Die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln mit 2, 3, 4, 5, 6 und 7 Würfeln

10.04.2012, 23:16

Räuberpistole

Die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln mit 2, 3, 4, 5, 6 und 7 Würfeln

Meine Frage:
Hallo. Ich arbeite gerade mit Freunden an einem Spiel und dafür bräuchten wir mal die Vorkommenswahrscheinlichkeit der Augenzahl mit verschiedener Anzahl an Würfeln... also bei 2 würfeln, ist die 7 ja die häufigste zahl die möglich ist und mit google habe ich herausbekommen, dass es bei 3 würfeln die 9, 10, 11 und 12 zu gleichen teilen ist. aber wie ist das mit 4 würfeln und wie mit 5, 6 und 7 würfeln? ich will jetzt nicht jedes mal alle möglichkeiten aufschreiben, was ja dann echt in die zeit geht und ich erinnere mich auch nicht mehr wie man sowas rechnet.

Meine Ideen:
irgendwas mit fakultät?

11.04.2012, 00:39

Mystic

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RE: Die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln mit 2, 3, 4, 5, 6 und 7 Würfeln
Naja, für 4 Würfeln musst einfach die Potenz

$\begin{eqnarray*} (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^4 \end{eqnarray*}$

echt ausmultiplzieren... Schau dir dann die Hochzahlen der Monome mit den größten Koeffizienten an...

11.04.2012, 01:20

Räuberpistole

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Hä?
sorry aber das versteh ich nicht so wirklich ^^

Hammer

11.04.2012, 01:36

frank09

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RE: Die Wahrscheinlichkeit beim Würfeln mit 2, 3, 4, 5, 6 und 7 Würfeln
Was ihr da bei google gefunden habt, stimmt nicht!

Die am häufigsten vorkommende Summe ist immer (n=Anzahl der Würfel)

E = 3,5n falls n gerade, z.B. 2 Würfel =7, 4 Würfel =14, 6 Würfel=21 usw.
falls n ungerade:
Es sind zwei Werte E1 =3,5n-0,5 und E2=3,5n+0,5

z.B. 3 Würfel =10 und 11, 5 Würfel =17 und 18, 7 Würfel=24 und 25

Reicht dir das, oder brauchst du die WKs für alle Summen?

Ab 4 Würfeln kannst du im mittleren Bereich durch die Normalverteilung schätzen
Sei S die Summe deren WK du wissen willst, n Anzahl der Würfel, $\begin{eqnarray*} \sigma \end{eqnarray*}$ =1,708 Standardabweichung

$\begin{eqnarray*} P\approx \Phi(\frac{S+0,5-3,5n}{\sqrt{n}\sigma})-\Phi(\frac{S-0,5-3,5n}{\sqrt{n}\sigma}) \end{eqnarray*}$

11.04.2012, 08:42

Mystic

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Zitat:

Original von Räuberpistole
Hä?
sorry aber das versteh ich nicht so wirklich ^^

Hammer

Aha du hältst dich da offenbar an das Wort "Wenn der Prophet nicht zum Berg kommt, kommt der Berg zum Propheten"... unglücklich

Ok, hier ist er also, der Berg:

$\begin{eqnarray*} (x+x^2+x^3+x^4+x^5+x^6)^4= \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} =x^{24} + 4x^{23} + 10x^{22} + 20x^{21} + 35x^{20} + 56x^{19} + 80x^{18} + 104x^{17} + 125x^{16} + 140x^{15} + 146x^{14} + 140x^{13} + 125x^{12} + 104x^{11} + 80x^{10} + 56x^9 + 35x^8 + 20x^7 + 10x^6 + 4x^5 + x^4 \end{eqnarray*}$

Bei welcher Potenz von x siehst du den größten Koeffizienten? verwirrt

Edit: Im übrigen hat frank09 natürlich recht, mit dem was er sagt...

11.04.2012, 11:49

Räuberpistole

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aber wieso soll das falsch sein mit 3 würfeln... das im internet gefundene stand da so:

3 111
4 112
5 113 122
6 114 123 222
7 115 124 133 223
8 116 125 134 224 233
9 126 135 144 225 234 333
10 136 145 226 235 244 334
11 146 155 236 245 335 344
12 156 246 255 336 345 444
13 166 256 346 355 445
14 266 356 446 455
15 366 446 555
16 466 556
17 566
18 666

quelle: casinospiegel.net/wahrscheinlichkeiten-bei-drei-wuerfeln.html

und für mich macht das so auch sinn

11.04.2012, 13:26

Metallicum

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Das was du da hast ist einfach nur halb gedacht...

Als Beispiel nur mal 4:
4 kann sein: 112, 121, 211 also bereits 3 Möglichkeiten.

Korrekt ist also:
1: 0
2: 0
3: 1
4: 3
5: 6
6: 10
7: 15
8: 21
9: 25
10: 27
11: 27
12: 25
13: 21
14: 15
15: 10
16: 6
17: 3
18: 1

Insgesamt sind es 6³ = 216 Möglichkeiten...

Einfach auszurechnen mit:
$\begin{eqnarray*} <br /> m = \sum\limits_{k=0}^{\lfloor\frac{s-n}{6}\rfloor} (-1)^k * \begin{pmatrix} n \\ k \end{pmatrix} * \begin{pmatrix} s-1-6k \\ n-1 \end{pmatrix}<br /> \end{eqnarray*}$
wobei:
m = Wahrscheinlichkeit einer Summe
n: Anzahl der Würfel
s: Summe der Augenzahl

Viel Spaß beim Rechnen smile

11.04.2012, 13:33

Räuberpistole

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Gut, das heißt ja dann im grunde, dass ich bei vier würfeln einfach nur die wahrscheinlichkeit von zwei würfeln mal 2 nehmen muss also 14 und bei sechs würfeln mal 3 also 21.... denn es ist ja im grunde so als wenn ich 2 bzw. dreimal mit zwei würfeln würfle und da hat ja dann jeder wurf die 7 als wahrscheinlichste augenzahl ...
und die ungeraden würfelwahrscheinlichkeiten dazwischen (also drei, fünf und sieben würfel) sind dann jeweils der mittelwert zwischen den dem wurf mit einem würfel mehr und einem weniger? kann man das so pauschal sagen?

11.04.2012, 14:26

frank09

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Zitat:

sind dann jeweils der mittelwert zwischen den dem wurf mit einem würfel mehr und einem weniger? kann man das so pauschal sagen?

Was den theoretisch häufigsten Wert (=Erwartungswert) angeht, ja.
Liegt dieser zwischen zwei ganzen Zahlen, hast du zwei Summen, die am wahrscheinlichsten sind.

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