Form eines trigonalisierbaren Endomorphismus

03.04.2012, 22:15

Form eines trigonalisierbaren Endomorphismus

Meine Frage:
Hallo,
ich habe einen trigonalisierbaren Endomorphismus f und einen Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ mit der Vielfachheit m.
Jetzt ist die Aussage: Kann durchnummerierte Basis wählen, so dass die Matrix über f bzgl. dieser Basis folgende Form hat:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda*E_{m}+N & C \\ 0 & D \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wobei D eine obere Dreiecksmatrix ist und N nur oberhalb der Diagonalen Einträge hat.

Warum ist das so?

Meine Ideen:
Die Aussage ist ja äquivalent dazu, dass existieren m linear unabhängige Vektoren $\begin{eqnarray*} b_{1}, ... , b_{m} \end{eqnarray*}$ , s.d.
$\begin{eqnarray*} b_{i} = \lambda b_{i} + Kram*b_{i-1} + ... + Kram*b_{1} \end{eqnarray*}$ . Aber weiter komme ich gerade leider nicht unglücklich

04.04.2012, 15:33

gonnabphd

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Hi,

Zitat:

Die Aussage ist ja äquivalent dazu, dass existieren m linear unabhängige Vektoren $\begin{eqnarray*} b_{1}, ... , b_{m} \end{eqnarray*}$ , s.d. $\begin{eqnarray*} b_{i} = \lambda b_{i} + Kram*b_{i-1} + ... + Kram*b_{1} \end{eqnarray*}$ . Aber weiter komme ich gerade leider nicht unglücklich

Dein erster Schritt geht schonmal in die richtige Richtung.
Ist $\begin{eqnarray*} W_i = \operatorname{span}(b_1, \dots, b_i) \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} i=1, \dots, m \end{eqnarray*}$ , dann bedeutet deine Aussage gerade, dass

$\begin{eqnarray*} (\ast)\qquad (f-\lambda I) (W_i) \subset W_{i-1} \end{eqnarray*}$

sein soll. Umgekehrt findet man zu jeder Folge $\begin{eqnarray*} 0\subset W_1\subset W_2\subset \dots \subset W_k \end{eqnarray*}$ , welche (*) erfüllt auch eine Basis $\begin{eqnarray*} b_1, \dots, b_m \end{eqnarray*}$ , wie von dir beschrieben. Damit können wir von vornherein nach solchen Räumen $\begin{eqnarray*} W_i \end{eqnarray*}$ suchen (das ist ein bisschen natürlicher, als sofort nach einer Basis zu suchen!)

Den ersten gebe ich dir an: Es ist $\begin{eqnarray*} W_1 = \mathrm{Eig}(f; \lambda) = \ker(f-\lambda I) \end{eqnarray*}$ der Eigenraum zum Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ .

Tipp: Wie könnte man nun die grösseren Räume charakterisieren? (Beachte dazu (*)!) Gebe diese an und zeige, dass sie aufsteigend sind und die Eigenschaft (*) erfüllen.

Überlege dir: Ist es möglich, dass es unendlich viele unterschiedliche $\begin{eqnarray*} W_i \end{eqnarray*}$ gibt? D.h. dass alle Inklusionen $\begin{eqnarray*} 0 \subsetneq W_1 \subsetneq W_2 \subsetneq W_3 \subsetneq \dots \end{eqnarray*}$ echt sind?

Was passiert, wenn $\begin{eqnarray*} W_i = W_{i+1} \end{eqnarray*}$ ? Wie sehen die $\begin{eqnarray*} W_j \end{eqnarray*}$ mit $\begin{eqnarray*} j>i+1 \end{eqnarray*}$ dann aus?

