Ebene mit Parameter

22.01.2007, 10:16

dieterisch

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Ebene mit Parameter

Hallo Leute, ich sitze gerade an einer Aufgabe in meinem Buch:

gegeben ist die Gleichung:

$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ t \end{pmatrix}+ \gamma \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2t+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Zeige, dass durch die gegebene Gleichung für jede Wahl von t eine Ebene Et beschrieben wird.

Jetzt würde ich erst einmal die Koordinatengleichung aufstellen und hierfür benötige ich den Normalenvektor...allerdings bin ich mir bei meinem Normalvektor nicht ganz sicher....für n1 habe ich n1=-t, n2=-n3

und als Koordiantengleichung dann schließlich: -tx - 1y +1z= -2t

ist das richtig? Wenn ja, könnt ihr mir bei der Formulierung eines geeigneten Antwortsatzes helfen?

meiner wäre in etwa: da die Normalenform der Ebenen parameteranhängig ist, wird für jede Wahl von t eine Ebene beschrieben...
aber das ist bestimmt nícht gerade komplett...
______________

gut, während ihr noch überlegt, stelle ich mal schon mal meine nächste Frage:

Nur soll die Schnittgerade( ) g in Parameterform ermittelt werden, von E1 und E2. und dann steht noch weiter: sowie deren Schnittwinkel alpha.Ich bin mir nicht 100% sicher, aber aus der Schnittgeraden kann doch kein Winkel hergeleitet werden, oder? Ich muss mir hier schon die beiden Ebenen ankucken?!

Also erst einmal zum ersten Teil...ein Schnittpunkt wäre ja aufjeden Fall schon einmal der Stützvektor...
das wars dann aber auch schon mit meinen Ideen und Erkenntnissen traurig

traurig

Und wie ich bei dem Schnittwinkel vorgehen soll weiß ich auch nicht, denn bisher haben wir nur den Schnittwinkel von Geraden betrachtet....nehm ich mir dann einfach die Normalenvektoren vor?
________________

mein Schnittwinkel:

19,74°

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mY+

22.01.2007, 12:27

mYthos

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Zitat:

Original von dieterisch
...
Nur soll die Schnittgerade( ) g in Parameterform ermittelt werden, von E1 und E2. und dann steht noch weiter: sowie deren Schnittwinkel alpha.Ich bin mir nicht 100% sicher, aber aus der Schnittgeraden kann doch kein Winkel hergeleitet werden, oder? Ich muss mir hier schon die beiden Ebenen ankucken?!

Also erst einmal zum ersten Teil...ein Schnittpunkt wäre ja aufjeden Fall schon einmal der Stützvektor...
...

Hallo!

Der Schnittwinkel zweier Ebenen ist der ihrer Normalvektoren! Daher brauchst du dazu nicht ihre Schnittgerade.

Und: Der Stützvektor einer der beiden Ebenen bezeichnet im Allgemeinen NICHT bereits einen Punkt der Schnittgeraden!

Für die Schnittgerade löst du die beiden Parametergleichungen durch zeilenweises Gleichsetzen nach den 4 Parametern so auf, dass davon 3 Parameter eliminiert werden und nur noch EINER übrigbleibt. Die letzte Gleichung in diesem Parameter ist die Parameterform der gesuchten Schnittgeraden.

Hinweis zur ersten Frage: Zeige, dass die beiden Richtungsvektoren für jedes t linear unabhängig sind.

mY+

22.01.2007, 16:22

dieterisch

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Natürlich weiß ich wie man einen Schnittpunkt ermittelt!
ABER hier haben doch beide Ebenen den gleichen Stützvektor!
Könte ich vll. einen zweiten Schnittpunkt berechnen, dann einen von beiden als Stützvektor nehmen und die Differenz aus beiden als Richtungsvektor?

Den Schnittwinkel habe ich doch auch schon berechnet...ich würde eigentlich nur gerne wissen, ob mein Ergebnis auch richtig ist Augenzwinkern

Augenzwinkern

22.01.2007, 18:19

mYthos

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Ich habe eigentlich nicht 2 Ebenen gesehen, sondern nur eine Schar. Dass du mit E1 bzw. E2 Ebenen mit t = 1 und t = 2 meinst, habe ich erst jetzt realisiert (ich wollte schon fragen, wo die 2. Ebene ist). Sorry! Das ändert natürlich meine o.a. Aussage entscheidend, denn in diesem Fall ist natürlich der Stützpunkt auch ein Punkt der Schnittgeraden.

