Basiswechselmatrix

04.04.2012, 12:36

Springpony

Auf diesen Beitrag antworten »

Basiswechselmatrix

Meine Frage:
$\begin{eqnarray*} B=(b_1, b_2, b_3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} B'=(b_1', b_2 ' , b_3 ') \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} b_1 = \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2=\begin{pmatrix} 3\\ 4 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_3=\begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_1'=\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_2'=\begin{pmatrix} 0\\ 0\\ 6\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} b_3'=\begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich will die Basiswechselmatrix ausrechnen $\begin{eqnarray*} T_{BB'} \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Wie macht man das theoretisch?
Ich weiß ich muss die einzelnen Vektoren von B' in der Basis B entwickeln.

04.04.2012, 12:46

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: Basiswechselmatrix
Stelle die Basisvektoren aus B als Linearkombination der Basisvektoren aus B' dar. Die Koeffizienten dieser Linearkombinationen bilden dann die Spalten der Basiswechselmatrix. Bei z.B.

$\begin{eqnarray*} b_1 = \sum_{i=1}^3 a_i b'_i \end{eqnarray*}$

sind dann die $\begin{eqnarray*} a_i \end{eqnarray*}$ die erste Spalte der Matrix.

04.04.2012, 12:53

Springpony

Auf diesen Beitrag antworten »

Ist klar und um die Linearkombination zu finden, wie geht man das theoretisch an ohne groß herumzuprobieren?

04.04.2012, 12:59

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Das sind lineare Gleichungssysteme, die man ganz zielstrebig lösen kann.

Z.B. http://Gaußsches Eliminiationsverfahren

04.04.2012, 13:32

Springpony

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} T_{BB'} \end{eqnarray*}$ Basiswechselmatrix von B' nach B

$\begin{eqnarray*} T_{BB'}=\begin{pmatrix} -5/8 & -6/8 & -29/8 \\ -4/28 &-18/14 & 1/28 \\3/7 &6/7 & 8/7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Stimmt das so?
LG

04.04.2012, 14:03

Mulder

Auf diesen Beitrag antworten »

Ne, überhaupt nicht.

Ich hab mir jetzt nur mal die erste Spalte angesehen, die kann doch gar nicht stimmen. Schau mal, zu lösen ist für die erste Spalte

$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 2 \\ 0 \\ 0 \end{pmatrix} = a_1 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} + a_2 \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} + a_3 \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Damit muss doch schon mal $\begin{eqnarray*} a_1=2 \end{eqnarray*}$ sein, das sieht man durch bloßes Hinsehen, weil $\begin{eqnarray*} b_1' \end{eqnarray*}$ der einzige der drei Vektoren aus B' ist, der in der ersten Komponenten nicht null ist.

Irgendwo hast du dich also ganz übel verrechnet.

Anzeige

04.04.2012, 14:28

Springpony

Auf diesen Beitrag antworten »

Dan hab ich etwas falsch verstanden, ich hab es nun nämlich anders gerechnet.

Was stimm an dieser methode nicht:
Sei $\begin{eqnarray*} E=(e_1,e_2,e_3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_{BB'} =T_{BE} * T_{EB'} \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} T_{BE} =(T_{EB})^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_{EB} = \begin{pmatrix}2 & 3 & 5 \\ 0 &4 & 6 \\0 &0& 7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Nun hab ich inverse gebildet

$\begin{eqnarray*} T_{EB'} =\begin{pmatrix}1& 0 & 0 \\ 2 &0 & 7 \\3 &6& 8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

04.04.2012, 14:35

tigerbine

Auf diesen Beitrag antworten »

Lektüretipp:
[Artikel] Basiswechsel

04.04.2012, 14:46

Springpony

Auf diesen Beitrag antworten »

Kann mir trotzdem wer sagen, was an meiner Methode schief gelaufen ist??

04.04.2012, 15:26

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Springpony
Was stimm an dieser methode nicht:
Sei $\begin{eqnarray*} E=(e_1,e_2,e_3) \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_{BB'} =T_{BE} * T_{EB'} \end{eqnarray*}$

Wenn ich das richtig sehe, liegt der Fehler hier, weil es $\begin{eqnarray*} T_{BB'} = T_{EB'} \cdot T_{BE} \end{eqnarray*}$ heißen muß.

04.04.2012, 15:41

Springpony

Auf diesen Beitrag antworten »

$\begin{eqnarray*} T_{BB'} = T_{EB'} \cdot T_{BE} \end{eqnarray*}$
Das stimm aber dann leider noch immer nicht. Inverse hab ich auch überprüft mit Rechner.

$\begin{eqnarray*} T_{BB'}=\begin{pmatrix}1/2& -3/8& -1/8\\ 1 &-3/8 &3/4 \\3/2 &-1/4& 19/56\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

04.04.2012, 16:08

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Springpony
$\begin{eqnarray*} T_{BE} =(T_{EB})^{-1} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_{EB} = \begin{pmatrix}2 & 3 & 5 \\ 0 &4 & 6 \\0 &0& 7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Nun hab ich inverse gebildet

$\begin{eqnarray*} T_{EB'} =\begin{pmatrix}1& 0 & 0 \\ 2 &0 & 7 \\3 &6& 8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Ich hab noch was übersehen. Es ist:

$\begin{eqnarray*} T_{BE} = \begin{pmatrix}2 & 3 & 5 \\ 0 &4 & 6 \\0 &0& 7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ Nun hab ich inverse gebildet

$\begin{eqnarray*} T_{B'E} =\begin{pmatrix}1& 0 & 0 \\ 2 &0 & 7 \\3 &6& 8\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Du mußt also die Inverse von $\begin{eqnarray*} T_{B'E} \end{eqnarray*}$ bilden.

