Zweite Ableitung Numerisch Approximieren

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eey Auf diesen Beitrag antworten »
Zweite Ableitung Numerisch Approximieren
Hallo zusammen,

ich habe ein Problem, bei dem ich nicht weiter komme. Und zwar würde ich gerne die zweite Ableitung einer Funktion numerisch approximieren, aber alles was ich bis jetzt versucht habe funktioniert nicht so wie ich mir das vorstelle.

Ich habe mir auf Wikipedia angeschaut wie man vorgeht um die erste partielle Ableitung zu Approximieren, und das geht ja per Taylor Entwicklung so:



Wenn man dann und setzt und anschließend etwa nach fx auflöst, erhält man ja den Vorwärtsdifferenzenquotienten. Soweit so gut, das klappt auch ziemlich genau bei mir.

Jetzt wollte ich das gleiche Prinzip verwenden um die zweite Ableitung zu approximieren. Dazu verwende ich wieder die Taylor-Reihen Darstellung:



Das "..." deutet an dass hier eigentlich noch die anderen partiellen zweiten Ableitungen kommen, wenn ich aber wieder und wähle, fallen die ja raus.

Wenn ich dass dann nach fxx auflöse müsste ich ja eine Formel für meine zweite partielle Ableitung bekommen, aber das Ergebnis stimmt leider überhaupt nicht.... Woran könnte das liegen?

Schöne Grüße,
eey
Ehos Auf diesen Beitrag antworten »

Du kannst bei deiner Funktion f(x,y) nicht von "der" 1.Ableitung bzw. 2.Ableitung sprechen, denn es gibt deren unendlich viele. Stelle dir z.B. ein "heißes Blech" mit der Temperaturverteilung f(x,y) vor. Ein Käfer, der am Punkt (x,y)=(a,b) loskrabbelt, "sieht" in jede Richtung eine andere 1. bzw. 2.Ableitung. Die Taylorentwicklung der Temperatur f(x,y) an der Stelle (x,y)=(a,b) lautet nämlich



Dabei ist die Richtung, in die der Käfer krabbelt und sowie sind die ersten bzw. zweiten partiellen Ableitungen. Um die Ableitung in eine bestimmte Richtung zu bekommen, drücke den Richtungseinheitsvektor am besten in Polarkoordinaten aus, also



Dabei gibt der Winkel die Richtung an. Setze dies in die obige Taylorentwicklung ein. Dann ist der 2.Summand (also die quadratische Form ohne den Faktor 1/2) der gesuchte Ausdruck für die 2.Ableitung in eine beliebige Richtung .



Wenn du die Funktion f(x,y) nur numerisch gegeben hast (also als Zahlenmatrix), dann musst du daraus die 3 partiellen Ableitungen numerisch bestimmen, so dass du mit letzten Formel die 2.Ableitungen in alle Richtungen angeben kannst.
eey Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, das sieht gut aus, vielen Dank für die Antwort. Ich werd das gleich mal umsetzen! Freude
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