Kurvendiskussion

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djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »
Kurvendiskussion
Servus.

Ich habe einmal die Funktion a) cos ( x / x+1 )
Man soll nun die Nullstellen und Extremalstellen berechnen.
Wie bestimmt man denn diese Stellen bei so einer verschachtelten Funktion?

Auch sollen Asymptoten für x->oo und -oo angegeben werden. Was muss man da machen? waagrechte Asymptoten berechnet man doch eig über Polynomdivison oder? Aber wie macht man es hier?

Dann noch die Funktion b)

Für Nullstellen und Extremstellen muss man ja lediglich den Zähler, also sin(4x) berücksichtigen, oder? Nullstellen von sinx liegen ja bei k*pi. Für sin(4x) wären es dann (k*pi)/4?
Definitions und Wertebereich sollen ebenfalls angegeben werden. Die Funktion ist doch für alle x außer x = -0,5 definiert oder? Gibt man das dann so an: ? Wie gibt man den Wertebereich an?

Dann noch das Verhalten für x=oo und -oo.
sin(4x) oszilliert doch für +/- oo. Wie gibt man so ein Verhalten mathematisch an?

Weitere Funktion: c) ln cosx

Definiert für alle x außer den Nullstellen von cosx, denn dort ist y=0 und somit der ln nicht definiert. Also sind bei pi/2 + 2*k*pi (NS von cosx) überall senkrechte Asymptoten? DAnn ist die Frage nach Symmetrie. Cosx ist ja y-Achsensymmetrisch, somit auch die Funktion?

Bei der Funktion d) sinx/sinhx entsprechen die Nullstellen ja auch denen des sinx. Wolframalpha zeigt dass die Funktion für x-oo und -oo gegen Null geht. Wieso? für unendlich oszilliert der sinx doch. Sinh(0) ist doch 0, dann müsste ja bei x=0 eine senkr. Asymptote sein, aber wolframlpha zeigt hier für y den Wert 1 an.


Mit der Funktion e) arctan(1+x²) komm ich gar nicht zurecht. Nullstellen? arctanx hat bei x=o eine Nullstelle. Dem Klammerausdruck kann man ja nicht auf Null bringen, also keine NS? Verhalten für x->oo und -oo? Woher weiß ich wie der arctan sich gegen unendlich verhält? Muss ich das auswendig wissen, bei wolframalpha geht er gegen den Wert 1,57.
Es wird auch nach Asymptoten gefragt. Wäre y=1,57 dann eine Asymptote?

Man soll zusätzlich den größmöglichen Bereich nennen in dem Die Fkt streng monoton fällt und für dieses Bereich die Umnkehrfunktion angeben. Wie geht man da vor?

So das wärs erstmal. Ist bissle viel, aber man kann ja schrittweise vorgehen Augenzwinkern

Gruß
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion
Zitat:
Original von djguendalf
Ist bissle viel, aber man kann ja schrittweise vorgehen

Ist wirklich ein bisschen viel. Vielleicht teilst du das zukünftig in mehr als einen Thread auf, dann bleibt nicht alles an einem Helfer hängen. Und so lange Threads mit so vielen Fragen sind auch etwas abschreckend. Augenzwinkern

Um die Übersichtlichkeit zu wahren, gehe ich auf jeden Fall schrittweise vor.

Also zum ersten: Bekannt sind die Nullstellen des cos. Das bedeutet also letztlich, dass



sein muss. Das kann man noch nach x auflösen und fertig. Man kann sich leicht überlegen, dass diese Nullstellen alle in der Nähe von x=-1 zu finden sein werden (wenn man die Funktion zeichnet, sieht man die auch gar nicht alle, weil die um -1 sehr eng aneinander liegen).



Analog geht's bei der Ableitung. Auch die Nullstellen des sin kennst du ja.

Bei den Asymptoten überleg dir mal, wie sich x/(x+1) im unendlichen verhält. Wenn der Grenzwert davon a ist, dann ist cos(a) deine Asymptote. Überleg auch noch, was bei x=-1 los ist.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Gegen unendlich geht x/x+1 doch gegen 1 bzw -1.
Bei x=-1 würde man ja durch 0 teilen. Dann müsste bei -1 die senkr. Asymptote sein.