04.04.2012, 16:36

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Mmh... Dann ist $\begin{eqnarray*} W_{i} \end{eqnarray*}$ wahrscheinlich sinnvollerweise $\begin{eqnarray*} Ker((f-\lambda id)^i) \end{eqnarray*}$ . Diese sind aufsteigend, weil der Kern nur größer werden kann mit mehrfacher Anwendung einer linearen Abbildung. Dann ist für $\begin{eqnarray*} v \in Ker((f-\lambda id)^i) \end{eqnarray*}$ sicher $\begin{eqnarray*} (f-\lambda id)(v) \in Ker((f-\lambda id)^{i-1}) \end{eqnarray*}$ , also $\begin{eqnarray*} W_{i} \subset W_{i-1} \end{eqnarray*}$ .
Es kann zumindest nicht mehr als $\begin{eqnarray*} dim V \end{eqnarray*}$ $\begin{eqnarray*} W_{j} \end{eqnarray*}$ geben, bei denen die echte Teilmengenbeziehung gilt, denn der Kern wird immer mindestens um den Span eines Vektors größer, und gilt einmal $\begin{eqnarray*} W_{k} = W_{k+1} \end{eqnarray*}$ , dann $\begin{eqnarray*} W_{k} = W_{k+l} \end{eqnarray*}$ für alle $\begin{eqnarray*} l \end{eqnarray*}$ .
Aber waum induziert das jetzt unbedingt eine Basis mit m Elementen?

04.04.2012, 17:16

gonnabphd

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Zitat:

Aber waum induziert das jetzt unbedingt eine Basis mit m Elementen?

Zu zeigen ist also, dass $\begin{eqnarray*} \dim W_k = m \end{eqnarray*}$ gilt (für k minimal, sodass die Folge stationär wird).

Dazu musst du dir das char. Polynom p(x) von f anschauen (und insbesondere dessen Faktorisierung). Nach Annahme ist lambda eine m-fache Nullstelle davon. Und mit dem Satz von Cayley-Hamilton wissen wir, dass $\begin{eqnarray*} p(f) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Bemerkung: $\begin{eqnarray*} W_k \end{eqnarray*}$ ist invariant unter $\begin{eqnarray*} f - \lambda' I \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} \lambda' \ne \lambda \end{eqnarray*}$ .

p.s.: Nur, dass du mich nicht falsch verstehst:

Zitat:

Umgekehrt findet man zu jeder Folge $\begin{eqnarray*} 0\subset W_1\subset W_2\subset \dots \subset W_k \end{eqnarray*}$ , welche (*) erfüllt auch eine Basis $\begin{eqnarray*} b_1, \dots, b_m \end{eqnarray*}$ , wie von dir beschrieben. Damit können wir von vornherein nach solchen Räumen $\begin{eqnarray*} W_i \end{eqnarray*}$ suchen (das ist ein bisschen natürlicher, als sofort nach einer Basis zu suchen!)

Hierbei meine ich nicht, dass für diese W_i unbedingt gelten muss, dass $\begin{eqnarray*} W_i = \mathrm{span}(b_1, \dots, b_i) \end{eqnarray*}$ (z.B. gilt das für die von dir definierten W_i im Allgemeinen nicht - die Dimension kann auch um zwei oder mehr zunehmen, wenn man von $\begin{eqnarray*} W_i \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} W_{i+1} \end{eqnarray*}$ geht)

05.04.2012, 16:16

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Mmh viele Dank aber ich blicke leider immer noch nicht ganz durch: Wenn ich f in das char. Polynom einsetze und das dann auf $\begin{eqnarray*} W_K \end{eqnarray*}$ werfe, so weiß ich wegen der Invarianz dass $\begin{eqnarray*} char(f)(W_k) \subset (f-\lambda id)^m(W_k) \subset (f-\lambda id)^k(W_k) \end{eqnarray*}$ . Aber ich weiß doch nicht, dass z.B. ein $\begin{eqnarray*} v \in W_k \end{eqnarray*}$ abgebildet wird auf $\begin{eqnarray*} (f-\lambda id)^k(v) \end{eqnarray*}$ , oder? Und ich sehe auch noch nicht, wie mir das hilft zu zeigen, dass $\begin{eqnarray*} (f-\lambda id)^k \end{eqnarray*}$ dim m Vektoren auf Null wirft.

05.04.2012, 19:21

gonnabphd

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Ich schreibe für den gesamten Vektorraum mal V. Versuche zu zeigen, dass
$\begin{eqnarray*} V = W_k \oplus \underbrace{\mathrm{Im\, } (f - \lambda I)^k}_{=: U_k} \end{eqnarray*}$

Weiterhin ist $\begin{eqnarray*} \mathrm{Im\, } (f - \lambda I)^k = \mathrm{Im\, } (f - \lambda I)^{k+1} = \mathrm{Im\, } (f - \lambda I)^{k+2} = \dots \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} f-\lambda I \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} U_k \end{eqnarray*}$ ist ein Isomorphismus.