04.04.2012, 16:18

Springpony

Auf diesen Beitrag antworten »

Wieso ist : $\begin{eqnarray*} T_{BE} = \begin{pmatrix}2 & 3 & 5 \\ 0 &4 & 6 \\0 &0& 7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Es ist doch $\begin{eqnarray*} T_{EB} = \begin{pmatrix}2 & 3 & 5 \\ 0 &4 & 6 \\0 &0& 7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Denn $\begin{eqnarray*} T_{EB} \end{eqnarray*}$ haben wir definiert als die Basiswechselmatrix von B nach E
Also stelle ich die Basis B in der der Standartbasis dar. Und so kann ich die Basisvektoren ablesen.

05.04.2012, 09:15

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Springpony
Denn $\begin{eqnarray*} T_{EB} \end{eqnarray*}$ haben wir definiert als die Basiswechselmatrix von B nach E

OK. Das ist jetzt erstmal eine Definitionssache. Ich hätte das als $\begin{eqnarray*} T_{BE} \end{eqnarray*}$ angesehen, aber nun denn. Bleibt die Frage, was du haben willst: die Basiswechselmatrix von B nach B' oder von B' nach B?

05.04.2012, 09:33

Springpony

Auf diesen Beitrag antworten »

Das ist egal. Ich will nur wissen ob die Basen gleich orientiert sind und muss irgendeine der beiden Basiswechsel matrizen ausrechnen.
$\begin{eqnarray*} T_{BB'} \end{eqnarray*}$ muss B' in B entwickeln
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} = a_1 * \begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} a_2 * \begin{pmatrix} 3 \\ 4\\ 0 \end{pmatrix} a_3 * \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \\ 6 \end{pmatrix} = b_1 * \begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} b_2 * \begin{pmatrix} 3 \\ 4\\ 0 \end{pmatrix} b_3 * \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 0 \\ 7 \\ 8 \end{pmatrix} = c_1 * \begin{pmatrix}2 \\ 0 \\ 0\end{pmatrix} c_2 * \begin{pmatrix} 3 \\ 4\\ 0 \end{pmatrix} c_3 * \begin{pmatrix} 5 \\ 6 \\ 7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Mit Gleichungen lösen kam ich auf
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -6/7 &-3/14& -3\\ -1/7 &-9/7 &1/28 \\3/7 &6/7 & 8/7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Aber mit der anderen Methode müsste ich doch auch zum Ziel kommen!
$\begin{eqnarray*} T_{BB'} = T_{BE} T_{EB'} \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} T_{BE} T_{EB'} \end{eqnarray*}$ .. Basiswechel von B' nach E und dannach E nach B

05.04.2012, 09:58

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

OK. Mit deiner Nomenklatur ist dann $\begin{eqnarray*} T_{EB'} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 7 \\ 3 & 6 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} T_{EB} = \begin{pmatrix}2 & 3 & 5 \\ 0 &4 & 6 \\0 &0& 7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .

Wie sieht denn bei dir die Inverse von $\begin{eqnarray*} T_{EB} \end{eqnarray*}$ aus?

Was die Matrix $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -6/7 &-3/14& -3\\ -1/7 &-9/7 &1/28 \\3/7 &6/7 & 8/7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ angeht, scheint mir diese falsch zu sein. Denn es wäre dann a_1 = -6/7, a_2 = -1/7 und a_3 = 3/7 und das erfüllt nicht die erste Gleichung.

05.04.2012, 10:19

Springpony

Auf diesen Beitrag antworten »

Korrektur:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5/14 &-3/14& -163/56\\ -1/7 &-9/7 &1/28 \\3/7 &6/7 & 8/7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

> $\begin{eqnarray*} T_{EB'} = \begin{pmatrix}1 & 0 & 0 \\ 2 & 0 & 7 \\ 3 & 6 & 8 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ sowie $\begin{eqnarray*} T_{EB} = \begin{pmatrix}2 & 3 & 5 \\ 0 &4 & 6 \\0 &0& 7\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ .
genau

$\begin{eqnarray*} (T_{EB})^{-1} = (T_{BE}=\begin{pmatrix}1/2 & -3/8 & -1/28 \\ 0 & 1/4 & -3/14 \\ 0& 0 & 1/7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

05.04.2012, 10:39

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Springpony
Korrektur:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} -5/14 &-3/14& -163/56\\ -1/7 &-9/7 &1/28 \\3/7 &6/7 & 8/7 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$

Wenn ich richtig gerechnet habe, stimmt nun die Matrix, oder gibt es gegenteilige Meinungen?

05.04.2012, 10:41

Springpony

Auf diesen Beitrag antworten »

Aber was ist nun mit der anderen Methode, wieso führt diese nicht zum Ziel?

05.04.2012, 10:56

klarsoweit

Auf diesen Beitrag antworten »

Welche andere Methode? Die mit den Gleichungen? Das muß dasselbe Ergebnis liefern. Wenn nicht, ist was falsch gelaufen.

05.04.2012, 11:23

Springpony

Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab meine Fehler alle entdeckt danke

Liebe Grüße

1

Verwandte Themen

Die Beliebtesten »

Die Größten »

Die Neuesten »