1. Hast du gezeigt, dass die beiden Richtungsvektoren lin. unabh. sind?
2. Der Schnittwinkel ist 19,74°

Wenn du ohnehin weisst, wie man einen Schnittpunkt ermittelt, dann kannst du ja auch einen zweiten berechnen. Dann hast du ja die Gerade, wie beschrieben.

Hinweis: Für den Schnittwinkel musstest du beide Normalvektoren bestimmen. Der Normalvektor zu diesen beiden ist genau der Richtungsvektor der gesuchten Schnittgeraden!

23.01.2007, 14:58

dieterisch

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Och mönsch traurig

traurig

Ich komme nicht mehr weiter...
was meinst du mit linear abhängig? Und was bringt es mir, wenn ich das beweise verwirrt

verwirrt

Bitte nicht böse sein, aber ich bin noch nicht so ganz drin in disem Vektorrechnungsthema.... Gott

Gott

Dann kommt bei mir irgendwie kein Schnittpunkt raus...und zwar hab ich das Problem, dass ich die Parameter nicht eindeutig betimmen kann, sondern lediglich...ja....wieder Parameter rausbekomme verwirrt

verwirrt

Was soll ich machen?

23.01.2007, 15:07

dieterisch

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Um noch einmal ganz sicher zu sein:

so wie ich vorgegangen bin bei "Zeige, dass durch die gegebene Gleichung für jede Wahl von t eine Ebene Et beschrieben wird." so ist es nicht korrekt?

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23.01.2007, 15:45

derkoch

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Zitat:

Original von mYthos
Hinweis zur ersten Frage: Zeige, dass die beiden Richtungsvektoren für jedes t linear unabhängig sind.

mY+

23.01.2007, 18:46

dieterisch

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meinst du damit, dass die Spannvektoren nicht das Vielfache voneinander sind? Ja, das ist so;-)

23.01.2007, 18:51

mYthos

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Ja, das ist so gemeint.
Wie hast du das nun gezeigt?

mY+

23.01.2007, 19:09

dieterisch

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die erste Zeile müsste man mit 2 multiplizieren, damit 2 rauskommt...und wenn man 0 mit 2 multipliziert kommt auf keinen Fall 1 raus in der zweiten Zeile...also Widerspruch....also linear unabhängig...
aber was mache ich denn nun mit dem zweiten Schnittpunkt?
Ich bekomme einfach keinen raus...

23.01.2007, 20:02

mYthos

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Zitat:

Original von dieterisch
Natürlich weiß ich wie man einen Schnittpunkt ermittelt!
....

Soll ich dich beim Wort nehmen?

Du hast ja bereits die Gleichungen von E1 und E2, allerdings weiss ich jetzt nicht, in welcher Form. Aber egal, du löst die beiden Gleichungen nach x, y, z auf, und da du eine Gleichung weniger als Variable hast, kannst du eine der Variablen als gegeben voraussetzen und damit die anderen Variablen ausdrücken. Somit bekommst du eine beliebige Reihe von Punkten, die allesamt auf der Schnittgeraden liegen.

Oder du greifst meinen Vorschlag auf und berechnest den Normalvektor der beiden Normalvektoren (die du ja eigentlich auch schon haben müsstest).

mY+

23.01.2007, 20:12

dieterisch

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Nein, du solltest mich nicht beim Wort nehmen;-)

Gut ich hab das mit dem Normalenvektor der Normalenvektoren gemacht...heißt das dann einfach, dass meine Schnittgerade folgende ist?

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\gamma \begin{pmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

23.01.2007, 20:41

dieterisch

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Soa...ich geh dann mal schlafen und schaue morgen früh nochmal hier rein...
nur noch kurz eine Teilaufgabe hierzu:

Betrachte die Menge aller Punkte, die auf allen Ebenen Et der Ebenenschar liegen. Stelle gegebenenfalls einer Parameterdarstellung für diese Menge auf.

Ehrlich gesagt, verstehe ich hier nur Bahnhof *schäm*
Wonach ist hier überhaupt gefragt? Etwa eine Art Defiitionsmenge?

23.01.2007, 23:17

mYthos

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Ja, die Gerade ist richtig (siehst also, wie einfach das geht :wink smile

smile

. Schreib aber davor noch ein

$\begin{eqnarray*} \vec{X} = \end{eqnarray*}$

sonst ist's keine Gleichung!