Überlege dir, dass $\begin{eqnarray*} W_k, \; U_k \end{eqnarray*}$ f-invariant sind.

Betrachten wir nun das char. Polynom $\begin{eqnarray*} p_f(X) \end{eqnarray*}$ von f: Dieses hat wegen obigen Überlegungen über die Aufteilung von V in f-invariante Unterräume die Faktorisierung $\begin{eqnarray*} p_f(X) = p_{f|_{W_k}}(X) \cdot p_{f|_{U_k}}(X) \end{eqnarray*}$ .

Was ist hier $\begin{eqnarray*} p_{f|_{W_k}}(X) \end{eqnarray*}$ (das char. Polynom von f eingeschränkt auf W_k)? Überlege dir insbesondere auch, welchen Grad dieses Polynom haben muss.
Weshalb ist $\begin{eqnarray*} p_{f|_{U_k}}(\lambda)\ne 0 \end{eqnarray*}$ ?
Nun ist aber $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ m-fache Nullstelle von $\begin{eqnarray*} p_f(X) \end{eqnarray*}$ , was sagt dir das über die Dimension von $\begin{eqnarray*} W_k \end{eqnarray*}$ ?

06.04.2012, 00:28

gonnabphd

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Übrigens: Falls dich meine Tipps etc. eher ein wenig verwirren, dann nennt sich diese ganze Überlegung auch Lemma von Fitting, wenn ich mich recht erinnere.
Das sollte in dem LinAlg-Buch deiner Wahl zu finden sein.

07.04.2012, 13:01

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Doch deine Tipps helfen schon sehr viel smile

.
Dass $\begin{eqnarray*} U_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W_k \end{eqnarray*}$ Komplementärräume sind, folgt aus der Dimensionsformel.
Und die Invarianz folgt so, für $\begin{eqnarray*} v \in Ker(f-\lambda id)^k \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} (f-\lambda id)^k \circ f (v)= (f-\lambda id)^k \circ f (v)+ \lambda (f-\lambda id)^k (v) = (f-\lambda id)^{k+1}(v) \end{eqnarray*}$ . Aber wie folgt sie für $\begin{eqnarray*} Im (f-\lambda)^k \end{eqnarray*}$ ?
Es müsste gelten: $\begin{eqnarray*} p(f)_{f|_{W_k}} = (f-\lambda)^m = (f-\lambda)^k \end{eqnarray*}$ . Ich verstehe noch nicht so genau, warum $\begin{eqnarray*} p(\lambda)_{f|_{W_k}} \neq 0 \end{eqnarray*}$ , gilt das nicht nur, wenn wir schon wissen dass k = m? Mir ist das mit der Faktorisierung auch noch nicht so ganz klar.

07.04.2012, 14:56

gonnabphd

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Zitat:

Dass $\begin{eqnarray*} U_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} W_k \end{eqnarray*}$ Komplementärräume sind, folgt aus der Dimensionsformel.

Ist wirklich so klar, dass jeder Vektor entweder im Bild oder im Kern von $\begin{eqnarray*} (f-\lambda)^k \end{eqnarray*}$ liegen muss? Die Aussage ist wahr, aber direkt aus der Dimensionsformel folgt das nicht (es muss entweder gezeigt werden, dass die beiden Unterräume ganz V aufspannen, oder dass ihr Schnitt leer ist - hierbei spielt die Wahl von k eine entscheidende Rolle)

Zitat:

Und die Invarianz folgt so, für $\begin{eqnarray*} v \in Ker(f-\lambda id)^k \end{eqnarray*}$ :
$\begin{eqnarray*} (f-\lambda id)^k \circ f (v)= (f-\lambda id)^k \circ f (v)+ \lambda (f-\lambda id)^k (v) = (f-\lambda id)^{k+1}(v) \end{eqnarray*}$ . Aber wie folgt sie für $\begin{eqnarray*} Im (f-\lambda)^k \end{eqnarray*}$ ?

