Injektivität / Surjektivität |
| 05.04.2012, 13:32 | rawfood | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Injektivität / Surjektivität Ich habe ein Problem mit folgender Aufgabe: Seien f:M->N und g:L->M Abbildungen. Zeigen Sie: c) Geben Sie jeweils ein Beispiel für (f,g) an, bei dem f°g surjektiv, aber g nicht surjektiv, bzw f°g injektiv aber f nicht injektiv ist. Ich habe mit der Aufgabe so meine Probleme. Sei der Wertebereich von N eine Teilmenge der natürlichen Zahlen, und der Wertebereich von g eine Teilmenge von den ganzen Zahlen und der Definitionsbereich von g aus den natürlichen Zahlen, dann wäre g nicht surjektiv. (f°g)(L) wäre aber surjektiv, da ich N eine Teilmenge der natürlichen Zahlen wäre, und jedes Element z aus N ein Element g(l) zugewiesen hätte. Wäre diese Argumentation ein geltendes Beispiel für die erste Aufgabenstellung? Bei der Injektivität tue ich mich allerdings sehr schwer. Ich muss ja folgendes zeigen: Seien x und y zwei voneinander verschiedene Elemente aus dem Definitionsbereich von g, dann soll gelten. Desweiteren soll f nicht injektiv sein, also wenn ich zwei Elemente aus dem Def. Bereich von f nehme, muss gelten Würde das aber nicht heißen, dass gelten muss das f(g(x)) = f(g(y)) gelten muss? Würde das nicht heißen, dass ich quasi dem was ich zeigen will, wiederspreche, da ja f°g(x) ungleich f°g(y) für eine injektive Hinterinanderausführung zweiter Funktionen steht. Danke Rawfood |
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| 05.04.2012, 15:44 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| RE: Injektivität / Surjektivität du machst es dir aber auch schwer; für ein gegenbeispiel kannst du einfach N,M,L,g,f explizit wählen. im anhang hab ich ne skizze für den fall mit der surjektivität gemacht.
das stimmt so nicht, wenn f nicht injektiv sein soll dann gibt es (mind.) 2 solche elemente, das muss natürlich nicht für alle gelten. lg |
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| 06.04.2012, 10:13 | rawfood | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank Weisbrot. Das ich es mir schwer mache, war mir in dem Moment nicht Bewußt. Aber allein die Zeichnung reicht ja bekanntlich nicht um etwas zu zeigen. Daher ist in der Beispiel wohl gemeint, dass ich einfach kleine Mengen definiere: Sei Also N = {1,2} M = {1,2,3} und L = {1,2} und f ist die Abbildung M->N und g : L->M. Sei also x ein Element in L, y in M, und z in N, so ist (f°g)(x)=z, wenn g(x)=y und f(y)=z. Für g(3) gibt es kein x in L, also ist g nicht surjektiv, während (f°g)(x)=z surjektiv ist. Kann man das so stehen lassen? So jetzt versuch ich es auch mal mit der Injektivität. Sei L die Menge {1,2} M die Menge {-2,1,2} und N die Menge {1,2.4}. g(x)=y=x² f(y)=y²=z. Für y_1 = -2 und y_2 = 2 wäre f(y_1)=f(y_2) woraus folgt, dass f nicht injektiv ist. Für zwei verschiedene Elemente aus der Menge L, wäre (f°g)(x)=z injektiv, weil für für zwei x_1, x_2 aus Lfolgt (f°g)(x_1) ist ungleich (f°g)(x_2). Kann ich die Aufgaben so als gewissenhaft bearbeitet abhaken? Danke, Rf Ps. oder geht es noch viel einfacher? |
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| 06.04.2012, 11:16 | Elvis | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Doch, selbstverständlich reicht eine Zeichnung, die ein Gegenbeispiel darstellt, als Beweis völlig aus. Ein Gegenbeispiel mit Zahlen als Elementen von Mengen ist in keiner Weise besser als ein Gegenbeispiel mit Punkten als Elementen von Mengen. Eine Abbildungsvorschrift ist überhaupt nicht nötig. Um das letzte Beispiel zu verstehen, muss ich mir nun wieder ein Bild machen, und da bin ich jetzt zu faul dazu. Allerdings muss eine jede Abbildung linksvollständig sein, was in dem Bild von weisbrot für f nicht gilt. |
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| 06.04.2012, 11:19 | rawfood | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Vielen Dank Elvis. Dann werde ich in Zukunft einfach eine Zeichnung anfertigen. Danke Rawfood |
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| 06.04.2012, 14:05 | weisbrot | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
@elvis: stimmt, hab ich vergessen, gut dass dus sagst; also @rawfood: f muss natürlich alle elemente des definitionsbereichs abbilden, z.b. so wie im anhang. für ein gegenbeispiel für injektivität kannst du ein sehr ähnliches gegenbeispiel geben (edit: beziehungsweise - das ist für beides gleichzeitig ein gegenbeispiel, merk ich grad). lg |
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| 07.04.2012, 09:44 | rawfood | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke Weisbrot. Ich hatte mich schon gefragt was Elvis mit linksvollständigkeit meinte. Ist mir durch deine Ergänzung klar geworden. Gruß Rf |
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