n-dimensionaler K-Vektorraum und charakteristisches Polynom

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10.04.2012, 13:52	Denise91	Auf diesen Beitrag antworten »
n-dimensionaler K-Vektorraum und charakteristisches Polynom Meine Frage: Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und f $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ Aut kV. Zeigen Sie für die charakteristischen Polynome: $\begin{eqnarray} X_(f^{-1}) \end{eqnarray}$ * det f= $\begin{eqnarray} (-X)^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} X_f \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \frac{1}{n} \end{eqnarray}$ . Zeigen Sie außerdem a1= -detf * Tr $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ Meine Ideen: ich kann nur folgern das detf nicht null sein darf da es sich um -automorphismus handelt, jedoch komme ich keinerlei weiter, weil ich nicht weiß wie ich anfangen soll. Daher bitte ich dringend um eure Hilfe Danke
10.04.2012, 18:38	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Du könntest damit anfangen, dass du sehr viel sauberer aufschreibst, was du beweisen möchtest. Dann könntest du dir über die einzelnen Bestandteile deiner Gleichungen Gedanken machen und die Seiten der Gleichungen solange umformen, bis links und rechts das Gleiche steht. Richtig besehen hast du dann am Ende Beweise vor dir.
11.04.2012, 15:34	Denise91	Auf diesen Beitrag antworten »
Sind X_(f^-1)(X) und X_f(1/X) dasselbe???? kannst du mir einen Beispiel geben wie du anfangen würdest??? Ich hab mir die beiden Seiten der Gleichung einzeln angeguckt, jedoch komme ich überhaupt nicht weiter
11.04.2012, 18:18	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ist $\begin{eqnarray} V/K \end{eqnarray}$ ein n-dimensionaler Vektoraum, $\begin{eqnarray} f:V\to V \end{eqnarray}$ ein Endomorphismus und $\begin{eqnarray} A\in Mat(n,n) \end{eqnarray}$ seine Darstellungsmatrix bezüglich einer Basis von $\begin{eqnarray} V \end{eqnarray}$ , so ist das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray} \chi_f(\lambda)=det(\lambda\cdot id_V-f)=\chi_A(\lambda)=det(\lambda\cdot E_n-A)=\lambda^n -a_1\lambda^{n-1} \pm ... +(-1)^n a_n=\lambda^n-Tr(f)\pm ... +(-1)^n\cdot det (f)=\lambda^n-Tr(A)\pm ... +(-1)^n\cdot det (A) \end{eqnarray}$ . Das kann man je nach Vorkenntnissen als Definition für Spur (det(f)=det(A)) und Determinante (det(f)=det(A)) nehmen oder beweisen, wenn Spur und Determinante anders definiert sind. Was genau willst du ? Mit dem Zeichen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ für das charakteristische Polynom $\begin{eqnarray} \chi\in K[X] \end{eqnarray}$ und gleichzeitig dem Zeichen $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ für die Variable $\begin{eqnarray} \lambda\in K \end{eqnarray}$ kommst du jedenfalls nie auf einen grünen Zweig.
11.04.2012, 18:33	Denise91	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke für deine Antwort mein Problem ist nur, dass ich nicht weiß wie ich die Seiten anders umformen soll, weil du meintest ja ich soll beide Seiten so umformen bis sie am Ende gleich sind, und das irritiert mich, weil ich nicht genau verstehe wie man sie umformen muss. Eigentlich sieht die Aufgabe nicht besonders schwer aus, aber i-wie habe ich eine Blockade bei dieser Aufgabe, obwohl ich seit gestern dran sitze, und das verzweifelt mich noch mehr. Könntest du mir bitte den ersten Schritt zeigen, wie ich anfangen soll, weil ich will diese Aufgabe lösen und auch verstehen. Danke dirr schonmal
11.04.2012, 18:39	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich kann dir nicht weiterhelfen, weil du mir nicht verrätst, was du willst. Bitte schreibe eine sinnvolle Aufgabe auf (mit chi und lambda statt mit X und X). 1:0 für KSC gegen Dynamo Dresden in der 57. Minute Das zeigt uns: "Nichts ist unmöglich."