Beim andern:

Schreibe die Gleichung zeilenweise an, also

x = ..
y = ..
z = ..

und eliminiere die Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \nu \end{eqnarray*}$

Das geht ziemlich schnell, und du erhältst tatsächlich die gesuchte Parameterform (Parameter: t).
Schreib dann mal hier die Lösung, ich kann mit dir vergleichen.

mY+

mY+

16.04.2009, 22:49

muhhh

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hallo....

muss dieselbe aufgabe lösen und hab auch alles so weit fertig, nur die aufgabenstellung
"Betrachte die Menge aller Punkte, die auf allen Ebenen der Ebenenschar Et liegen. Stelle gegebenenfalls eine parameterdarstellung für diese Menge auf."
bereitet mir noch probleme...wie kann ich denn die paramenter eliminieren? verwirrt

verwirrt

17.04.2009, 09:28

mYthos

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RE: Ebene mit Parameter
$\begin{eqnarray*} \vec{x} =\begin{pmatrix} 2\\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} +\lambda \begin{pmatrix} 1 \\0 \\ t \end{pmatrix}+ \gamma \begin{pmatrix} 2 \\ 1 \\ 2t+1 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} x = 2 + \lambda + 2 \gamma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} y = \gamma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} z = t \lambda + 2t \gamma + \gamma \end{eqnarray*}$
----------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \to \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} t \\ 1 \\ -1 \end{pmatrix} \cdot \vec{x} = 2t \end{eqnarray*}$

mY+

17.04.2009, 13:34

muhhh

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RE: Ebene mit Parameter
also, die parameterdarstellung der punkte kann ich ja noch fast nachvollziehen, da ich eine zeichnung angefertigt habe, aber ich verstehe leider immer noch nicht, wie ich von dem zeilenweise geschriebenen weiterrechnen muss!?
y=lambda
muss ich das dann in x oder z einsetzten?

17.04.2009, 17:28

mYthos

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Siehe doch noch mal, was oben geschrieben steht! Die beiden Parameter $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \gamma \end{eqnarray*}$ eliminieren, sodass eine Gleichung in t übrig bleibt! Diese ist dann die Koordinatendarstellung aller Ebenen der Schar!

Ja, und es ist auch $\begin{eqnarray*} \gamma = y \end{eqnarray*}$

Die Lösung habe ich dir doch auch schon angegeben!

mY+

18.04.2009, 01:39

muhhh

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bin auch für die lösung ziemlich dankbar smile

smile

mein ziel ist es aber auch die lösung und den lösungsweg zu verstehen, sonst hat das doch recht wenig sinn für mich, da ich sonst nie in der lage wär alleine eine solche aufgabe zu lösen!
...vielleicht ist die frage wie man die parameter eliminiert ja dumm...aber ich verstehs einfach nicht unglücklich

unglücklich

18.04.2009, 23:48

mYthos

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RE: Ebene mit Parameter
Selbstverständlich sollst du die ganze Aufgabe verstehen, das ist ja das Prinzip dieses Boards hier.

$\begin{eqnarray*} (1) \ x = 2 + \lambda + 2 \gamma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (2) \ y = \gamma \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3) \ z = t \lambda + 2t \gamma + \gamma \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------------
Wir setzen jetzt $\begin{eqnarray*} \gamma = y \end{eqnarray*}$ in die Gleichungen (1) und (3) ein:

$\begin{eqnarray*} (1a) \ x - 2y - 2 = \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3a) \ z - y - 2ty = t \lambda \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------------
Die erste Gleichung wird nun mit t multipliziert:

$\begin{eqnarray*} (1b) \ tx - 2ty - 2t = t \lambda \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} (3a) \ z - y - 2ty = t \lambda \end{eqnarray*}$
--------------------------------------------------------

$\begin{eqnarray*} \ldots \end{eqnarray*}$

Weisst du nun, wie es jetzt weitergeht?

mY+

19.04.2009, 00:42

muhhh

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japp...
einfach gleichsetzen und dann kommt man schon darauf...immerhin hab ich erkannt, dass das eigentlich das skalarprodukt ist Freude

Freude

dankeschön smile

smile

smile

smile

19.04.2009, 01:04

mYthos

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Richtig! Die linke Seite der Ebenengleichung in Koordinatenform ist gleich dem Skalarprodukt eines beliebigen Ortsvektors zu einem Punkt der Ebene mit ihrem Normalvektor.

mY+

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