Logarithmische Normalverteilung über Normalverteilung berechnen

05.04.2012, 17:21	Metallicum	Auf diesen Beitrag antworten »
Logarithmische Normalverteilung über Normalverteilung berechnen Hallo zusammen, nachdem ich das erste Mal keine Antwort im Forum finde, darf ich nun auch einmal eine Frage beitragen: Aufgabenstellung : Eine Zufallsvariable $\begin{eqnarray} X : \Omega \to \mathbb R_{\geq 0} \end{eqnarray}$ heißt logarithmisch normalverteilt mit Parameter $\begin{eqnarray} \mu \in \mathbb R \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \rho\in \mathbb R_{\geq 0} \end{eqnarray}$ , falls $\begin{eqnarray} log X \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} N(\mu, \rho²) \end{eqnarray}$ . Man schreibt $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ ~ $\begin{eqnarray} LN(\mu, \rho²) \end{eqnarray}$ . Bestimmen Sie für $\begin{eqnarray} \mu = 1, \rho = 1 \end{eqnarray}$ die Wahrscheinlichkeit $\begin{eqnarray} P({1\leq X \leq e}) \end{eqnarray}$ Lösungsidee: $\begin{eqnarray} P(\{log 1 \leq log X \leq log e\})<br /> <br /> P(\{0 \leq log X \leq 1\})<br /> <br /> P(\{ log X \leq 1\}) - P(\{log X < 0\})<br /> <br /> <br /> \end{eqnarray}$ ( da Normalverteilt: ) $\begin{eqnarray} <br /> <br /> <br /> \Rightarrow P(\{\frac{log X - 1}{1} \leq \frac{1-1}{1}\}) - P(\{\frac{log x -1}{1} < \frac{0-1}{1}\})<br /> <br /> \Rightarrow P(\{\frac{log X - 1}{1} \leq 0\}) - P(\{\frac{log X - 1}{1} < -1\})<br /> \end{eqnarray}$ Nun hatte ich noch folgende Idee: $\begin{eqnarray} <br /> \Rightarrow P(\{log X - 1 \leq 0\}) - P(\{log X - 1 < -1\})<br /> <br /> \Rightarrow P(\{log X \leq 1\}) - P(\{log X < 0\}) <br /> <br /> \Rightarrow P(\{X \leq e\}) - P(\{X < 1\}) <br /> <br /> \end{eqnarray}$ Allerdings wage ich zu bezweifeln, dass das so funktioniert... Grüße
05.04.2012, 23:12	frank09	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Logarithmische Normalverteilung über Normalverteilung berechnen Die meisten Umformungen sind überflüssig und du kommst auch zu keiner konkreten Lösung (Ob ich z.B. P(X>1) oder P(2X>2) schreibe, macht keinen Unterschied.) Nötig ist die Z-Transformation auf die Standard-NV: $\begin{eqnarray} P(logX\leq x) = \Phi(\frac{x-\mu}{\sigma}) \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} P(logX\leq 1)= \Phi(\frac{1-1}{1})=0,5 \end{eqnarray}$
06.04.2012, 11:04	Metallicum	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort. Genau, die habe ich ja auch gemacht. Ich müsste ja jetzt eigentlich nur noch fertigrechnen: $\begin{eqnarray} <br /> \Phi (e) - \Phi(1)<br /> = 0,9966 - 0,8413<br /> = 0,1553<br /> \end{eqnarray}$ Oder?
06.04.2012, 13:54	Metallicum	Auf diesen Beitrag antworten »
Lösung: $\begin{eqnarray} P(\{log 1 \leq log X \leq log e\})<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> P(\{0 \leq log X \leq 1\})<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> P(\{ log X \leq 1\}) - P(\{log X \leq 0\})<br /> \end{eqnarray}$ ( da Normalverteilt: ) $\begin{eqnarray} <br /> P(\{log X \leq \frac{1-1}{1}\}) - P(\{log x \leq \frac{0-1}{1}\})<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> P(\{log X \leq 0\}) - P(\{log x \leq -1\})<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \Phi (0) - \Phi(-1)<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \Phi (0) - (1 - \Phi(1))<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> \Phi (0) + \Phi(1) - 1<br /> \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} <br /> 0,5 + 0,8413 - <br /> = 0,3413<br /> \end{eqnarray}$

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