Invarianz ist ok. Beachte nun: Es ist

$\begin{eqnarray*} V\supset \mathrm{Im} (f-\lambda) \supset \mathrm{Im} (f-\lambda)^2 \supset \dots \supset \mathrm{Im} (f-\lambda)^j\supset \dots \end{eqnarray*}$

eine absteigende Folge. Benutze die Dimensionsformel und das was du über $\begin{eqnarray*} 0\subset W_1\subset W_2\subset \dots \subset W_j\subset \dots \end{eqnarray*}$ gezeigt hast.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p(f)_{f|_{W_k}} = (f-\lambda)^m = (f-\lambda)^k \end{eqnarray*}$

Die erste Hälfte stimmt, das zweite Gleichheitszeichen hingegen nicht. Der Grad des char. Polynoms ist gerade gleich der Dimension des Vektorraumes - hier nicht unbedingt k.

Zitat:

Mir ist das mit der Faktorisierung auch noch nicht so ganz klar.

Die Faktorisierung siehst du z.B. so: Nachdem du gezeigt hast, dass $\begin{eqnarray*} V= U_k \oplus W_k \end{eqnarray*}$ und dass beide Räume f-invariant sind, kannst du Basen von diesen Unterräumen wählen. Nun könntest du dir überlegen, wie die darstellende Matrix bzgl. dieser Basen auszusehen hat (es ist eine diagonale Blockmatrix - Tipp: f-Invarianz!). Und die Determinante einer solchen Matrix lässt sich berechnen, indem man die Determinanten der Blöcke multipliziert. Damit bekommst du $\begin{eqnarray*} p_f(X) = p_{f|_{W_k}}(X) \cdot p_{f|_{U_k}}(X) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Ich verstehe noch nicht so genau, warum $\begin{eqnarray*} p(\lambda)_{f|_{W_k}} \neq 0 \end{eqnarray*}$ , gilt das nicht nur, wenn wir schon wissen dass k = m?

Wenn wir wüssten, dass $\begin{eqnarray*} p_{f|_{W_k}} (f)= (f-\lambda)^m \end{eqnarray*}$ , dann könnten wir in der Tat schliessen, dass $\begin{eqnarray*} p_{f|_{U_k}}(\lambda) \neq 0 \end{eqnarray*}$ (ich glaube du wolltest das char. Polynom von $\begin{eqnarray*} f|_{U_k} \end{eqnarray*}$ betrachten statt demjenigen von $\begin{eqnarray*} f|_{W_k} \end{eqnarray*}$ , oder? Sonst macht das nämlich keinen Sinn.).

Wir wollen hier genau umgekehrt vorgehen: Wir wissen zweiteres (ist dir vielleicht noch nicht so bewusst, aber du hast das bis hierhin in den obigen Schritten schon gezeigt), und wollen ersteres daraus schliessen und damit haben wir dann $\begin{eqnarray*} m = \dim W_k \end{eqnarray*}$ , und sind damit der Auflösung deiner Eingangsfrage schon sehr Nahe.

Q: Wieso ist $\begin{eqnarray*} p_{f|_{U_k}}(\lambda) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ?

Hinweis: Was geben die Nullstellen des charakteristischen Polynoms schon wieder an? Würde das zusammenpassen mit

Zitat:

Weiterhin ist $\begin{eqnarray*} \mathrm{Im\, } (f - \lambda I)^k = \mathrm{Im\, } (f - \lambda I)^{k+1} = \mathrm{Im\, } (f - \lambda I)^{k+2} = \dots \end{eqnarray*}$ , und $\begin{eqnarray*} f-\lambda I \end{eqnarray*}$ eingeschränkt auf $\begin{eqnarray*} U_k \end{eqnarray*}$ ist ein Isomorphismus.

07.04.2012, 18:28

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Zitat:

Ist wirklich so klar, dass jeder Vektor entweder im Bild oder im Kern von $\begin{eqnarray*} (f-\lambda)^k \end{eqnarray*}$ liegen muss?

Ok, man brauch wohl noch folgendes: Ist x != 0 im Kern, dann liegt es auch im Kern von $\begin{eqnarray*} (f-\lambda)^{k+1} \end{eqnarray*}$ , also nicht im Bild von $\begin{eqnarray*} (f-\lambda)^k \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Beachte nun: Es ist

$\begin{eqnarray*} V\supset \mathrm{Im} (f-\lambda) \supset \mathrm{Im} (f-\lambda)^2 \supset \dots \supset \mathrm{Im} (f-\lambda)^j\supset \dots \end{eqnarray*}$

eine absteigende Folge. Benutze die Dimensionsformel und das was du über $\begin{eqnarray*} 0\subset W_1\subset W_2\subset \dots \subset W_j\subset \dots \end{eqnarray*}$ gezeigt hast.