Beim Auflösen nach x hab ich ehrlich gesagt Probleme. Wenn ich x+1 auf die andere Seite bringe jongliere ich ständig mit dem x rum, bekomm es aber nie auf eine Seite verwirrt

edit: habs auflösen hinbekommen
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von djguendalf
Gegen unendlich geht x/x+1 doch gegen 1 bzw -1.

Wieso -1?



Was soll da gegen -1 gegen? 1 ist richtig.

Zitat:
Original von djguendalf
Bei x=-1 würde man ja durch 0 teilen. Dann müsste bei -1 die senkr. Asymptote sein.

Eben nicht. Der cos ist doch beschränkt. Also x/(x+1) hat da eine senkerechte Asympote, aber der cos wird trotzdem nicht größer als 1 (oder kleiner als -1).

Zitat:
Original von djguendalf
Beim Auflösen nach x hab ich ehrlich gesagt Probleme. Wenn ich x+1 auf die andere Seite bringe jongliere ich ständig mit dem x rum, bekomm es aber nie auf eine Seite

[Edit: Okay]

Offenbar gehört auch wohl doch eher zur Schulmathematik. Daher verschoben.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

alles klar.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion
Also dann zum zweiten?

Zitat:
Original von djguendalf
Dann noch die Funktion b)

Für Nullstellen und Extremstellen muss man ja lediglich den Zähler, also sin(4x) berücksichtigen, oder? Nullstellen von sinx liegen ja bei k*pi. Für sin(4x) wären es dann (k*pi)/4?
Definitions und Wertebereich sollen ebenfalls angegeben werden. Die Funktion ist doch für alle x außer x = -0,5 definiert oder?

Der ln ist nur für positive Zahlen definiert. Dein Definitionsbereich ist also falsch. Beachte das dann übrigens auch bei der Angabe der Nullstellen. Da, wo f nicht definiert ist, liegen auch keine Nullstellen.

Zitat:
Original von djguendalf
Dann noch das Verhalten für x=oo und -oo.
sin(4x) oszilliert doch für +/- oo. Wie gibt man so ein Verhalten mathematisch an?

Der sin mag ja oszillieren, aber der Nenner wird unendlich groß. Der Sinus, der immer nur zwischen -1 und 1 hin und her pendelt, hat daher keinen Einfluss auf den Grenzwert. Entweder man begründet das mit ein bisschen Text oder schreibt es formal in Form einer Abschätzung auf.

Und für x gegen minus unendlich macht keinen Sinn, weil f da nicht definiert ist, wie gesagt.
 
 
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Alles klar, also existiert links der y-Achse, also im neg- x-Bereich, nichts, sprich auch keine Nullstellen.

Ich frag mich aber was wolframalpha da azeigt, dort gibt es die funktion auch im negativen Bereich.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ich hab keine Ahnung, was Wolfram macht, ich weiß ja nicht, was du wie eingegeben hast. Aber spätestens bei x=-0,5 ist einfach Feierabend.



Beachte natürlich auch noch die Definitionslücke bei x=0.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Für x=0 ergibt sich ja sin(0)/ln1 = 0 / 0. Sind an solchen Stellen immer Definitionslücken?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn der Nenner null wird, hat man natürlich immer eine Definitionslücke, denn durch 0 darf man nicht teilen. Ob da auch der Zähler null wird, ändert daran nichts. Das hat höchstens Einfluss darauf, ob man die Funktion stetig fortsetzen kann oder nicht.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

"Wenn der Nuller null wird" Augenzwinkern

gut, alles klar. ich sollte mir vllt ein andres porgramm zum funktionen zeichnen suchen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Dann zu c)

Zitat:
Weitere Funktion: c) ln cosxDefiniert für alle x außer den Nullstellen von cosx, denn dort ist y=0 und somit der ln nicht definiert. Also sind bei pi/2 + 2*k*pi (NS von cosx) überall senkrechte Asymptoten? DAnn ist die Frage nach Symmetrie. Cosx ist ja y-Achsensymmetrisch, somit auch die Funktion?

Wieder: Der ln ist nur für positive Argumente definiert. Also ist ln(cos(x)) nur dort definiert, wo cos(x)>0 ist.

