Frage zum Beweis, dass jeder HIR faktoriell ist und zu irreduziblen Elementen |
| 06.04.2012, 13:34 | Juppie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
| Frage zum Beweis, dass jeder HIR faktoriell ist und zu irreduziblen Elementen in unserem Skript steht der Beweis, da ist allerdings eine aussage drin, die mich verwirrt und ich nicht verstehe. Satz: Jeder HIR ist faktoriell. Beweis: Da in einem HIR jedes irreduzible Element prim ist, bleibt zu zeigen, dass jedes a ungleich 0 mit a aus R\R* als Produkt von endlich vielen irreduziblen Elementen geschrieben werden kann. (Das ist mir klar) Wir nehmen dann ein a0 ungleich 0 mit a0 aus R\R*. Dieses a0 soll sich nicht als Produkt von irreduziblen Elementen schreiben lassen. "Dann ist a0 insbesondere nicht selbst irreduzibel" Ich dachte eigentlich dass a0 dann irreduzibel wäre, weil irreduzibel ja bedeutet dass es nicht zerlegbar ist. Ist ein irreduzibles Element als Produkt von irreduziblem Elementen darstellbar?? irreduzibel bedeutet ja: wenn a irreduzibel dann gilt für a=b*c dass b oder c Einheiten sind. a selbst ist so definiert dass es aus R\R* also keine Einheit ist! wenn ich a jetzt als Produkt irreduzibler Elemente schrieben möchte, müssen ja b UND c irreduzibel sein, aber da eins von beiden eine Einheit sein MUSS und ein irreduzibles Element nach Def. keine Einheit ist, kann man ein irreduzibles Element nicht als Produlkt von irreduziblen Elementen schreiben, oder wo ist mein Denkfehler? Gruß Juppie |
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| 06.04.2012, 13:54 | lp-raum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Es ist ganz einfach: Es sind auch "Produkte" mit nur einem Faktor zugelassen. 
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| 06.04.2012, 14:19 | Juppie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Das wäre aber doch a=1*a und 1 ist ne einheit oder? |
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| 06.04.2012, 15:54 | Mystic | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
1 ist stets Einheit... Kann es sein, dass du hier 1 und 0 verwechselst? 
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| 06.04.2012, 21:22 | Juppie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nein Ich meine wenn a=a*1 irreduzibel ist, dann ist a kein Produkt irreduzibler Elemente weil 1 als Einheit nicht irreduzibel ist. Also kann ein irreduzibles Element als Produkt irreduzibler Elemente geschrieben werden? Wenn ja, dann wie? |
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| 06.04.2012, 23:39 | lp-raum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast richtig festgestellt, dass irreduzible Elemente nicht Produkt von 2 oder mehr irreduziblen Elementen sein können. Die Formulierung "Produkt von irreduziblen Elementen" in deinem Skript soll aber sicher per Definition auch irreduzible Elemente mit einbeziehen. |
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| 07.04.2012, 00:05 | lp-raum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Nebenbei: Es folgt auch nicht aus der Gültigkeit einer Darstellung dass sich a nicht eventuell anders als Produkt von 2 Nichteinheiten schreiben lässt. |
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| 07.04.2012, 14:43 | Juppie | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Danke, deine Antwort hilft mir weiter, also denkst du dass in meinem skript das "Produkt" auch ein irreduzibles elemnet mit einbezieht? |
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