Mein Ansatz geht folgendermaßen:
$\begin{eqnarray*} dim(V) = dim (Im f) + dim (Ker f) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} => dim (U_k) + dim (W_k) = dim \underbrace {(Im(f|_{W_k}))}_{\subset W_k} + dim (Im(f|_{U_k})) + dim \underbrace { (Ker(f|_{W_k})) }_{\subset W_k} + dim(Ker(f|_{U_k})) \end{eqnarray*}$
Aber ich fürchte ich komme hier nicht weiter.

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p(f)_{f|_{W_k}} = (f-\lambda)^m = (f-\lambda)^k \end{eqnarray*}$

Die erste Hälfte stimmt, das zweite Gleichheitszeichen hingegen nicht. Der Grad des char. Polynoms ist gerade gleich der Dimension des Vektorraumes - hier nicht unbedingt k.

Kannst du nochmal versuchen, mir zu erklären, warum denn das erste Gleichungszeichen stimmt? Ich hatte mir gedacht, dass es damit zusammenhängt, dass $\begin{eqnarray*} W_k \end{eqnarray*}$ invariant gegenüber $\begin{eqnarray*} (f-\lambda') \end{eqnarray*}$ für alle alle $\begin{eqnarray*} \lambda' \neq \lambda \end{eqnarray*}$ ist. Aber $\begin{eqnarray*} W_k \end{eqnarray*}$ ist ja auch invariant gegenüber $\begin{eqnarray*} (f-\lambda) \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Die Faktorisierung siehst du z.B. so: Nachdem du gezeigt hast, dass $\begin{eqnarray*} V= U_k \oplus W_k \end{eqnarray*}$ und dass beide Räume f-invariant sind, kannst du Basen von diesen Unterräumen wählen. Nun könntest du dir überlegen, wie die darstellende Matrix bzgl. dieser Basen auszusehen hat (es ist eine diagonale Blockmatrix - Tipp: f-Invarianz!). Und die Determinante einer solchen Matrix lässt sich berechnen, indem man die Determinanten der Blöcke multipliziert. Damit bekommst du $\begin{eqnarray*} p_f(X) = p_{f|_{W_k}}(X) \cdot p_{f|_{U_k}}(X) \end{eqnarray*}$ .

Danke, das verstehe ich jetzt.

Zitat:

[...] ich glaube du wolltest das char. Polynom von $\begin{eqnarray*} f|_{U_k} \end{eqnarray*}$ betrachten statt demjenigen von $\begin{eqnarray*} f|_{W_k} \end{eqnarray*}$ , oder?

Ja, genau.

Zitat:

Q: Wieso ist $\begin{eqnarray*} p_{f|_{U_k}}(\lambda) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ?

Wenn $\begin{eqnarray*} p(f|_{W_k}) = (f-\lambda)^m \end{eqnarray*}$ , folgt es natürlich.

Zitat:

Hinweis: Was geben die Nullstellen des charakteristischen Polynoms schon wieder an? Würde das zusammenpassen mit

Zitat:

Hmm ich vermute, dass das helfen soll, $\begin{eqnarray*} p(f|_{W_k}) \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} p(f|_{U_k}) \end{eqnarray*}$ richtig zu bestimmen, aber ich komme noch nicht drauf. Irgendwie heißt das ja, dass ich an $\begin{eqnarray*} p(f|_{U_k}) \end{eqnarray*}$ beliebig oft $\begin{eqnarray*} (X - \lambda id) \end{eqnarray*}$ dranhängen kann. Aber es heißt doch nicht, dass $\begin{eqnarray*} (X - \lambda id)^m \end{eqnarray*}$ zu $\begin{eqnarray*} p(f|_{W_k}) \end{eqnarray*}$ "gehört".

