unendlich-dimensionale Vektorräume

09.04.2012, 15:32

1nstinct

unendlich-dimensionale Vektorräume

Hallo alle zusammen smile

Diesmal hänge ich komplett am Anfang dieser Aufgabe:

Sei K ein Köper, $\begin{eqnarray*} Q\in K \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} h\in K^x \end{eqnarray*}$ . Nun soll ich mithilfe der Spur beweisen, dass es keinen endlich-dimensionalen K-VR V, V=0 und $\begin{eqnarray*} \gamma ,\pi \in End(V) \end{eqnarray*}$ gibt, so dass:

$\begin{eqnarray*} \gamma \oplus \pi -\pi \oplus \gamma =h*id_V \end{eqnarray*}$ gilt.

Wobei $\begin{eqnarray*} \oplus \end{eqnarray*}$ das Verknüpfungszeichen sein soll.

Meine Idee:

Wie gesagt, ich stehe ganz am Anfang.

Annahme: Es gibt einen endlich-dimensionalen K-VR, so dass die Gleichung gilt.

Aber wie kommt jetzt die Spur ins Spiel?

Vielen Dank schonmal smile

09.04.2012, 15:48

tmo

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Du wendest einfach auf beiden Seiten der Gleichungen die Spur an und bemerkst, dass verschiedene Sachen rauskommen.

Essentiell ist dabei aber, dass Körper Charakteristik 0 hat, soll das etwas mit $\begin{eqnarray*} Q \in K \end{eqnarray*}$ (also eher $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subset K \end{eqnarray*}$ ) gemeint sein?

09.04.2012, 15:51

1nstinct

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Zitat:

Essentiell ist dabei aber, dass Körper Charakteristik 0 hat, soll das etwas mit $\begin{eqnarray*} Q \in K \end{eqnarray*}$ (also eher $\begin{eqnarray*} \mathbb Q \subset K \end{eqnarray*}$ ) gemeint sein?

Ja soll es, entschuldigung.

Leider komme ich trotzdem nicht weiter. Wie genau soll ich die Spur anwenden?

09.04.2012, 16:02

ollie3

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hallo instinct,
da kann ich dir weiterhelfen. Was passiert mit der spur, wenn man 2 matrizen
miteinander multipliziert?
gruss ollie3

09.04.2012, 16:08

1nstinct

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Sie ist das Prokut der beiden Spuren der Matrizen summiert mit ein paar anderen werten? ^^

09.04.2012, 16:13

ollie3

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hallo,
nein, wenn man 2 matrizen miteinander multipliziert, hat die ergebnismatrix
die gleiche spur wie das produkt der spuren von den ausgangsmatrizen.
Am besten, du probierst das mal mit 2 kleinen 2 x 2-matrizen aus.
gruss ollie3

09.04.2012, 16:25

1nstinct

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Tut mir leid, wahrscheinlich bin ich einfach nur zu blöd.

Wenn ich die beiden Matrizen $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 4 & 3 \\ 2 & 1 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ miteinander multipliziere, erhalte ich $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 8 & 5 \\ 20 & 13 \\\end{pmatrix} \end{eqnarray*}$ . Die Spur der beiden Ausgangsmatrizen ist doch 4+1=5 und 5*5=25 und nicht 21, was der Spur der Ergebnismatrix entspräche.

09.04.2012, 16:38

ollie3

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hallo instinct,
oh sorry, du hast recht, ich habe das aber wirklich gedacht, und dann hätte das mit dem beweis
auch wunderbar funktioniert, ich wollte darauf hinaus, das die spur, wenn man die beiden abbildungen
subtrahiert, gleich 0 wird, da werde ich die sache nochmal überdenken... verwirrt

und sorry nochmal, aber man muss auf jeden fall das mit der spur ausnutzen...
gruss ollie3

09.04.2012, 16:40

1nstinct

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Genau das war auch mein erster Gedanke. Aber leider funktioniert es nicht unglücklich

Villeich weiß ja noch jemand, wie man vorgehen muss smile

09.04.2012, 16:41

ollie3

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also der tmo weiss es bestimmt... smile

09.04.2012, 16:44

tmo

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Es ist

1. $\begin{eqnarray*} Spur(AB) = Spur(BA) \end{eqnarray*}$

und

2. ist die Spur eine lineare Abbildung.

2. ist trivial und 1. rechnet man einfach mit der Def. von Matrixprodukt und Spur in einer Straight-Forward-Rechnung nach.

Damit kann man die Spur der linken Seite dann direkt angeben.

09.04.2012, 16:53

ollie3

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hallo,
ja dann ist die sache ja doch so, wie ich mit das vorgestellt habe, dann hat die linke seite die
spur 0, und die rechte seite, das mit der id abbildung, da hat man ja nur einsen auf der
hauptdiagonale, und das kann ja dann bei einem körper mit charakteristik nicht 0 werden...
juchu smile

09.04.2012, 17:52

tmo

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Noch ein kleiner Nachtrag an den Threadersteller:

Eigentlich wundert es mich ein bisschen, dass du die Eigenschaft der Spur die Reihenfolge der Matrixmultiplikation zu missachten, nicht kennst.

Denn wenn du diese Aufgabe kriegst, so musst du ja wissen, wie man die Spur eines Endomorphismus überhaupt berechnet.

Das macht man meistens (wenig überraschend) einfach über eine darstellende Matrix. Damit dies jedoch unabhängig von der Wahl der Basis ist, braucht man $\begin{eqnarray*} Spur(T^{-1}AT)=Spur(A) \end{eqnarray*}$ , was eine unmittelbare Folgerung von $\begin{eqnarray*} Spur(AB)=Spur(BA) \end{eqnarray*}$ ist.

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