Bijektive Abbildung gesucht

12.04.2012, 10:10

b0b0_c

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Bijektive Abbildung gesucht

Hallo Leute,

ich suche eine bijektive Abbildung, die von [0,1] auf [0,1[ abbildet.

Hab schon so Späße versucht wie $\begin{eqnarray*} \frac{(x-1)^{2} }{x-1} +1 \end{eqnarray*}$ , aber dadurch verkleinere ich ja eigentlich nur den Definitionsbereich. Ich suche irgendeine Funktion, die sich an 1 annähert, diese aber nicht erreicht, und das ganze nicht im Unendlichen...

knifflige Sache

12.04.2012, 13:10

ollie3

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RE: Bijektive Abbildung gesucht
hallo,
habe auch darüber nachgegrübelt. Kann es sein, das es eine solche abbildung
aus theoretischen gründen garnicht gibt? Wenn ja, dann müsste man das
natürlich auch begründen/beweisen.
gruss ollie3

12.04.2012, 13:47

Roper

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Also ich bin mir ziemlich sicher, dass eine solche Abbildung existieren muss. Es handelt sich ja um zwei gleichwertig unendliche Mengen, die sich nur in einer endlichen Anzahl von Elementen unterscheiden.

Eine Möglichkeit wäre: Bilde die Null und alle irrationalen Zahlen auf sich selber ab, verschiebe die rationalen Zahlen ein wenig und überlege dir was du mit der 1 machst. So (oder so ähnlich) sollte es klappen.

12.04.2012, 13:53

Helferlein

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Wie Roper schon richtig sagte, gibt es eine solche Funktion, da die Mengen gleichmächtig sind. Da der Bildraum aber nach oben offen ist, scheidet eine stetige Funktion als Lösung aus.

12.04.2012, 14:05

b0b0_c

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Und in welche Richtung muss ich suchen, dass die Funktion nicht stetig sein kann hab ich auch selber schon rausgefunden...

12.04.2012, 14:13

Helferlein

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Roper hat doch schon eine Idee genannt.

Eine andere Möglichkeit wäre sich ein Bild der eins auszusuchen und die restlichen Elemente des Intervalls so abzubilden, dass sie das Bild der eins nicht treffen.

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12.04.2012, 15:19

b0b0_c

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Ich hab ne Idee:

$\begin{eqnarray*} x=1\Rightarrow y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=0\Rightarrow y=0.5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = 0.5+0.5x\cdot (-1)^{\frac{1}{x} } sonst \end{eqnarray*}$

wenn ich mir so überleg, wie die Fkt so von sich geht müsste das eig alles abdecken...

Nur jetzt ist die Frage, ist die injektiv und surjektiv??

Kann ma schnell einer sagen, ob er das aufn ersten Blick widerlegen (oder sogar beweisen) kann?

12.04.2012, 15:45

Totto-GE

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RE: Bijektive Abbildung gesucht
Ich denke an ff. Widerlegung ...

$\begin{eqnarray*} [0,1]~\overset{f}{\longrightarrow} ~[0,1)\cup\{1\}~ \overset{f}{\longrightarrow} ~ [0,1) \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f^2 \end{eqnarray*}$ ist wohldef.+ bij., weil $\begin{eqnarray*} f(1) \end{eqnarray*}$ exist.
es gibt also $\begin{eqnarray*} f^2~(1) \in [0,1) \end{eqnarray*}$ dh. $\begin{eqnarray*} f^2~(1) \not= 1 \end{eqnarray*}$
zeige $\begin{eqnarray*} f(1)=f^2 (1) \Rightarrow 1= f(1) \end{eqnarray*}$

12.04.2012, 15:59

Roper

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Zitat:

Original von b0b0_c
Ich hab ne Idee:

$\begin{eqnarray*} x=1\Rightarrow y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} x=0\Rightarrow y=0.5 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y = 0.5+0.5x\cdot (-1)^{\frac{1}{x} } sonst \end{eqnarray*}$

wenn ich mir so überleg, wie die Fkt so von sich geht müsste das eig alles abdecken...

Nur jetzt ist die Frage, ist die injektiv und surjektiv??

Kann ma schnell einer sagen, ob er das aufn ersten Blick widerlegen (oder sogar beweisen) kann?

Wieso machst du es dir so schwer und machst dir keine Gedanken über den Ansatz den ich dir oben gegeben habe? Das ist bereits die Lösung (nur halt in Prosa geschrieben).

12.04.2012, 16:11

Helferlein

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@b0b0_c
Wenn Du Dir die Funktion einmal bei Wolfram Alpha anschaust, wirst Du sehen, dass die weder injektiv, noch surjektiv auf [0,1] ist.

Es geht aber viel einfacher:
Setze z.B. $\begin{eqnarray*} f(1)=\frac 12 \end{eqnarray*}$ und betrachte dann f(x) mit $\begin{eqnarray*} x=\frac 1{2^k} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} x\neq \frac 1{2^k} \end{eqnarray*}$

Da Roper wieder da ist, bin ich dann auch wieder raus.

12.04.2012, 16:15

ollie3

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hallo totto-ge,
wow, ich glaube dein widerspruchsbeweis ist richtig, und ich habe doch von
anfang an recht gehabt, so eine abbildung gibt es nicht. Vielen dank, toto Freude

Freude

gruss ollie3

12.04.2012, 16:21

Roper

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Es gibt eine solche Abbildung böse

böse

12.04.2012, 16:57

b0b0_c

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Ja das mit meiner Funktion seh ich ein...

Und ich bin mir auch sicher, dass es die Funktion gibt, sagt auch mein Prof...

Aber was ist mit dem Ansatz von Helferlein gemeint?

Sollen die k da aus den natürlichen Zahlen sein?

Dann hab ich ne Idee:

$\begin{eqnarray*} f(1) = 0.5 \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=\frac{1}{2^{2k} } \end{eqnarray*}$ für $\begin{eqnarray*} x=\frac{1}{2^{k} };k\in \mathbb N \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f(x)=x \end{eqnarray*}$ in allen restlichen Fällen

In Worten bilde ich also 1 auf 0.5 ab, 0.5 auf 0.25, 0.25 auf 0.125 und so weiter...

12.04.2012, 17:16

Helferlein

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Die Idee ist genau richtig, die Darstellung der Funktion aber nicht.
Beispielsweise ist $\begin{eqnarray*} f\left(\frac 14\right)=f\left(\frac 1{2^2}\right)=\frac 1{2^4}=\frac1{16}\neq 0,125 \end{eqnarray*}$

12.04.2012, 17:22

b0b0_c

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$\begin{eqnarray*} f(\frac{1}{k} )=\frac{1}{2k} \end{eqnarray*}$

so wäre es richtig, oder

Edit: Dann müsste ich auch netmal den Fall mit der 1 Einzeln schreiben

12.04.2012, 17:29

Helferlein

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Genau

Freude

Wobei natürlich der Zusatz "für $\begin{eqnarray*} x=\frac 1{2^k} \end{eqnarray*}$ " wichtig ist, was Du aber vermutlich nur aus Zeitgründen weggelassen hast (Oben steht es ja richtig).

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