07.04.2012, 19:54

gonnabphd

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Ich sehe nicht, wie du von

Zitat:

Ok, man brauch wohl noch folgendes: Ist x != 0 im Kern, dann liegt es auch im Kern von $\begin{eqnarray*} (f-\lambda)^{k+1} \end{eqnarray*}$

auf

Zitat:

also nicht im Bild von $\begin{eqnarray*} (f-\lambda)^k \end{eqnarray*}$ .

kommst. Wenn du zeigen willst, dass $\begin{eqnarray*} \mathrm{Im} (f-\lambda)^k \cap \mathrm{Ker}(f-\lambda)^k = \{0\} \end{eqnarray*}$ , dann solltest du in etwa folgendermassen anfangen:

"Sei $\begin{eqnarray*} x \in \mathrm{Im} (f-\lambda)^k \cap \mathrm{Ker}(f-\lambda)^k \end{eqnarray*}$ ."

Nun musst du argumentieren, weshalb dann x=0 sein muss. (Schreibe x als Bild eines Vektors v und wende $\begin{eqnarray*} (f-\lambda)^k \end{eqnarray*}$ auf x an; folgere, dass v schon im Kern von $\begin{eqnarray*} (f-\lambda)^k \end{eqnarray*}$ liegt und damit x=0.)

Zitat:

Wende die Dimensionsformel lieber auf $\begin{eqnarray*} (f-\lambda)^j \end{eqnarray*}$ an. Augenzwinkern

Zitat:

$\begin{eqnarray*} p_{f|_{W_k}} (X) = (X-\lambda)^m \end{eqnarray*}$ wollen wir gerade zeigen. Was wir bis hierhin wissen, ist erst, dass $\begin{eqnarray*} p_{f|_{W_k}} (X) = (X-\lambda)^{\dim W_k} \end{eqnarray*}$ gelten muss. Und wir wollen rausfinden, ob $\begin{eqnarray*} \dim W_k = m \end{eqnarray*}$ ist.

Zitat:

Wenn $\begin{eqnarray*} p(f|_{W_k}) = (f-\lambda)^m \end{eqnarray*}$ , folgt es natürlich.

Ja, aber das wissen wir leider nicht, sonst wären wir schon fertig! Wir müssen also

Zitat:

Q: Wieso ist $\begin{eqnarray*} p_{f|_{U_k}}(\lambda) \neq 0 \end{eqnarray*}$ ?

auf andere Art und Weise zeigen, um dann obiges folgern zu können.

Zitat:

Hinweis: Was geben die Nullstellen des charakteristischen Polynoms schon wieder an?

Was ist die Antwort auf diese Frage?

08.04.2012, 20:35

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Zitat:

Ich sehe nicht, wie du von [...] auf [...] kommst.

Oh ja, da habe ich mir wohl selbst verwirrt. Ich meinte es andersherum: Wenn $\begin{eqnarray*} x \in Im(f-\lambda^k) \end{eqnarray*}$ , so $\begin{eqnarray*} x \in Im(f-\lambda^(k+1) \end{eqnarray*}$ , also muss es 0 sein, wenn es auch in $\begin{eqnarray*} Ker(f-\lambda^k) \end{eqnarray*}$ liegt, denn $\begin{eqnarray*} (f-\lambda)^{k+1}(x) = (f-\lambda)(0) = 0 \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Wende die Dimensionsformel lieber auf $\begin{eqnarray*} (f-\lambda)^j \end{eqnarray*}$ an. Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} dim(V) = dim (Im (f-\lambda)^j) + dim (Ker (f-\lambda)^j) \end{eqnarray*}$

Hmm ich komme einfach nicht drauf unglücklich

.
$\begin{eqnarray*} => dim (U_k) + dim (W_k) = dim (U_j) + dim (W_j) \end{eqnarray*}$
Aber jetzt komme ich mit der Gleichung nicht wirklich weiter. Ich weiß ja nichts über die rechte Seite, insbesondere nicht, dass da Komplementärräume stehen (d.h. ich darf auch nicht nochmal Dimensionsformel anwenden, höchstens auf die einzelnen Untervektorräume). Das einzige, was ich sehe, ist es, für die linke Seite nochmal Dimformel über f anzuwenden, so dass ich habe:
$\begin{eqnarray*} dim (Ker(f|_{U_k}) + Im(f|_{U_k})+Ker(f|_{W_k})+Im(f|_{U_k}) = dim (U_j) + dim (W_j) \end{eqnarray*}$ , aber ich sehe nicht, dass das zu etwas führt.

Zitat:

Was wir bis hierhin wissen, ist erst, dass $\begin{eqnarray*} p_{f|_{W_k}} (X) = (X-\lambda)^{\dim W_k} \end{eqnarray*}$ gelten muss.

