"Simulanten" überführen

04.04.2012, 22:16

Dopap

"Simulanten" überführen

es ist gar nicht so einfach, per Hand eine Münze zu simulieren.
Zum Test einer solchen Folge von $\begin{eqnarray*} X_1, X_2, ..., X_{50} \end{eqnarray*}$ , zum Beispiel

K= (00011011110...) mit n=50 dient als erstes der Test der Trefferanzahl $\begin{eqnarray*} S_n=k \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} p(S_n\leq k) \end{eqnarray*}$ ist eine Binomialverteilung. In realen Simulationen wurde keine verdächtigen Werte erzielt- was zu erwarten war .

Ein anderer Test ist wohl, zu überlegen, wie gross denn der Erwartungswert der Wechsel in einer solchen Kette ist. Ein W ist der Wechsel von 0 nach 1 oder von 1 nach 0 in der Kette.

1.) zuerst mal den Erwartungswert E(W) bestimmen.

$\begin{eqnarray*} Y_i = \begin{cases} 1 & X_{i-1} \neq X_i \\ 0 & X_{i-1} = X_i \end{cases}\qquad i=2,3,\cdots ,n \end{eqnarray*}$
sind n-1 Indikatoren.

$\begin{eqnarray*} E(Y_i)=P(Y_i=1)=P((1,0),(0,1))=pq+qp=2pq \end{eqnarray*}$

Die Anzahl der Wechsel ist $\begin{eqnarray*} R=1+Y_2+Y_3+ \cdots +Y_n \end{eqnarray*}$

Demnach ist $\begin{eqnarray*} E(R)=1+(n-1)2pq \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} p=q=\frac 1 2 \quad \text {und} ~ n=50 \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} E(R)=25.5 \end{eqnarray*}$

ein beispielhaftes Ergebnis einer realen Simulation ist $\begin{eqnarray*} R_{\rm Hans}=36 \end{eqnarray*}$

Das übertrifft den Erwartungswert deutlich. Aber was ist "deutlich"

Meine Frage:

kann man 2.) die Varianz V(R) allgemein bestimmen, oder wenigstens für n=50 oder halbwegs genau?
Ist Hans so gut wie überführt?

05.04.2012, 02:25

frank09

Auf diesen Beitrag antworten »

RE: "Simulanten" überführen
Was mich ein wenig wundert ist, dass du $\begin{eqnarray*} E(Y_1)=1 \end{eqnarray*}$ definierst. Ein Wechsel zum 1. Wurf vom nicht vorhanden 0. Wurf ist gleich wahrscheinlich wie unwahrscheinlich, also $\begin{eqnarray*} E(Y_1)=0,5 \end{eqnarray*}$ . Somit kommst du auf $\begin{eqnarray*} E(R)=E(S_{50})=25 \end{eqnarray*}$ , was folgenden Vergleich unterstreicht: Du definierst einen "0.Wurf" $\begin{eqnarray*} X_0=1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} =0 \end{eqnarray*}$ . Nun wirfst du und notierst nicht den Wert(Treffer oder nicht) der Münze sondern, ob ein Wechsel stattgefunden hat. Der Wert dient nur als neuer Vergleichswert für den nächsten Wurf, den du wieder als Wechsel (=1) oder nicht (=0) notierst. Der Münze ist es egal, ob du wechselweise mal bei Kopf oder Zahl eine 1 notierst (natürlich vorm Wurf festgelegt) oder immer bei Kopf 1. Die Wechselanzahl ist deshalb genauso verteilt wie Trefferzahl, woraus du leicht die Varianz errechnen kannst.

05.04.2012, 08:57

Dopap

Auf diesen Beitrag antworten »

ja, richtig. Ursprünglich hatte ich die Anzahl der gleichziffrigen Folgen im Blick . Dann hat man auch für einen Wurf einen sinnigen Wert.