Und ja, die Funktion ist achsensymmetrisch. Die Asymptoten passen.

djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion
Ok. Alles klar.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Also sin(x) / sinh(x)

Zitat:

Wolframalpha zeigt dass die Funktion für x-oo und -oo gegen Null geht. Wieso? für unendlich oszilliert der sinx doch.

Ja, wieso? Begründe doch mal. Wie verhält sich denn sinh(x) im unendlichen? Das sind Basissachen, die man weiß oder nachschlägt. Es ist ähnlich wie bei b).

Zitat:

Sinh(0) ist doch 0, dann müsste ja bei x=0 eine senkr. Asymptote sein, aber wolframlpha zeigt hier für y den Wert 1 an.

Nunja, der Sinus wird ebenfalls 0. Man hat also wieder die Situation "0/0". Klassischer Fall für L'Hospital, wenn man den Grenzwert haben will.

Und nochmal der feine Unterschied: 1 ist nicht der Funktionswert, denn bei x=0 ist die Funktion nicht definiert. Aber man kann die Funktion stetig fortsetzen, weil der beidseitige Grenzwert existiert. Da setzt man dann y=1 bei x=0.

Daher keine Asymptote.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

sinhx geht gegen unendlich, oder? Für x->oo liegt der sinx ja irgendwo zwischen -1 und 1.

Für unendlich ergibt sich also für die Funktion 0,x (irgendein Wert) / oo = 0. Somit geht die Funktion gegen Null?

Mit L'hopsital dann cos(0)/cosh(0) = 1 / 1 . Welche bedeutung hat der grenzwert?

Das mit der Asymptote versteh ich nicht ganz. Was heißt man kann die Funktion stetig fortsetzen.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von djguendalf
sinhx geht gegen unendlich, oder? Für x->oo liegt der sinx ja irgendwo zwischen -1 und 1.

Für unendlich ergibt sich also für die Funktion 0,x (irgendein Wert) / oo = 0. Somit geht die Funktion gegen Null?

Ja. Wobei "0,x" jetzt etwas sehr schwammig ist. Vielleicht schätzt du einfach ab:



Dann ergibt sich 0 als Grenzwert auch formal sauber, wenn man den Grenzwert bildet.

Zitat:
Original von djguendalf
Mit L'hopsital dann cos(0)/cosh(0) = 1 / 1 . Welche bedeutung hat der grenzwert?

Darauf hab ich jetzt keine Antwort. Erstmal gar nichts. Dadurch, dass der Grenzwert existiert, hat man keine Polstelle. Denn dafür müsste die Funktion ja ins unendliche abhauen, das tut sie aber nicht.

Zitat:
Original von djguendalf
Was heißt man kann die Funktion stetig fortsetzen.

Dafür verweise ich auf Stetig behebbare Definitionslücke
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

ok, alles klar.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Kurvendiskussion
Zitat:
Original von djguendalf
Mit der Funktion e) arctan(1+x²) komm ich gar nicht zurecht. Nullstellen? arctanx hat bei x=o eine Nullstelle. Dem Klammerausdruck kann man ja nicht auf Null bringen, also keine NS?

Jep.

Zitat:
Original von djguendalf
Verhalten für x->oo und -oo? Woher weiß ich wie der arctan sich gegen unendlich verhält? Muss ich das auswendig wissen, bei wolframalpha geht er gegen den Wert 1,57. Es wird auch nach Asymptoten gefragt. Wäre y=1,57 dann eine Asymptote?

Ja, stimmt soweit. Und ja, das kann/sollte man wissen. Genauer gesagt handelt es sich hierbei um bei dem Grenzwert und damit ist das auch die Asymptote.

Zitat:
Original von djguendalf
Man soll zusätzlich den größmöglichen Bereich nennen in dem Die Fkt streng monoton fällt und für dieses Bereich die Umnkehrfunktion angeben. Wie geht man da vor?

Schau dir doch mal die Ableitung an. Wenn du etwas über das Steigungsverhalten der Funktion wissen willst, ist das doch naheliegend.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Streng monoton fällt sie ja im negativen x-Bereich, oder? Das könnte ich ja mit der Ableitung überprüfen. Aber wie würde man das bei einer komplexeren Funktion machen?