Kannst du noch einmal versuchen zu erklären, warum das gelten muss?

Zitat:

Hinweis: Was geben die Nullstellen des charakteristischen Polynoms schon wieder an?

Was ist die Antwort auf diese Frage?

Nun, die Eigenwerte, also Skalare, zu denen Vektoren existieren, die nur gestreckt werden. Und zu diesen Vektoren existieren Eigenräume unbekannter Dimension, die f-invariant sind. Tatsächlich sind vermutlich nur die Vektoren aus den Eigenräumen f-invariant. D.h. $\begin{eqnarray*} Im(f-\lambda)^k \end{eqnarray*}$ ist wohl das Komplement von Eigenräumen, bzw. zerfällt in Eigenräume zu den Eigenwerten $\begin{eqnarray*} \neq\lambda \end{eqnarray*}$ .

08.04.2012, 21:55

gonnabphd

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O.k. mal vorab: Ich versuche meine Tipps jeweils so aufzubauen, dass die Tipps weiter unten im Post auf der Beanwortung der Tipps weiter oben aufbauen. D.h. wenn du schon oben irgendwo stecken bleibst, dann ist klar, dass du das darauf folgende nicht mehr verstehst. Ich habe das Gefühl, du versuchst alles gleichzeitig anzuschauen. Also von nun an: Wenn du an einem Punkt die Antwort nicht kennst, dann dort nachfragen und den Rest gleich ignorieren.

Ich versuche nochmal ein bisschen mehr Struktur für dich reinzubringen:

Zitat:

Fragestellung:
[...]
Jetzt ist die Aussage: Kann durchnummerierte Basis wählen, so dass die Matrix über f bzgl. dieser Basis folgende Form hat:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} \lambda*E_{m}+N & C \\ 0 & D \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ , wobei D eine obere Dreiecksmatrix ist und N nur oberhalb der Diagonalen Einträge hat.

Die Aussage ist veranlasst uns dazu, eine Folge
$\begin{eqnarray*} 0\subset W_1\subset W_2\subset \dots \subset W_k \end{eqnarray*}$ zu suchen mit
$\begin{eqnarray*} (\ast)\qquad (f-\lambda ) (W_i) \subset W_{i-1} \end{eqnarray*}$
Eine solche Folge haben wir tatsächlich gefunden in $\begin{eqnarray*} W_j = \mathrm{Ker}\,(f-\lambda)^j \end{eqnarray*}$ . Zudem haben wir festgestellt, dass es ein minimales $\begin{eqnarray*} k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ gibt, so dass $\begin{eqnarray*} W_k = W_{k+1} = W_{k+2}= \dots \end{eqnarray*}$
Wenn wir nun zeigen könnten, dass $\begin{eqnarray*} \dim W_k = m \end{eqnarray*}$ ist, dann hätten wir - nach Wahl einer Basis von $\begin{eqnarray*} W_k \end{eqnarray*}$ und dem Komplement - eine darstellende Matrix von f, welche die Form der Ausgangsfrage hätte.
Um zu zeigen, dass die Dimension von $\begin{eqnarray*} W_k \end{eqnarray*}$ gerade =m ist, schauen wir uns an, was das Bild von $\begin{eqnarray*} f-\lambda \end{eqnarray*}$ so macht. D.h. wir betrachten die Folge
$\begin{eqnarray*} V\supset \mathrm{Im} (f-\lambda) \supset \mathrm{Im} (f-\lambda)^2 \supset \dots \supset \mathrm{Im} (f-\lambda)^j\supset \dots \end{eqnarray*}$
und haben definiert $\begin{eqnarray*} U_j = \mathrm{Im} (f-\lambda)^j \end{eqnarray*}$
Ähnlich, wie bei der Folge der $\begin{eqnarray*} W_j \end{eqnarray*}$ existiert ein minimales $\begin{eqnarray*} \ell\in \mathbb N \end{eqnarray*}$ , so dass $\begin{eqnarray*} U_\ell = U_{\ell + 1} = U_{\ell + 2} \end{eqnarray*}$ und weiterhin gilt $\begin{eqnarray*} k = \ell \end{eqnarray*}$
Tipp: Die Dimensionsformel gibt uns $\begin{eqnarray*} \dim W_i + \dim U_i = \dim W_j + \dim U_j \end{eqnarray*}$ für alle i,j. Nun wissen wir aber, dass $\begin{eqnarray*} \dim W_i = \dim W_j \; \forall i,j \ge k \end{eqnarray*}$ ! Folgere daraus $\begin{eqnarray*} \ell \le k \end{eqnarray*}$ . Schliesse analog auch $\begin{eqnarray*} k\le \ell \end{eqnarray*}$ .
$\begin{eqnarray*} (f-\lambda)|_{U_k}: U_k \to U_{k+1} = U_k \end{eqnarray*}$ ist ein Isomorphismus.

