Verhalten im Unendlichen komplett erklärt wenn man wirklich gar keine Ahnung hat

11.04.2012, 14:26

misato89

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Verhalten im Unendlichen komplett erklärt wenn man wirklich gar keine Ahnung hat

Meine Frage:
Stehe gerade kurz vorm Abi und habe leider aufgrund von Krankheit alles verpasst zum Thema vehalten im Unendlichen, ich weiss also nicht was t ist was lim ist und was überhaupt zu tun ist, leider stehen in meinen Büchern und im Netz immer(oder immer wenn ich es als Suchergebnis finde) nur Erklärungen für Leute, die das schon mal konnten und jetzt wiederholen. Daher wäre meine dringende Bitte: ein ganz, ganz ausführliche Erklärung und eventuell sogar Hinweise was es für Spezialfälle gibt.
Viel verlangt, ich weiss :/
Beispiele wären z.B. :
$\begin{eqnarray*} f(x)=(x³+2)/x \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} f(x)=e^{x} * (e^{x} -1) \end{eqnarray*}$

wenn ir aber sowas schon irgendwo fertig habt, kann esauch gern ne andere Funktion sein...

Meine Ideen:
Auflösen nach-irgendwas und das Ergebnis sagt dann aus ob es eine Asymthote gibt und ob es negativ oder positiv ist?!

11.04.2012, 15:29

The_Tower

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Hallo,

nein, nach etwas auflösen musst du nicht. Wenn man das Verhalten einer Funktion im Unendlichen betrachten möchte, muss man sich vorstellen was mit der Funktion geschieht, wenn man +unendlich bzw. -unendlich für x einsetzt.

Ich greife mal das erste von deinen zwei Beispielen auf und lasse x gegen +unendlich laufen: da steht im Zähler x^3+2. Also musst du dir als erstes überlegen was unendlich^3+2 ergibt...

Versuch das mal weiter zuführen.

11.04.2012, 15:46

misato89

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Danke für die Antwort!

Hm-einen positiven Wert? da zb. 10000^3+2 positiv wäre? Und was geschieht dann mit dem "durch x bzw. 10000"? das mildert den Anstieg dann ?
Und wie schreibt man das formell richtig auf?
Tschuldigung, ich bin wirklich kein Mathetalent...

11.04.2012, 16:06

The_Tower

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Notiert wird das so:
$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to \infty } (x^3+2)/x \end{eqnarray*}$

okay, wir haben es jetzt mit 10000 versucht. Aber wir könnten ja auch noch viel größere Zahlen für x einsetzten. Um das Verhalten im Unendlichen betrachten zu können, müssen wir auch tatsächlich unendlich einsetzen. Das ist dann natürlich nichts was man mit dem Taschenrechner ausrechnen könnte, sondern bloß eine Vorstellung.

Wenn man Unendlich mit 3 potenziert, so ist das immer noch unendlich. +2, ändert daran auch nichts. Hoffe soweit ist klar, denn jetzt kommt eine kleine Schwierigkeit:

wir haben gesagt, dass x unendlich groß wird. Im Zähler haben wir dafür unendlich herausbekommen. Nun kommt der Nenner. Dort steht einfach nur x und x wird unendlich groß --> also unendlich geteilt durch unendlich...

Soweit schon mal klar?

11.04.2012, 16:15

misato89

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Danke das du dir die Zeit nimmst smile

smile

okay ich glaube fast alles bis hier verstanden zu haben. Nur noch eine Nachfrage: lim steht für was genau?
Unendlich geteilt durch Unendlich ergibt dann ja sicher unendlich?!
Also kann + und - immer nur, wenn undendlich positiv ist, durch ein mal minus irgendwas negativ werden..?

11.04.2012, 16:23

The_Tower

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Ja, keine Problem smile

smile

Richtig, unendlich durch unendlich ist wiederum unendlich!! Bei minus unendlich geht das genauso, nur das man auf die Vorzeichen acht geben muss.

Noch nebenher: Sollte es mal in einer Aufgabe heißen x soll gegen irgendeine Zahl laufen, z.B. 0, dann musst du tatsächlich nur diese Zahl für x einsetzen uns ausrechen.

Limes bedeutet schlicht und einfach "Grenzwert". Und das ist es ja was man bestimmen möchte: welchen Wert kann die Funktion maximal annehmen.

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11.04.2012, 16:31

Iorek

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Zitat:

Original von The_Tower
Richtig, unendlich durch unendlich ist wiederum unendlich!! Bei minus unendlich geht das genauso, nur das man auf die Vorzeichen acht geben muss.

