Richtungsableitung in einem Punkt?

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rollinator Auf diesen Beitrag antworten »
Richtungsableitung in einem Punkt?
Hallo,
Ich bin neu hier und hab gleich mal eine Frage zur Lösung einer Aufgabe:
Ich habe folgendes Skalarfeld gegeben:



Es ist die Richtungsableitung im Punkt:


in Richtung von:



zu bilden.

Wie geht man bei einer solchen Aufgabe vor? ... Divergenz, Rotation, Gradient bilden?
bin gerad ohne Plan!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Richtungsableitung in einem Punkt?
Die Definition anwenden:


mfg,
Ché Netzer
rollinator Auf diesen Beitrag antworten »

hmmh was bedeutet diese Defenition denn in Worten, kann mir das gerad nicht so vorstellen?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Den Differentialquotienten im reellen Fall kennst du?


Jetzt substituiert man und erhält:



Die Richtungsableitung definiert man äquivalent.

Zur Erklärung: Mit geht man mit Länge t in Richtung s und berechnet dann die Differenz der Funktionswerte, also den "Höhenunterschied", den man auf dieser Strecke überwunden hat. Das teilt man nun durch die Länge der Strecke, um die mittlere Änderung zu erhalten. Jetzt lässt man t gegen 0 streben, damit man die "punktuelle Steigung" in dieser Richtung erhält.
rollinator Auf diesen Beitrag antworten »

ok ich glaube ich hab die richtige Vorgehensweise um die "Definition" anwenden zu können:

ich lege fest:




und



Wie von dir zuvor erwähnt:


dann haben wir




jetzt setzen wir die obige Festlegung für ein:



Dann müssen wir nur noch nach t ableiten:
abgeleitet nach t ergibt:

(Also innere Ableitung mal äussere Ableitung

wir erinnern uns:

und "rücksubstituieren auch

wobei ja
und erhalten:



Ist das so richtig?
irgendwie habe ich mein Vektor noch nicht untergebracht???
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Das mit g(t) ergibt hier keinen Sinn... Und wer hat denn etwas von einem Gradienten gesagt?

Die Definition/Gleichung reicht vollkommen aus. Setze hier und s ein und rechne den Zähler aus.
 
 
rollinator Auf diesen Beitrag antworten »

Ok.... hmmmh ist die Lösung wirklich so trivial?
Einfach einsetzen... klar das macht Sinn, man sieht's aber nicht, wenn man (ich) etwas schwierigeres erwartet.

Also kommt daraus:

(Im Zähler)




Ist das so richtig! sorry bin jetzt total verwirrt. Was erwarte ich den für ein Ergebnis?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Dein stimmt, aber hinten solltest du aufpassen: Das Minus gezieht sich ja auf das gesamte , außerdem müsste hinten 2*3² stehen, ohne das Minus. Die Umformung kann also auch nicht stimmen.

Und du "erwartest" kein Ergebnis, du rechnest einfach Augenzwinkern
Das ist auch der Sinn der Aufgabe; dass man eine Richtungsableitung über die Definition berechnen kann. Da soll man nicht nachdenken, nichts beweisen, sondern einfach nur mit der Definition/der Anwendung der Definition vertraut werden.

Ach ja, eins könnte man schon erwarten: Im Nenner tauchen keine von t unabhängigen Summanden auf, die kürzen sich raus.
rollinator Auf diesen Beitrag antworten »


Ok hatte einen Fehler beim Übertrag der Formel von Papier in LaTex!

Aber das könnte jetzt schon stimmen?
Also die Richtungsableitung ist jetzt noch von der Vektorlänge t abhängig!

Hmmh ja zum Thema erwarten einer Lösung. Das kannte ich auf jeden Fall noch aus dem Chemieunterricht: Da hat man doch eigentlich auch schon vorher gewusst, was am Ende rauskommen soll. Augenzwinkern
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Woher kommt denn die -2 als Faktor ganz hinten? verwirrt

Und U(x,y,z) würde ich übrigens nicht schreiben.

Das ist dann auch noch keine Richtungsableitung, sondern nur der Zähler des Quotienten, dessen Grenzwert du bestimmen sollst.

