Erzeuger einer zyklischen Gruppe |
| 04.04.2012, 12:51 | Quad84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Erzeuger einer zyklischen Gruppe Ich würde so vorgehen: Bestimme alle zu 18 teilerfremden Zahlen : (1, 5, 7, 11, 13, 17) Damit hat die Gruppe Ordnung 6. Wie kann ich 18 zerlegen? In 2*9 und 3*6 Ich wähle nun die 2 als möglichen Erzeuger. Es gilt: 2^18 = 1 2^9 ist nicht 1 2^6 ist nicht 1 Damit erfüllt 2 alle VOR für einen Erzeuger. Anzahle aller Erzeuger kann ich berechnen, indem ich 2 mit allen teilerfremdem Zahlen zu 18 "potenziere": 2^1 = 2 2^5 = 14 2^7 = 2 2^11 = 14 2^13= 2 2^17 = 14 --> 2 und 14 sind alle Erzeuger der Gruppe. Ist das richtg gedacht? |
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| 04.04.2012, 13:00 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wie soll denn etwas, hier die 2, Erzeuger der Gruppe sein wenn es noch nicht einmal Element der Gruppe ist. Es geht hier um . Halte dich in diese Erkenntnisse:
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| 04.04.2012, 13:03 | Quad84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann können ja nur 1 und 17 erzeuger sein, oder? |
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| 04.04.2012, 13:08 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein. Und bei deiner Antwortzeit hast du geraten statt nachzudenken. Ich habe den starken Eindruck dass du dich grade mit zu vielen Aufgaben gleichzeitig beschäftigt. Mach eine nach der anderen. Indem du Speed-Chess mit AUfgaben spielst tust du dir keinen Gefallen. Also überleg erst mal was so ein Erzeuger erfüllen muss. |
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| 04.04.2012, 13:11 | Quad84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ich habe nicht geraten! Ich bin genauso vorgegangen, wie bei anderen Aufgaben auch. Begründung für meine Aussage: Wie lässt sich 17 zerlegen? In 1 und 17. Wenn das also falsch ist, könntest du mir dann erklären, wie es richtig geht, bitte??? Ich stehe etwas unter Zeitdruck, daher so viele Fragen zu vielen Aufagben... |
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| 04.04.2012, 13:15 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Also nochmal: Was muss der Erzeuger einer Gruppe erfüllen? Und zum Zeitdruck: Mathematik lernt man nicht durch Presslernen, man muss über die Dinge nachdenken. Also eins nach dem Anderen. Und Definitionen sollten sitzen. Im Zweifelsfall die Nachholklausur ausfallen lassen und nächstes Mal schreiben. |
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| 04.04.2012, 16:36 | Quad84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
So, nachdem ich mich nun etwas beruhigt habe, neuer Versuch: Für einen Erzeuger muss gelten, dass ein Vielfaches von ihm modulo gerechnet, 1 ergibt. Habe keine passende Def dafür :-( |
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| 04.04.2012, 16:40 | galoisseinbruder | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Die Ordnung eines Elements kann man z.B. als Mächtigkeit der vom Element erzeugten Untergruppe definieren. Erzeuger wären hier also alle Elemente der Ordnung 6. P.S. Wer diesen Thread übernehmen will sollte das tun. |
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| 04.04.2012, 17:01 | Quad84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
wenn ich das nun richtig verstehe, dann muss ich schauen, welche elemente von Z_18* ebenfalls ordnung 6 haben. da Z_18* ja die elemente (1.5.7.11.13.17) besitzt und von diesen nur 7 ebenfalls die ordnung 6 hat, kann also nur 7 ein erzeuger sein. richtig gedacht? vielen dank, dass du mir so hilfst!!! |
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| 04.04.2012, 17:19 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo quad, das stimmt so leider nicht, einmal hat das element 7 nur die ordnung 3, denn 7^3=1 modulo 18, stattdessen hat 5 die ordnung 6 und damit auch 13, weil 13=-5 modulo 18, dann müssten also 5 und 13 die möglichen erzeuger sein. gruss ollie3 |
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| 04.04.2012, 17:25 | Quad84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hm, wie kommst auf die 5? das ist mir nicht ganz klar... doch ist es!!! 
den 5^6 = 1525 kongruent 1 mod 18 |
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| 04.04.2012, 17:31 | Quad84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
aber müsste dannnicht auch 11 ein erzeuger sein? denn 11^6 ist kongruent 1 mod 18 |
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| 04.04.2012, 17:40 | ollie3 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
hallo, tatsächlich du hast recht, 11 hat auch die ordnung 6 (sorry, ich hatte mich verrechnet und gedacht 11 hätte nur die ordnung 3).
gruss ollie3 |
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| 04.04.2012, 17:51 | Quad84 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
vielen dank für deine hilfe!!!!!! |
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| 04.04.2012, 17:59 | HAL 9000 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
13 ist übrigens kein Erzeuger: Insgesamt hat entweder oder Erzeuger - im vorliegenden Fall sind das Erzeuger, eben 5 und 11. |
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| 05.04.2012, 09:29 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wobei i.d.R. der Fall von 0 Erzeugern eintritt, außer für (p ungerade Primzahl)... Hier hat man also den letzten dieser 5 Ausnahmefälle, womit man also dann 2 Erzeuger hat... Da Erzeuger mod 18 natürlich auch Erzeuger mod 3 sein müssen, wehalb dann 1,7,13 ausscheiden und natürlich auch 17 wegen kein Erzeuger sein kann, bleiben von vornherein nur mehr die zwei Möglichkeiten 5 und 11 übrig, die dann auch tatsächlich Erzeuger mod 18 sein müssen... |
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