$\begin{eqnarray*} W_k, U_k \end{eqnarray*}$ sind f-invariant und $\begin{eqnarray*} V = W_k \oplus U_k \end{eqnarray*}$ .

Zitat:

Sei $\begin{eqnarray*} x \in \mathrm{Im} (f-\lambda)^k \cap \mathrm{Ker}(f-\lambda)^k \end{eqnarray*}$ .
Da x im Bild von $\begin{eqnarray*} (f-\lambda)^k \end{eqnarray*}$ liegt, existiert ein $\begin{eqnarray*} v\in V \end{eqnarray*}$ , so dass

$\begin{eqnarray*} x = (f-\lambda)^k v \end{eqnarray*}$

Da x im Kern von $\begin{eqnarray*} (f-\lambda)^k \end{eqnarray*}$ liegt, folgt

$\begin{eqnarray*} 0 = (f-\lambda)^k x = (f-\lambda)^{2k} v \end{eqnarray*}$

d.h. $\begin{eqnarray*} v\in \mathrm{Ker} (f-\lambda)^{2k} = W_{2k} \end{eqnarray*}$ . Folglich (wie wurde k gewählt?!)?

Das char. Polynom $\begin{eqnarray*} p_f(X) \end{eqnarray*}$ von f hat wegen dem letzten Punkt die Faktorisierung
$\begin{eqnarray*} p_f(X) = p_{f|_{W_k}}(X) \cdot p_{f|_{U_k}}(X) \end{eqnarray*}$
Die einzige Nullstelle von $\begin{eqnarray*} p_{f_{W_k}}(X) \end{eqnarray*}$ ist $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ (Tipp: nimm an, es gäbe einen Eigenwert $\begin{eqnarray*} \lambda' \ne \lambda \end{eqnarray*}$ . Dann gibt es einen Eigenvektor zu diesem Eigenwert. Führe dies zum Wiederspruch. Erinnere dich an die Definition von $\begin{eqnarray*} W_k \end{eqnarray*}$ !), somit haben wir $\begin{eqnarray*} p_{f_{W_k}}(X) = (X-\lambda)^{\dim W_k} \end{eqnarray*}$
Da $\begin{eqnarray*} (f-\lambda)|_{U_k}: U_k \to U_k \end{eqnarray*}$ ein Isomorphismus ist, gilt $\begin{eqnarray*} p_{f|_{U_k}}(\lambda) \ne 0 \end{eqnarray*}$ .
Wegen Punkt (7) und (9) hat die Nullstelle $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} p_{f|_{W_k}}(X) \end{eqnarray*}$ die Vielfachheit m. Wegen (8) folgt $\begin{eqnarray*} \dim W_k = m \end{eqnarray*}$

08.04.2012, 23:39

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Vielen Danke für die Struktur smile

. Du hast recht, ich bin viel zu ungeordnet vorgegangen.

Zu 6):

Zitat:

Gut, das verstehe ich jetzt endlich. Da
$\begin{eqnarray*} v \in \mathrm{Ker} (f-\lambda)^{2k} => v \in \mathrm{Ker} (f-\lambda)^{k} => (f-\lambda)^k (v) = 0 => x = 0 \end{eqnarray*}$

Was mir hier jetzt noch fehlt ist die f-Invarianz für $\begin{eqnarray*} U_k \end{eqnarray*}$ .

09.04.2012, 02:23

gonnabphd

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Zitat:

Was mir hier jetzt noch fehlt ist die f-Invarianz für $\begin{eqnarray*} U_k \end{eqnarray*}$ .

Das folgt z.B. aus (5) und aus $\begin{eqnarray*} f(v) = (f-\lambda)v + \lambda v \end{eqnarray*}$

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