfüllt $\begin{eqnarray*} \gamma(0) = p, \, \dot \gamma(0) = pi \end{eqnarray*}$ .

Grüsse Wink