Horner Schema allgemein

04.04.2012, 18:31

kleines_pi1984

Horner Schema allgemein

Meine Frage:
Hallo!

Ich habe morgen Numerik Klausur und habe die Fragen der letzten Klausur bekommen. Bei einem Beispiel komme ich einfach nicht weiter.Die Angabe lautet:

Eine Basis $\begin{eqnarray*} \left\{ p_{i}(t) ...\right\} \end{eqnarray*}$ mit i=0,...n des Vektorraums der Polynome von Grad höchstens n habe die Form $\begin{eqnarray*} p_{0}(t) \end{eqnarray*}$ = c, $\begin{eqnarray*} p_{i}(t)=p_{i-1}(t)(a_{i}t+b_{i} mit a_{i},b_{i} \in \mathbb R \end{eqnarray*}$ für i=1,2,...,n. Gegeben sei ein Punkt s in den reellen Zahlen. Beschreiben sie das Horner Schema zur Berechnung des Funktionswertes $\begin{eqnarray*} p_{n}(s) \end{eqnarray*}$ und erklären sie, warum es den korrekten Funktionswert liefert.

Meine Ideen:
Ich bin leider komplett aufgeschmissen. Das ist alles so allgemein gestellt, dass ich gar nicht weiß, welche Dinge ich wo in den Formeln/dem Verfahren einsetzen soll.
Es wäre super, wenn mir jemand helfen könnte!

Lg

04.04.2012, 18:36

Math1986

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RE: Horner Schema allgemein
Hast du denn schonmal ausproblert, was genau denn bei der Einsetzung passiert?

Zum Beispiel:
Es ist $\begin{eqnarray*} p_0(t)=c \end{eqnarray*}$ , wie sieht also $\begin{eqnarray*} p_0(s) \end{eqnarray*}$ aus?
Wenn du $\begin{eqnarray*} p_0(s) \end{eqnarray*}$ hast, dann berechnest du damit $\begin{eqnarray*} p_1(s) \end{eqnarray*}$ usw., dann siehst du das grundliegende Prinzip.

04.04.2012, 18:46

kleines_pi1984

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RE: Horner Schema allgemein
Naja, ich hab das einmal probiert und komme dann auf:

$\begin{eqnarray*} p_{n}(s)=c (a_{1}t+b_{1}) .... (a_{n}t+b_{n}) \end{eqnarray*}$

Aber was das Horner Schema angeht, haben wir das immer so gelöst, dass man gegeben hat: $\begin{eqnarray*} P(t) = (a_{n}t^n + .... + a_{1}t) + a_{0}) \end{eqnarray*}$

Danach haben wir bn = an gesetzt, $\begin{eqnarray*} b_{n-1}= b_{n}t + a_{n-1} \end{eqnarray*}$
und so weiter bis $\begin{eqnarray*} b_{0}= b_{1}t + a_{0} \end{eqnarray*}$
und dieses b0 war dann das P(t).

04.04.2012, 20:04

kleines_pi1984

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RE: Horner Schema allgemein
Wenigstens ein kleiner Durchbruch wäre geschafft.
Ich denke mal, dass ich, so wie bei Lagrange und Newtonbasis, auch hier sowas aufstellen muss.

Meine Basis ist also {c, c (a1 t + b1), c (a1 t + b1) (a2 t + b2), ...}

Als nächstes haben wir immer eine Formel gesucht um das allgemein zu formulieren.

Ich würde sagen: $\begin{eqnarray*} w_{j} = c \prod\limits_{k=0}^n (a_{j}t + b_{j}) \end{eqnarray*}$
mit wo (t) = c

Stimmt das noch bis hierhin?

Danach haben wir das in eine Matrix geschrieben, sodass M * d = f
wobei a ein Vektor ist von d1,....,dn und f ein Vektor mit f1,...,fn.

Da häng ich jetzt. Ich weiß nur, dass ich M*d dann ausmultipliziere, und wieder eine allgemeine Formel schreibe, danach kann ich das Polynom aufschreiben, und mit Horner rückschließen auf d0 =. Das ist dann mein gesuchtes Polynom.

Ich weiß aber nicht, wie ich auf diese Matrix komme, weil ich nicht durchschaue, wie ich von meinen Basiseinträgen bzw. meinem wj auf die Matrixeinträge komme.

BITTE HILFE!

05.04.2012, 10:47

Math1986

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RE: Horner Schema allgemein

Zitat:

Original von kleines_pi1984
Wenigstens ein kleiner Durchbruch wäre geschafft.
Ich denke mal, dass ich, so wie bei Lagrange und Newtonbasis, auch hier sowas aufstellen muss.

Meine Basis ist also {c, c (a1 t + b1), c (a1 t + b1) (a2 t + b2), ...}

Als nächstes haben wir immer eine Formel gesucht um das allgemein zu formulieren.

Ich würde sagen: $\begin{eqnarray*} w_{j} = c \prod\limits_{k=0}^n (a_{j}t + b_{j}) \end{eqnarray*}$
mit wo (t) = c

Stimmt das noch bis hierhin?

Das Produkt beginnt bei i=1, sonst stimmt es.

Was hat der Rest mit dieser Aufgabe zu tun? Von welcher Matrix ist die Rede?

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