unbest. integral ansatz

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07.04.2012, 13:55	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
unbest. integral ansatz Meine Frage: muss diese aufgabe lösen: $\begin{eqnarray} \int \frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx \end{eqnarray}$ Meine Ideen: habe partielle integration versucht, komme da aber nicht weiter. hab dann mal versucht x^2+1 zu substituieren und auch mal (x^2+1)^2. bin aber bei beiden nicht weitergekommen. ich denke aber, dass das mit substitution gehen müsste. wenn jemand eine idee hat wäre ich echt froh
07.04.2012, 13:59	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: unbest. integral ansatz Als Ansatz würde ich Partialbruchzerlegung empfehlen. mfg, Ché Netzer
07.04.2012, 14:08	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
danke habe dann folgendes: $\begin{eqnarray} \int \frac{x^2}{(x^2+1)^2}dx=\int \frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{(x^2+1)^2}dx=\frac{1}{2 x}\cdot\log (x^2+1)-\frac{1}{4 x (x^2+1)}\cdot\log \left( (x^2+1)^2\right) \end{eqnarray}$ stimmt das?
07.04.2012, 14:24	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Noch nicht ganz. Die Ableitung von $\begin{eqnarray} \tfrac1{2x}\ln(x^2+1) \end{eqnarray}$ ist ja nicht $\begin{eqnarray} \tfrac1{2x}\frac{2x}{x^2+1} \end{eqnarray}$ , da käme dann die Produktregel noch ins Spiel. Die Ableitung des Arcustangens kennst du?
07.04.2012, 14:30	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
oh habs gerade gesehen. $\begin{eqnarray} \frac{d\arctan x}{dx}=\frac{1}{1+x^2} \end{eqnarray}$ wie ist das bei der zweiten? arctan² wäre ja bestimmt zu einfach^^
07.04.2012, 14:33	Che Netzer	Auf diesen Beitrag antworten »
Da würde ich es mit einer Substitution versuchen. Wieder mit dem (Arcus-)Tangens. Mir fällt zumindest kein schnellerer Weg ein
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08.04.2012, 11:37	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid weiß nicht wie du das meinst.
08.04.2012, 12:04	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kann man denn da den arcustangens substituieren??
08.04.2012, 14:14	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
hätte dann ja: $\begin{eqnarray} \int\frac{1}{x^2+1}-\frac{1}{(x^2+1)^2}dx=\arctan x-\int\frac{1}{(x^2+1)^2}dx \end{eqnarray}$ für $\begin{eqnarray} u=\arctan x \end{eqnarray}$ kriegt man $\begin{eqnarray} du=\frac{1}{x^2+1}dx \end{eqnarray}$ so kriege ich aber allerdings "nicht jedes x raus" wie soll ich das denn machen?
08.04.2012, 14:20	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Führ die Substitution doch einfach mal zuende, du hörst ja nun irgendwie mittendrin auf. Die Substitution ist durchaus zielführend.
08.04.2012, 14:24	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
mir bleibt ja im prinzip das stehen: $\begin{eqnarray} \arctan x-\int du^2 \end{eqnarray}$ kann damit aber nichts anfangen...
08.04.2012, 14:32	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Damit kann ich auch nichts anfange, das ist auch komplett falsch. Was soll in diesem Zusammenhang denn du² sein? Es ist doch immer wieder überraschend, wie sehr manch einer ins rudern kommt, wenn sich bei der Integralsubstitution bei der Substitution des Differentials mal nicht alles komplett rauskürzt. Dabei wird dann komplett vergessen, dass man mittels der Substitutionsvorschrift, die man gegeben hat, doch locker alles "übrige" einfach ersetzen kann. Auch wenn es jetzt formal unsauber ist: Ich ersetze jetzt mal nur das dx und lasse die "übrigen" x mal stehen. Wir haben: $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{(1+x^2) \cdot (1+x^2)} \, \dd x \end{eqnarray}$ Nun ist $\begin{eqnarray} \dd u = \frac{1}{1+x^2} \, \dd x \end{eqnarray}$ also landet man bei $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{1+x^2} \, \dd u \end{eqnarray}$ Formal ist dieser Mischmasch mit x und u natürlich Mumpitz, ich schreib es nur zur Verdeutlichung. So, nun ist doch $\begin{eqnarray} u = \arctan(x) \end{eqnarray}$ , also $\begin{eqnarray} x = \tan(u) \end{eqnarray}$ Das liefert: $\begin{eqnarray} \int \frac{1}{1+\tan^2(u)} \, \dd u \end{eqnarray}$ Was man nun lösen kann.
08.04.2012, 14:39	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
ist das dann: $\begin{eqnarray} \int\frac{1}{1+\tan^2(u)}du=\arctan(\tan u)=u \end{eqnarray}$ ?
08.04.2012, 14:44	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Natürlich nicht. Und das weißt du auch selber, dass das nicht sein kann. Wenn man u wieder ableitet, bekommt man 1 und das kann ja wohl nicht dasselbe sein wie 1/(1+tan²(u)). $\begin{eqnarray} \frac{1}{1+\tan^2(u)} = \cos^2(u) \end{eqnarray}$ Letzteres solltest du nun integrieren können.
08.04.2012, 14:51	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \frac 1 2 (u+\sin u \cos u)+c=\frac 1 2 (\arctan x + \sin (\arctan x)\cos (\arctan x))+c \end{eqnarray}$ stimmt das denn jetzt?
08.04.2012, 14:55	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
Ja, das stimmt. Wobei man sin(arctan(x))cos(arctan(x)) auch noch drastisch vereinfachen könnte, wenn man möchte.
08.04.2012, 14:58	chrlan	Auf diesen Beitrag antworten »
ja das werde ich wohl nicht hinkriegen so sollte das erst mal genügen^^ vielen dank! noch schöne feiertage
08.04.2012, 15:02	Mulder	Auf diesen Beitrag antworten »
So schwer ist das nun auch nicht. Es ist $\begin{eqnarray} \sin(\arctan(x))\cos(\arctan(x)) = \tan(\arctan(x))\cos^2(\arctan(x)) = \frac{x}{1+ \tan^2(\arctan(x))} = \frac{x}{1+x^2} \end{eqnarray}$

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