Streckenlänge in DynaGeo abtragen

08.04.2012, 15:23

FCL

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Streckenlänge in DynaGeo abtragen

Meine Frage:
Wie kann ich in DynaGeo eine Streckenlänge auf einer Geraden abtragen?

Meine Ideen:
Ich möchte das wissen, um gemeinsame äußere Tangenten zweier Kreise zu zeichnen. Vielleicht kann mir jemand auch "direkt" weiterhelfen:
Hat man 3 Kreise und zeichnet dann immer die äußeren Tangenten zweier Kreise ein, liegen die drei Schnittpunkte zweier Tangenten dann immer auf einer Geraden?

08.04.2012, 15:31

riwe

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RE: Streckenlänge in DynaGeo abtragen

Zitat:

Original von FCL
Meine Frage:
Wie kann ich in DynaGeo eine Streckenlänge auf einer Geraden abtragen?

Meine Ideen:
Ich möchte das wissen, um gemeinsame äußere Tangenten zweier Kreise zu zeichnen. Vielleicht kann mir jemand auch "direkt" weiterhelfen:
Hat man 3 Kreise und zeichnet dann immer die äußeren Tangenten zweier Kreise ein, liegen die drei Schnittpunkte zweier Tangenten dann immer auf einer Geraden?

verwirrt

kannst du dein problem vereinfachen bzw. präzisieren.

was genau willst du nun verwirrt

verwirrt

08.04.2012, 16:16

FCL

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Also zuerst will ich wissen, wie ich in dynageo eine Streckenlänge abtragen kann.

08.04.2012, 16:21

riwe

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das kommt darauf an.
im allgemeinen - wenn du damit meinst:
gegeben sei ein punkt P auf g und gesucht ein punkt Q im abstand r auf g.

schlege einen kreis mit radius r um P und bestimme die beiden schnittpunkte von g und k

08.04.2012, 16:28

FCL

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Ich habe das so gemeint, dass ich zwei Punkte P und Q habe und ich auf g eine Strecke mit Länge |PQ| haben will. Wie mache ich das?

08.04.2012, 16:57

riwe

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dann gibst du als radius ein
ok Augenzwinkern

Augenzwinkern

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08.04.2012, 17:00

FCL

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Ah........... hab ich nicht gewusst, dass das so geht!
Danke! Kannst du mir bei meiner anderen Frage weiterhelfen?

08.04.2012, 17:15

riwe

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eine möglichkeit Augenzwinkern

Augenzwinkern

08.04.2012, 17:32

riwe

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oder so

08.04.2012, 17:58

FCL

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Gut, wie man die äußeren Tangenten konstruiert ist mir klar. Jetzt will ich wissen:
Seien k1, k2, k3 Kreise. Sei X der Schnittpunkt der beiden äußeren Tangenten von k1 und k2, Y der Schnittpunkt der äußeren Tangenten von k2 und k3 und Z der Schnittpunkt der äußeren Tangenten von k1 und k3.
Zeige, dass X, Y, und Z auf einer Geraden liegen!

08.04.2012, 18:37

FCL

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Ich glaube man nennt die drei Punkte X, Y und Z auch Brennpunkte der Kreise, bin mir aber nicht sicher.

08.04.2012, 19:45

Leopold

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Eine zentrische Streckung $\begin{eqnarray*} \sigma_X \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} X \end{eqnarray*}$ aus bildet $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ ab, eine Streckung $\begin{eqnarray*} \sigma_Y \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ aus bildet $\begin{eqnarray*} k_2 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} k_3 \end{eqnarray*}$ ab und eine Streckung $\begin{eqnarray*} \sigma_Z \end{eqnarray*}$ von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ aus bildet $\begin{eqnarray*} k_1 \end{eqnarray*}$ auf $\begin{eqnarray*} k_3 \end{eqnarray*}$ ab. Es gilt dann:

$\begin{eqnarray*} \sigma_Y \circ \sigma_X = \sigma_Z \end{eqnarray*}$

Es bleibt also nur noch zu untersuchen, wie die Streckzentren miteinander zusammenhängen. Ich weiß nicht, ob du Vektorrechnung kennst, aber damit scheint es mir einfach zu gehen.

Beginnen wir mit der ersten Streckung. Wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \end{eqnarray*}$ der Streckfaktor ist und $\begin{eqnarray*} P' \end{eqnarray*}$ das Bild des Punktes $\begin{eqnarray*} P \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} \sigma_X \end{eqnarray*}$ , dann gilt

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{XP'} = \lambda \, \overrightarrow{XP} \end{eqnarray*}$

Ich bezeichne die Ortsvektoren der Punkte mit lateinischen Kleinbuchstaben. Dann kann man das auch so schreiben: $\begin{eqnarray*} p' - x = \lambda (p-x) \end{eqnarray*}$ , oder leicht umgeformt:

$\begin{eqnarray*} p' = (1 - \lambda) x + \lambda p \end{eqnarray*}$

Jetzt die zweite Streckung von $\begin{eqnarray*} Y \end{eqnarray*}$ aus. Ihr Streckfaktor sei $\begin{eqnarray*} \mu \end{eqnarray*}$ . Das Bild von $\begin{eqnarray*} P' \end{eqnarray*}$ unter $\begin{eqnarray*} \sigma_Y \end{eqnarray*}$ heiße $\begin{eqnarray*} P'' \end{eqnarray*}$ . Dann gilt analog:

$\begin{eqnarray*} p'' = (1 - \mu) y + \mu p' \end{eqnarray*}$

Setzt man $\begin{eqnarray*} p' \end{eqnarray*}$ von oben in dieser Gleichung ein, so erhält man mit ein paar kleinen Umformungen

$\begin{eqnarray*} p'' = (1 - \lambda) \mu x + (1 - \mu) y + \lambda \mu p \end{eqnarray*}$

Dasselbe erhält man, wenn man von $\begin{eqnarray*} Z \end{eqnarray*}$ aus streckt. Der Streckfaktor der Verkettung ist offenbar $\begin{eqnarray*} \lambda \mu \end{eqnarray*}$ . Es gilt daher:

$\begin{eqnarray*} p'' = (1 - \lambda \mu) z + \lambda \mu p \end{eqnarray*}$

Jetzt vergleiche die beiden Ausdrücke für $\begin{eqnarray*} p'' \end{eqnarray*}$ und löse nach $\begin{eqnarray*} z \end{eqnarray*}$ auf. Überprüfe dann, ob $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{XZ} = z-x \end{eqnarray*}$ ein skalares Vielfaches von $\begin{eqnarray*} \overrightarrow{XY} = y-x \end{eqnarray*}$ ist. Die Sache funktioniert nur, wenn $\begin{eqnarray*} \lambda \mu \neq 1 \end{eqnarray*}$ gilt. Überlege dir, warum das nach den unausgesprochenen Voraussetzungen der Aufgabe so sein muß.

08.04.2012, 20:31

FCL

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OK - sieht ziemlich kompliziert aus, habe nach $\begin{eqnarray*} \sigma_Y\circ\sigma_X = \sigma_Z \end{eqnarray*}$ nichts mehr verstanden.
Was genau ist also das Ergebnis, ich kann mir unter $\begin{eqnarray*} \lambda\mu\neq 1 \end{eqnarray*}$ nicht viel vorstellen. Ich habe vergessen zu sagen, dass die Kreise nicht "ineinander" sein dürfen, wenn du weißt was ich meine.

Edit opi: Nachfolgenden Drängelbeitrag (erstellt nach 23Minuten!) entfernt.

09.04.2012, 10:21

Leopold

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Wie kompliziert man etwas findet, hängt von den eigenen Vorkenntnissen ab. Was ist dein Stand? Bist du noch auf der Schule? In welcher Klasse? Oder schon im Studium oder der Berufsausbildung? Weißt du, was eine zentrische Streckung ist? Kennst du Vektoren?

09.04.2012, 18:44

FCL

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Also ich bin noch in der Schule, in der 11. Klasse. Ich weiß, was zentr. Streckungen sind, Vektoren hab ich zwar schon mal gehört, hab aber keine Ahnung davon.

09.04.2012, 19:26

Leopold

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Und sagt dir die Verkettung (Hintereinanderausführung) zweier zentrischer Streckungen etwas?

09.04.2012, 21:10

FCL

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Ja, wenn das das mit dem Kreis ist, dann ja.

10.04.2012, 21:07

FCL

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Es dürfen jetzt auch gerne andere etwas sagen (auch wenn das gegen das Board-Prinzip verstößt...). Wenn jemand das hier ließt, kann er sich gerne mal Gedanken machen!

11.04.2012, 08:09

Leopold

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4.4 Hintereinanderausführen von zentrischen Streckungen

11.04.2012, 08:51

riwe

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Zitat:

Original von FCL
Es dürfen jetzt auch gerne andere etwas sagen (auch wenn das gegen das Board-Prinzip verstößt...). Wenn jemand das hier ließt, kann er sich gerne mal Gedanken machen!

ganz besonders solltest du dir gedanken machen und sie hier herein stellen unglücklich

unglücklich

11.04.2012, 17:14

FCL

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Danke für den Link! Das mit der Hintereinanderausführung habe ich jetzt verstanden.

@riwe:

Das mit dem "Gedanken machen" war so gemeint, dass, wenn jemand anderes das, was Leopold geschrieben hat, versteht und es erklären kann, darf er das gerne hier reinschreiben, weil ich versteh hauptsächlich nur Bahnhof...