Zur Chemie: Ja, man wusste nur, dass man in manchen Fällen möglich weit weg sein wollte. Einmal hat uns unsere Lehrerin auch einen Schrecken eingejagt: Wir wollten während eines Experiments etwas lüften und sie ruft: "Wollt ihr das Fenster aufmachen? Seid ihr wahnsinnig??". Nachdem dann alle dachten, da könnte irgendetwas explodieren, kam dann das "Es ist doch kalt draußen!" Augenzwinkern
Aber mit Richtungsableitungen hat das nicht mehr viel zu tun verwirrt
rollinator Auf diesen Beitrag antworten »


so Fehler Nummer 2 wurde behoben!

ok das heisst ich leite jetzt noch nach t ab?

Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Die erste zeile ist jetzt eigentlich richtig. Nur, dass vorne stehen sollte.
Deine Umformung ist dann aber falsch, daran solltest du nochmal arbeiten.

Und danach musst du noch bestimmen. NICHT nach t ableiten. (Den Nenner davon berechnest du ja gerade)
rollinator Auf diesen Beitrag antworten »

ok hab jetzt folgendes: hat die Faktoren vergessen!!...


jetzt möchte aber laufen lassen?

aber da komme ich dann auf:


und das kann man kürzen zu:


Aber wenn t zu 0 wird Teile ich 26 durch 0.... das ist ganz böse!
Was ist da falsch?
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Bei der Umformung stimmt immer noch etwas nicht. 35t²-16t stimmt, aber die +26 hat da nichts zu suchen.


Ansonsten: Der "Grenzwert" von 1/t für t gegen 0 ist Unendlich, aber das spielt hier keine Rolle, da man eigentlich nicht dazu kommen sollte.
rollinator Auf diesen Beitrag antworten »

Ach scheisse ja ich hatte vergessen
abzuziehen

dann ist der Grenzwert natürlich !!!!!
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Genau Freude
Und -16 ist dann deine Richtungsableitung; damit bist du fertig.
rollinator Auf diesen Beitrag antworten »

Prima, das ging ja flott bloß 4 einhalb Stunden mit Hilfe gebraucht Augenzwinkern

Aber Danke jetzt kann ich den Rest wohl auch lösen!
frank09 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Und -16 ist dann deine Richtungsableitung


Stimmt leider nicht(ganz).

Zitat:
...geht man mit Länge t in Richtung s


Du hast übersehen, dass nicht der Länge t entspricht, weil
Richtig wäre, entweder gleich mit dem normierten Vektor zu rechnen oder das Ergebnis durch zu teilen.

Außerdem ist der Rechenweg, jedesmal den Grenzwert zu bilden, viel zu aufwändig und fehleranfällig.

Zitat:


Ist das so richtig?


Stimmt "im Prinzip", wenn man es so schreibt:


siehe auch: richtungsableitung
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Hm... Ich habe nochmal bei uns im Skript nachgesehen, da haben wir die Richtungsableitung tatsächlich unabhängig von der Länge des Richtungsvektors definiert verwirrt
rollinator Auf diesen Beitrag antworten »

Ok also ist der Weg, den Gradienten zu bilden und dann mit dem Richtungsvektor zu multiplizieren doch der richtige?
Ich bin verwirrt! arggh
Che Netzer Auf diesen Beitrag antworten »

Schon, aber ich wollte über den Grenzwert gehen, damit du die Definition auch verstehst. Wenn du möchtest, kannst du ja jetzt mit dem Gradienten rechnen und das Ergebnis überprüfen.
Dann aber wieder auf die Normierung achten...
Huggy Auf diesen Beitrag antworten »

Anzumerken wäre noch, dass der Weg über den Gradienten voraussetzt, dass die Funktion in dem fraglichen Punkt stetig partiell differenzierbar ist, was hier gegeben ist.
rollinator Auf diesen Beitrag antworten »

Ok hab das jetzt mal von frank09 nachvollzogen... und bin auf's selbe Ergebnis gekommen.

Und das mit dem Normieren ist mir so langsam auch klar... da es ja unendlich viele Vektoren gibt, die in dieselbe Richtung zeigen!

Der ältere Thread hat mir da auch helfen können.
richtungsableitung
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