Prinzipien der Vorgehensweise in der Mathematik |
| 03.04.2012, 16:04 | Magnus87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Prinzipien der Vorgehensweise in der Mathematik ich habe folgende Sammlung an grundprinzipien die mir aufgefallen sind an der mathematik. könnt ihr die vielleicht noch ergänzen, falls euch etwas einfällt? also vorgehensprinzipien in der mathematik sind: --> die suche nach Mustern. --> vorhersagen treffen --> Näherungen treffen um daraus dann muster zu finden. |
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| 03.04.2012, 17:58 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ein Beispiel oder eine Aussage verallgemeinern = generalisieren . Eine allgemeine Aussage durch genauere Voraussetzungen einschränken = spezialisieren . Was man weiß kann man noch weiter untersuchen um es besser zu verstehen (z.B. anhand von Beispielen) oder neue Gebiete suchen auf die sich die bekannten Aussagen anwenden lassen. Alles unwichtige beiseite lassen und sich nur auf den Kern einer Sache beschränken (siehe Äquivalenzrelationen, Kongruenzen etc.) . |
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| 03.04.2012, 18:29 | Magnus87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
kannst du weiter drauf eingehen und es mir einfach erklären?das hört sich wirklich interessant an. liebe grüße |
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| 03.04.2012, 19:27 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Sei M eine Menge. Eine Äquivalenzrelation (Teilmenge aus MxM) ist reflexiv, symmetrisch und transitiv (Definitionen schenke ich mir der Einfachheit zuliebe). Jede Äquivalenzrelation auf M zerlegt die Menge M in paarweise disjunkte Teilmengen (das nennt man eine Klasseneinteilung). Umgekehrt gehört zu jeder Klasseneinteilung genau eine Äquivalenzrelation. Der Sinn der Sache besteht genau darin, dass man sich auf die wesentlichen Klassenmerkmale konzentriert und alles andere ignoriert. Noch stärker sind Kongruenzrelationen, das sind Äquivalenzrelationen auf algebraischen Strukturen (Standardbeispiel: Restklassenrechnung mit ganzen Zahlen = mod m . Siehe C.F.Gauß). Dadurch nutzt man die Macht der Vereinfachung zum Rechnen. Möge die Macht mit Dir sein. |
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| 09.04.2012, 17:08 | Magnus87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wie sieht es mit der verwendung von "Mengen" und deren eigenschaften als Prinzip aus? |
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| 09.04.2012, 19:36 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die gesamte Mathematik lässt sich heute auf der Mengenlehre aufbauen, die Grundbegriffe dabei sind Mengen und Funktionen. Diese sehe ich aber nicht als Prinzipien an, denn für mich ist ein Begriff etwas, das sich definieren lässt, und ein Prinzip ist eine Vorgehensweise. |
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| 10.04.2012, 08:53 | Magnus87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
achso ich dachte ein prinzip wäre ein fach nur so etwas wie ein grundgesetz das für alles gilt aber nicht zwingend nur ein vorgang. also ist eine Menge ein teil eines Begriffssystems? |
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| 10.04.2012, 18:27 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die 3 Prinzipien deines ersten Beitrags : "Muster suchen", "Vorhersagen treffen" und "Näherungen ... finden" sind offensichtlich Prozesse, und somit stimmen wir in unserer Definition "mathematische Prinzipien"="wichtige Prozesse des Mathematikers" überein. Dem hatte ich noch die gepaarten Prinzipien "Aussagen generalisieren / spezialisieren", "Aussagen ausdehnen / einschränken" hinzugefügt. Nun fallen mir noch die 3-5 Prinzipien ein, nach denen (nicht nur heute sondern schon bei Euklid) fast jedes Mathematikbuch aufgebaut ist: "Begriffe definieren", "Axiome definieren", "Sätze formulieren", "Sätze beweisen", "Beispiele angeben". "Menge" ist ein Begriff, dafür gibt es eine Definition. Zusammengehörige Begriffe, Axiome, Sätze und Beweise bilden eine Theorie, deren weniger wichtige Sätze heißen Lemma und deren wichtigste Sätze heißen Theorem. Damit kommt noch ein weiteres Prinzip ins Spiel, denn um aus Definitionen und Axiomen eine Theorie abzuleiten, muss man "Beweise führen, "logische Schlüsse ziehen" oder mehr formal ausgedrückt "Ableitungen bilden". |
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| 14.04.2012, 22:25 | Magnus87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
sorry das ich erneut frage^^ aber wenn ich dich nun "eingefangen" habe 
kann ich dir ja auch die Frage stellenwie aus einer definition ein begriff wird? bzw ich dachte definieren heißt einfach nur alle merkmale eines begriffes aufzählen. liebe grüße |
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| 15.04.2012, 00:40 | Integralos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich würde "Abstraktion" noch anführen |
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| 16.04.2012, 19:28 | Magnus87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ah interessant^^ und man vereinfach mit hilfe von gleichungen und ersatzausdrücken immer alles so weit es geht und sogar bis man alles auflösen kann zu einer variable... wie nennt man das?? lg |
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| 17.04.2012, 18:08 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Oh ja, das letztgenannte mathematische Prinzip nennt man "Rechnen". Das kommt tatsächlich auch mal vor, aber eher seltener in der "reinen" Mathematik, mehr in der "angewandten" Mathematik. 
Zu deinem vorhergehenden Beitrag möchte ich noch anmerken, dass eine Definition nicht alle Merkmale eines Begriffs aufzählt, sondern im Gegenteil sowenig Merkmale wie möglich. @Integralos Ich glaube, "Abstraktion" hatte ich schon, das nannte ich "alles unwichtige beiseite lassen und sich auf den Kern einer Sache beschränken". |
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| 17.04.2012, 18:57 | Integralos | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Achso sorry...ich hätte Abstraktion darauf bezogen, dass man versucht, sich von speziellen Fällen zu lösen und eher versucht, alles zu verallgemeinern. |
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| 18.04.2012, 18:34 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Interessante Interpretation. Für mich ist abstrakte Kunst die Kunst, alles Konkrete wegzulassen, also die Kunst der Vereinfachung. Wikipedia lässt auch deine Intepretation zu: "Das Wort Abstraktion (lat. abstractus – „abgezogen“, Partizip Perfekt Passiv von abs-trahere – „abziehen, entfernen, trennen“) bezeichnet meist den induktiven Denkprozess des Weglassens von Einzelheiten und des Überführens auf etwas Allgemeineres oder Einfacheres." Wie schön, dass wir beide recht haben, dieses seltene Ereignis sollte man feiern. 
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| 30.04.2012, 16:44 | Magnus87 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
danke sehr |
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