11.04.2012, 17:56

FCL

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@riwe:

Außerdem kann ich mir wohl schlecht darüber Gedanken machen, wenn ich keinen Buchstaben verstehe smile

smile

11.04.2012, 18:21

riwe

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Zitat:

Original von FCL
@riwe:

Außerdem kann ich mir wohl schlecht darüber Gedanken machen, wenn ich keinen Buchstaben verstehe smile

smile

a) steht da oben aber anderes unglücklich

unglücklich

b) wenn ich deinen anderen beitrag hier im board anschaue: ist das deine lieblingsbeschäftigung Augenzwinkern

Augenzwinkern

c) nur am rande: ich lese, du liest, er liest......

als (hoffentlich) positiver beitrag und hoffentlich VZ-fehlerfreier,
mit dem schnittpunkt der tangenten an k1 und k2 $\begin{eqnarray*} S_{12} \end{eqnarray*}$ usw.erhalte ich (wunschgemäß)

$\begin{eqnarray*} \overrightarrow{S_{13}S}_{23}=\frac{r_3\cdot (r_1-r_2)}{r_2\cdot (r_3-r_1)}\cdot\overrightarrow{S_{23}S}_ {12}=k\cdot\overrightarrow{S_{23}S}_ {12} \end{eqnarray*}$

11.04.2012, 19:01

FCL

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Antworten:

a) Die Hintereinanderausführung habe ich verstanden, von dem mit Vektoren und so versteh ich aber wirklich nichts. unglücklich

unglücklich

b) Was soll meine Lieblingsbeschäftigung sein? smile

smile

c) Ich weiß wie man lesen konjugiert, Schreibfehler können ja jedem mal passieren...

Von deinem Beitrag verstehe ich leider auch nicht viel unglücklich

unglücklich

vielleicht kannst du mir ja erklären, was die Pfeile bedeuten, ich kenne die Pfeile als Zeichen für eine Halbgerade, das macht hier aber nicht viel Sinn, oder? verwirrt

verwirrt

Danke für deine Antwort!

11.04.2012, 19:27

riwe

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aus mengenlehre/ aufgabe

Zitat:

Original von FCL
Mein Lehrer ist prinzipiell ziemlich verpeilt und er hat mir die Wette vorgeschlagen... naja, bis Ende der Osterferien hab ich ja noch Zeit. Vielleicht kann ich ihm ja auch den Beweis auftischen, bei dem die Summe aus zwei gleichen Zahlen nicht in M liegen darf... vielleicht denkt er, ich habe es halb gelöst und ich muss ihm keine Tafel Schokolade geben... smile

smile

EDIT: Also wenn jemand das jetzt noch ließt, kann er gerne mal überlegen, ob er das hinkriegt! Es geht hier um einen guten Zweck!

und so auch hier

Zitat:

Original von FCL
Es dürfen jetzt auch gerne andere etwas sagen (auch wenn das gegen das Board-Prinzip verstößt...). Wenn jemand das hier ließt, kann er sich gerne mal Gedanken machen!

ich wollte ja nur helfen geschockt

geschockt

dann erneut die frage:
WIE sollst du denn dein problem lösen, wenn du von gar nix keine ahnung nicht hast verwirrt

verwirrt

11.04.2012, 19:44

FCL

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OK - wir können ja mit Stochastik ausrechnen, was die Wahrscheinlichkeit ist, dass
1. ich den selben Rechtschreibfehler 2x mache und
2. du das 2x bemerkst... smile

smile

Von Stochastik (z.B.) hab ich schon Ahnung, von Geometrie allerdings wenig. Ich hab gedacht das würde vielleicht auch einfacher gehen, so was zu beweisen...
Trotzdem kannst du mir vielleicht erklären, was der Pfeil bedeutet.

11.04.2012, 20:19

opi

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@FCL: Ich habe Deinen letzten Beitrag entfernt, der gießt nur nochmals unnötig Öl ins Feuer und trägt nichts zum Thema bei.

@all: Bitte beim eigentlichen Thema bleiben. smile

smile

11.04.2012, 20:55

FCL

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OK - danke! Es war wirklich unnötig von mir, den Beitrag reinzustellen...

12.04.2012, 16:21

FCL

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OK - kann mir jemand bei dem Thema hier weiterhelfen? Auch gerne jemand anderes als Leopold (wenn er anscheinend nicht da ist). Das verstößt zwar gegen das Board-Prinzip, aber da würde ich ein Auge zudrücken Augenzwinkern

Augenzwinkern

12.04.2012, 21:49

Leopold

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Zunächst einmal solltest du dir klarmachen, daß du fertig bist, sobald gezeigt ist, daß die Verkettung zweier zentrischer Streckungen wieder eine zentrische Streckung ist, deren Streckzentrum auf der Verbindungsgeraden der alten Streckzentren liegt.
Einen Beweis (mit Lücken) findest du im von mir angegebenen Link. Ein halbwegs übersichtlicher Beweis ohne Vektorrechnung erscheint mir nicht möglich oder zumindest aufwendig, denn man muß an so viele Fälle denken. Aber ich lasse mich da gerne eines Besseren belehren. Und wie es mit der Vektorrechnung geht, da habe ich dir den Ansatz ganz zu Anfang geliefert.

14.04.2012, 14:03

FCL

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Hallo Leopold,
danke für deine Erklärung, ich glaube, ich hab es jetzt verstanden!
Allerdings kann ich das (glaube ich zumindest) nicht auf meine eigentliche Aufgabe (nicht das, mit den drei Kreisen und den Tangenten) anwenden. Trotzdem danke für deine Hilfe. Ich werde jetzt einen neuen Thread anfangen, da die eigentliche Aufgab nicht mehr ganz hier zum Thema passt.
Danke,
FCL Freude

Freude

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