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11.04.2012, 18:48	Denise91	Auf diesen Beitrag antworten »
ok tut mir leid... Sei V ein n-dimensionaler K-Vektorraum und f $\begin{eqnarray} \in \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} Aut_{K} \end{eqnarray}$ V. Zeigen Sie für die charakteristischen Polynome $\begin{eqnarray} \alpha _{f^{-1} } \end{eqnarray}$ (X)det f= $\begin{eqnarray} (-X)^{n} \end{eqnarray}$ $\begin{eqnarray} \alpha _{f} \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \frac{1}{X} \end{eqnarray}$ ) und folgern Sie $\begin{eqnarray} a_{1} \end{eqnarray}$ = -det f Tr $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$
11.04.2012, 18:55	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Sag ich doch, nichts ist unmöglich, jetzt geht's mit Riesenschritten voran. Wenn du $\begin{eqnarray} \chi \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} \alpha \end{eqnarray}$ und $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ statt $\begin{eqnarray} X \end{eqnarray}$ schreibst, kannst du meine Definition für das charakteristische Polynom eines Automorphismus $\begin{eqnarray} f \end{eqnarray}$ und des inversen Automorphismus $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ in diese Gleichung einsetzen.
11.04.2012, 18:59	Denise91	Auf diesen Beitrag antworten »
Dankeee dir werde morgen meine Ergebnisse hier hin schreiben, mal gucken ob ich sie richtig mache
11.04.2012, 19:08	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Ich freue mich auf morgen, dann schaue ich wieder rein. 2:0 für KSC in der 77. Minute Weiter so mit Mathe und Fußball, dann wird das noch ein unglaublicher Tag.
12.04.2012, 15:39	Denise91	Auf diesen Beitrag antworten »
muss dich leider enttäuschen bin nur so weitergekommen: deine Formel habe ich angewendet in dem ich einmal f und einmal $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ benutzt habe $\begin{eqnarray} \chi_{f} \end{eqnarray}$ ( $\begin{eqnarray} \frac{1}{X} \end{eqnarray}$ )* $\begin{eqnarray} (-X)^{n} \end{eqnarray}$ durch deine Formel, also eingesetzt erhalte ich: ( $\begin{eqnarray} \frac{1}{X}^{n} \end{eqnarray}$ - Tr (f) $\begin{eqnarray} \pm \end{eqnarray}$ ....+ $\begin{eqnarray} (-1)^{n} \end{eqnarray}$ det f) $\begin{eqnarray} (-X)^{n} \end{eqnarray}$ die andere Seite $\begin{eqnarray} \chi_{f^{-1} } \end{eqnarray}$ (X)det f eingesetzt: $\begin{eqnarray} (X^{n}-Tr(f^{-1} )\pm .....+(-1)^{n} det (f^{-1} )) det f \end{eqnarray}$ beide Seiten gleich setzen: ( $\begin{eqnarray} \frac{1}{X}^{n} \end{eqnarray}$ - Tr (f) $\begin{eqnarray} \pm \end{eqnarray}$ ....+ $\begin{eqnarray} (-1)^{n} \end{eqnarray}$ det f)* $\begin{eqnarray} (-X)^{n} \end{eqnarray}$ = $\begin{eqnarray} (X^{n}-Tr(f^{-1} )\pm .....+(-1)^{n} det (f^{-1} )) det f \end{eqnarray}$ leider komme ich nicht mehr weiter, weil ich nicht mehr durchblicke, ich glaube ich habe i-was falsch verstanden Bitte dich um Hilfeeeee....