Also: F = W+1 oder nochmals:

-----------------Version 2-------------------------------------------------------------------------------

Ein anderer Test ist wohl, zu überlegen, wie gross denn der Erwartungswert der Anzahl der gleichziffrigen Folgen in einer solchen Kette ist. Ein W ist der Wechsel von 0 nach 1 oder von 1 nach 0 in der Kette.

1.) zuerst mal den Erwartungswert E(W) bestimmen.

$\begin{eqnarray*} Y_i = \begin{cases} 1 & X_{i-1} \neq X_i \\ 0 & X_{i-1} = X_i \end{cases}\qquad i=2,3,\cdots ,n \end{eqnarray*}$
sind n-1 Indikatoren.

$\begin{eqnarray*} E(Y_i)=P(Y_i=1)=P((1,0),(0,1))=pq+qp=2pq \end{eqnarray*}$

Die Anzahl der Wechsel ist $\begin{eqnarray*} R^*=Y_2+Y_3+ \cdots +Y_n \end{eqnarray*}$

Demnach ist $\begin{eqnarray*} E(R^*)=(n-1)2pq \end{eqnarray*}$

Der Erwartungswert der gleichziffrigen Folgen folglich $\begin{eqnarray*} E(R)=1+(n-1)2pq \end{eqnarray*}$

mit $\begin{eqnarray*} p=q=\frac 1 2 \quad \text {und} ~ n=50 \end{eqnarray*}$ folgt

$\begin{eqnarray*} E(R)=25.5 \end{eqnarray*}$

ein beispielhaftes Ergebnis einer realen Simulation ist $\begin{eqnarray*} R_{\rm Hans}=36 \end{eqnarray*}$

Das übertrifft den Erwartungswert deutlich. Aber was ist "deutlich"

Meine Frage:

kann man 2.) die Varianz V(R) allgemein bestimmen, oder wenigstens für n=50 oder halbwegs genau?
Ist Hans so gut wie überführt?

05.04.2012, 09:28

HAL 9000

Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:

Original von Dopap
kann man 2.) die Varianz V(R) allgemein bestimmen

Man kann. Es ist ja $\begin{eqnarray*} V(R)=E(R^2)-(E(R))^2 \end{eqnarray*}$ . Den Wert $\begin{eqnarray*} E(R) \end{eqnarray*}$ hast du ja bereits, beim anderen Wert greift die Linearität

$\begin{eqnarray*} E(R^2) = E\left( \sum_{k=1}^n Y_k^2 + 2\sum_{1\leq k<j\leq n} Y_kY_j \right) = \sum_{k=1}^n E(Y_k^2) + 2\sum_{1\leq k<j\leq n} E(Y_kY_j) \end{eqnarray*}$ ,

dabei ist $\begin{eqnarray*} E(Y_k^2)=E(Y_k)=2pq \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$ kein Problem. Für $\begin{eqnarray*} j\geq k+2 \end{eqnarray*}$ sind $\begin{eqnarray*} Y_k \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} Y_j \end{eqnarray*}$ unabhängig, da ist dann also $\begin{eqnarray*} E(Y_kY_j)= E(Y_k)E(Y_j)=4p^2q^2 \end{eqnarray*}$ zumindest im Fall $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$ (wie du siehst, fängt deine merkwürdige "Sonderbehandlung" $\begin{eqnarray*} Y_1=1 \end{eqnarray*}$ an, gewaltig zu nerven Augenzwinkern

, ich bin da also mit frank09 einer Meinung).

Interessant ist lediglich der "Abhängigkeitsfall" $\begin{eqnarray*} j=k+1 \end{eqnarray*}$ , hier ist

$\begin{eqnarray*} E(Y_kY_{k+1}) = P(Y_k=1,Y_{k+1}=1) = P(X_{k-1}=0,X_k=1,X_{k+1}=0) + P(X_{k-1}=1,X_k=0,X_{k+1}=1) = pq^2+p^2q = pq \end{eqnarray*}$

für wiederum $\begin{eqnarray*} k\geq 2 \end{eqnarray*}$ ...

Neue Frage »

Antworten »

"Simulanten" überführen

Verwandte Themen