Noch nebenher: Sollte es mal in einer Aufgabe heißen x soll gegen irgendeine Zahl laufen, z.B. 0, dann musst du tatsächlich nur diese Zahl für x einsetzen uns ausrechen.

Definitiv NEIN! Bitte unter allen Umständen davon absehen, mit "unendlich" zu rechnen bzw. es auch nur zu versuchen. $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ ist keine reelle Zahl, sämtliche Rechnungen damit sind in der Regel nicht möglich und zu jeder potentiellen Rechenregel wird man Gegenbeispiele finden (so hätte man etwa bei der Funktion $\begin{eqnarray*} f(x)=\frac {x-1}{x^2} \end{eqnarray*}$ nach deiner Regel auch $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac {x-1}{x^2}=\infty \end{eqnarray*}$ , da oben und unten jeweils $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ steht; dies ist aber falsch, tatsächlich ist $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac {x-1}{x^2}=0 \end{eqnarray*}$ ).

Auch dass man bei $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0} \end{eqnarray*}$ nur den Wert für $\begin{eqnarray*} x \end{eqnarray*}$ einsetzen muss ist falsch, $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0} \frac 1x \end{eqnarray*}$ liefert damit etwa $\begin{eqnarray*} \frac 10 \end{eqnarray*}$ , was überhaupt nicht definiert ist. (Tatsächlich existiert dieser Grenzwert überhaupt nicht, das liegt aber an noch anderen Faktoren.)

@misato89,
Wenn du von diesem Thema wirklich überhaupt nichts mitbekommen hast, würde ich dir ein oder zwei Stunden Nachhilfe empfehlen. Der Grenzwertbegriff ist elementar für die Analysis und über eine Forenplattform in seiner Gänze nur schwer zu vermitteln.

11.04.2012, 16:44

The_Tower

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Hallo Iorek,

danke für die kurze berichtigung. Allerdings kann man dein Beispiel $\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x^{2} } \end{eqnarray*}$ vor dem Einsetzen von unendlich kürzen, so dass da (1/x)-(1/x^2) steht und dann wird das natürlich 0. Hätte mich vielleicht etwas genauer ausdrücken müssen.
Bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0} 1/x \end{eqnarray*}$ muss ich allerdings widersprechen. Meines erachtens ist dort der Grenzwert unendlich.

11.04.2012, 17:25

misato89

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Leider hab ich weder Zeit noch Geld um nochmal Nachhilfe zu nehmen (Arbeit und 6 Abiprüfungen verhindern das)
Ansonsten schaff ich jetzt auch schon manches zu rechnen -und das sogar richtig- im Analysisbereich.
Muss ich auf Deutsch gesagt einfach nur logisch überlegen wohin die Tendenz geht im Unendlichen und dass dann aufschreiben?

Gibt es einen mathematischen Beweis oder muss ich dann in Textform meine Überlegung erklären?

11.04.2012, 17:36

Iorek

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Zitat:

Original von The_Tower
Hallo Iorek,

danke für die kurze berichtigung. Allerdings kann man dein Beispiel $\begin{eqnarray*} \frac{x-1}{x^{2} } \end{eqnarray*}$ vor dem Einsetzen von unendlich kürzen

Noch einmal: $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ kann man nicht einsetzen und auch nicht damit rechnen. Du hast zwar mit dem Kürzen Recht, allerdings hättest du das auch schon bei der Funktion von misato89 erwähnen sollen. Trotzdem ist deine "Regel" Unfug und nicht zu gebrauchen, wie sieht es etwa mit $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac {x}{e^x} \end{eqnarray*}$ aus? Zähler und Nenner streben jeweils gegen $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ , kürzen lässt sich nichts, was passiert? Alternativ könnte man den Ausdruck auch umdrehen und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac {e^x}x \end{eqnarray*}$ betrachten. Und was passiert bei $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to\infty} \frac {\sin(x)}x \end{eqnarray*}$ ? Was ist bei dir $\begin{eqnarray*} \sin(\infty) \end{eqnarray*}$ ?

Auch $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0}\frac 1x=\infty \end{eqnarray*}$ ist falsch, dieser Grenzwert existiert nicht! Würde er existieren, müssten der links- und der rechtsseitige Grenzwert übereinstimmen, es müsste also $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\uparrow 0} \frac 1x=\lim\limits_{x\downarrow 0} \frac 1x \end{eqnarray*}$ sein. Aber: $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\uparrow} \frac 1x = -\infty \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\downarrow 0}\frac 1x=+\infty \end{eqnarray*}$ , also existiert der Grenzwert $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to 0}\frac 1x \end{eqnarray*}$ nicht.