12.04.2012, 18:46	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Super-Elvis kommt angefliegt ... ... und hier kommen die zielführenden Hinweise, die ich im Laufe des Tages zusammengetragen habe (10 Minuten Recherche, 2 Minuten Rechnen, 18 Minuten aufschreiben = 1/2 Stunde Arbeit). 1.) Ein Polynom hat nicht nur eine Summendarstellung, sondern auch eine Produktdarstellung, wobei die Nullstellen ggf. in einem Zerfällungskörper des Polynoms zu finden sind. $\begin{eqnarray} \chi_f(X)=\sum ...=\prod_{i=1}^n (X-\lambda_i) \end{eqnarray}$ 2.) $\begin{eqnarray} \sum \lambda_i=spur(f), \prod \lambda_i = det f \end{eqnarray}$ ist klar, wenn man Summendarstellung und Produktdarstellung des char.Pol. vergleicht. 3.) Die Nullstellen des charakteristischen Polynoms sind genau die Eigenwerte von f. 4.) Ist $\begin{eqnarray} \lambda \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von f, so ist $\begin{eqnarray} \frac 1 {\lambda} \end{eqnarray}$ ein Eigenwert von $\begin{eqnarray} f^{-1} \end{eqnarray}$ . Beweis: $\begin{eqnarray} Ax=\lambda x \Rightarrow x=(A^{-1}A)x=A^{-1}(Ax)=A^{-1}(\lambda x)=\lambda A^{-1}(x) \Rightarrow A^{-1}(x)=\frac 1 {\lambda} x \end{eqnarray}$ 5.) Berechne die Produktdarstellung von $\begin{eqnarray} \frac {\chi_{f^{-1}}(X)}{\chi_f(\frac 1 X)} \end{eqnarray}$ , und dein Problem ist gelöst.
12.04.2012, 19:06	Denise91	Auf diesen Beitrag antworten »
dann habe ich ja : $\begin{eqnarray} \frac{\prod_{i=1}^n(X-\frac{1}{\lambda_i} )}{\prod_{i=1}^n (\frac{1}{X} -\lambda_i)} \end{eqnarray}$ daraus folgt: $\begin{eqnarray} \frac{\prod_{i=1}^n(X)-det f }{\prod_{i=1}^n (\frac{1}{X}) -\frac{1}{det f} } \end{eqnarray}$ ist das soweit richtiggg????? ich bin voll verzweifelttt
12.04.2012, 19:10	Denise91	Auf diesen Beitrag antworten »
ich meinte beim letzten Schritt: $\begin{eqnarray} \frac{\prod_{i=1}^n(X)-\frac{1}{det f} }{\prod_{i=1}^n (\frac{1}{X}) -det f } \end{eqnarray}$
12.04.2012, 19:37	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Nicht verzweifeln, bitte, ich bin ja noch da. Der Anfang war schon ganz gut, und jetzt wird's kinderleicht. Ganz einfach nur Bruchrechnen, oben und unten jeweils Produkt aus Brüchen, ganz primitiv Produkt aus Doppelbrüchen daraus machen und Kürzen (siehe Grundrechenarten / Schulmathematik).
12.04.2012, 19:43	Denise91	Auf diesen Beitrag antworten »
tut mir leid, ich weiß ich nerve aber wo habe ich denn PRodukt aus Brüchen, die ich dann in Doppelbrüche umwandeln soll... Ich verstehe das nicht ganz $\begin{eqnarray} \frac{\prod_{i=1}^n(X)-\frac{1}{det f} }{\prod_{i=1}^n (\frac{1}{X}) -det f } \end{eqnarray}$
12.04.2012, 19:56	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
Grundrechenarten. Division von Brüchen: $\begin{eqnarray} \frac {\chi_{f^{-1}}(X)}{\chi_f(\frac 1 X)}=\prod_{i=1}^n \frac {X-\frac 1 {\lambda_i}}{\frac 1 X-\lambda_i}=\prod_{i=1}^n \frac {\frac {\lambda_i X-1}{\lambda_i}}{\frac {1-\lambda_i X}{X}}=(-1)^n\frac {X^n}{\prod \lambda_i} \end{eqnarray}$
12.04.2012, 20:02	Denise91	Auf diesen Beitrag antworten »
Du bist meine Rettunggggggggggggg dankeeeeee
12.04.2012, 20:03	Elvis	Auf diesen Beitrag antworten »
gerne. und jetzt noch über kreuz multiplizieren, dann ist der Beweis perfekt. rechts unten steht det(f) . Q.E.D.

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