@misato89,
sollte es nur um dieses Thema gehen, sollten zwei oder drei Einheiten reichen. Ansonsten könntest du dich mal in den Grenzwertbegriff bei Folgen einlesen. Die dort ausgeführten Ergebnisse und Regeln lassen sich zwar nicht immer 1:1 übertragen, geben dir aber vielleicht ein erstes Gefühl. Die Grenzwertsätze sind elementar wichtig und werden häufig verwendet, außerdem lassen sie sich komplett auf Funktionen übertragen (ersetze $\begin{eqnarray*} a_n \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} b_n \end{eqnarray*}$ einfach durch $\begin{eqnarray*} f(x) \end{eqnarray*}$ bzw. $\begin{eqnarray*} g(x) \end{eqnarray*}$ ). Auch einige "Standardgrenzwerte" solltest du kennen (e-Funktion, Logarithmusfunktion). Generell gilt (und man kann es nicht oft genug sagen): $\begin{eqnarray*} \infty \end{eqnarray*}$ einzusetzen und damit zu rechnen ist falsch und führt zu falschen Ergebnissen.

11.04.2012, 17:51

misato89

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Ich tendiere gerade eher dazu, wenn dies selbst unter Könnern noch Verwirrung stiftet, diese 2-4 Punkte sausen zu lassen... Wie gesagt: das was mir gerade die größten Probleme bereitet ist bei den Abiaufgaben(aus dem berühmten Klettheft) die Einstiegsfrage, zb. von 25 Gesammtpunkten macht die Unendlichfrage gerade mal ca. 1-2 Punkte aus.
Schade, ich dachte dies wäre übers Internet gut erklärbar. Ich werde mir aber die Folgen anschauen-vielleicht kommt ja noch der Durchbruch smile

smile

!
Trotzdem: Danke für die Mühe die ihr euch gegeben habt smile

smile

Bitte die rage nicht schliessen-falls ich noch was nachfragen muss.

11.04.2012, 17:54

FCL

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Bevor du die 2-3 Punkte komplett "sausen lässt" würde ich dir noch empfehlen, es einfach mal mit etwas Intuition und so, wie The_Tower erklärt hat, versuchen.
Dann bekommst du zumindest vielleicht noch eine paar Punkte Freude

Freude

11.04.2012, 17:57

Iorek

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@FCL, so wie The_Tower es erklärt hat, hat das keinen Wert, weil es falsch ist! Das wäre nur vertane Zeit, die man anderweitig besser nutzen kann.

@misato89,
es stiftet unter "Könnern" keine Verwirrung, es braucht lediglich ein klein wenig Zeit bis man dahinter gestiegen ist. Wenn man diesen Punkt einmal überschritten hat und die ein oder andere (richtige) Regel, etwa die angesprochenen Grenzwertsätze, kennt, kann man die meisten Grenzwerte in der Schule sehr schnell berechnen.

11.04.2012, 17:59

FCL

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natürlich sollte er das nur machen, wenn er Zeit übrig hat... schon klar! Allerdings kommt man oft mit etwas gesundem Mathematiker-Verstand schon ziemlich weit - vielleicht bringt's ja ein paar Punkte... smile

smile

11.04.2012, 21:14

The_Tower

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Sorry, wenn es nicht so richtig war, wie ich es erklärt habe. So hatte man es mir mal beigebracht und bei nicht wenigen Aufgaben bekommt man auch das Richtige raus...
Habe es auf jeden Fall nach bestem Wissen und Gewissen versucht zu erklären.
@misato89: wünsche dir viel Glück bei der Prüfung smile

smile

12.04.2012, 08:41

klarsoweit

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Zitat:

Original von FCL
Allerdings kommt man oft mit etwas gesundem Mathematiker-Verstand schon ziemlich weit

Der gesunde Mathematiker-Verstand läßt - wie Iorek schon ausführte - die Finger vom Rechnen mit "unendlich". Es gibt genügend Beispiele, wo das nicht hinhaut, wie auch dieses:

$\begin{eqnarray*} \lim_{n \to \infty} (1 + \frac 1 n)^n = (1 + \frac{1}{\infty})^{\infty} = (1 + 0)^{\infty} = 1^{\infty} = 1 \end{eqnarray*}$

Der gesunde Verstand sagt einem auch, daß es AKW-Unfälle gar nicht geben dürfte. Was ist also "gesund"?

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