Bilde ich jetzt einfach die Umkehrfunktion und beschränke sie auf die x<0 ?

würde man die Umkehrfunktion so bilden:

x = arctan(1+y²) -> tanx = 1+y² -> -1 + wurzel tanx = y ?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von djguendalf
Streng monoton fällt sie ja im negativen x-Bereich, oder? Das könnte ich ja mit der Ableitung überprüfen. Aber wie würde man das bei einer komplexeren Funktion machen?

Das ist situationsabhängig, was am besten geht. Das mit der Ableitung kann man theoretisch immer machen. Wie einfach/schwer das dann wird, hängt aber von der Funktion an.

Zitat:
Original von djguendalf
Bilde ich jetzt einfach die Umkehrfunktion und beschränke sie auf die x<0 ?

Du musst dir genau klar machen, was Definitions- und Wertebereich deiner "eingeschränkten" Funktion sind. Dann kannst du sie umkehren

Zitat:
Original von djguendalf
x = arctan(1+y²) -> tanx = 1+y² -> -1 + wurzel tanx = y ?

Im letzten Schritt wird es völlig falsch. Wohl irgendwie ein Tippfehler...
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Letzter Schritt:

Definitionsbereich wäre ja x<0 und wertebereich y>0 (Wie gibt man den Wertebereich einer Funktion denn korrekt an?)

Was muss ich jetzt bei der umkehrungs beachten? was mir auffällt ist, dass ja für negative x-Werte unter der Wurzel was negatives stehen würde, oder?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn eine Funktion von A nach B abbildet, dann muss die Umkehrfunktion von B nach A abbilden (wobei A und B jetzt Mengen, bzw. in unserem Fall eben die Intervalle sind).

Wir haben f eingeschränkt auf die negativen x. Was ist also der Definitionsbereich? Und was ist der Wertebereich?

Sauber hinschreiben!
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Definitionsbereich und Wertebereich der eingeschränkten Fubnktion oder der Umkehrfunktion?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Erstmal von der eingeschränkten Funktion.

Bei der Umkehrfunktion sind wir noch nicht. Du machst das zu schnell, bzw. du fängst von hinten an. Hier muss man wirklich pingelig sein, sonst bastelt man sich schnell eine Funktion, die falsch ist oder sogar überhaupt nicht definiert ist.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

ok.

ist D dann . meinst du das?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, das ist der Definitionsbereich.

Und der Wertebereich? Welche Werte nimmt die Funktion hier an?
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Nein!

Wo soll die Funktion denn unendlich groß werden?



Die Funktion ist steng monoton fallend. Den Grenzwert gegen minus unendlich haben wir schon. Von dort fällt die Funktion und wird also bei x=0 am "kleinsten". Also ist der "kleinste" Wert dann arctan(1+0²)=arctan(1). Was ergibt das?
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

pi/4?

also wertebereich

edit größergleich pi/4
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Auch hier aufpassen! Der Wert wird tatsächlich angenommen, aber nicht, das ist ja nur der Grenzwert für minus unendlich. Die Funktion kommt beliebig nahe an diese Zahl ran, erreicht sie aber nie. Der Wertebereich ist also ein halboffenes Intervall, genau wie auch schon der Definitionsbereich. [Edit: Okay, du hast es nachträglich korrigiert, umso besser!]

So, damit haben wir alles zusammen:



Das ist unsere Funktion mit Angabe von Definitions- und Wertebereich und die Funktionsvorschrift.

Die Umkehrfunktion, ich nenne sie mal , muss also so abbilden:



So, wie sieht jetzt die Umkehrfunktion aus?
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Um 90° gedreht, also einfach die Achsen vertauscht. Oder?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Sie wird gespiegelt, ja, aber das meinte ich nicht. Augenzwinkern Du sollst mir nur hinschreiben, wie die Funktion g jetzt heißt (Funktionsvorschrift angeben!).
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Funktionsvorschrift? Also die Funktion selbst?

Muss man die nicht aus der Ausgangsfunktion bilden?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, du sollst einfach jetzt



nach x auflösen.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Hab ich das nicht vorhin schon gemacht?

Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Hattest du. Allerdings, bevor du Definitions- und Wertebereich geklärt hattest. Daher war das falsch, ich hatte gehofft, du merkst das. Leider hast du das jetzt nicht korrigiert.

Schau mal, die Umkehrfunktion sollte doch auf die negativen Zahlen abbilden (- unendlich, 0] ist doch der Wertebereich unserer Umkehrfunktion.

Das tut sie jetzt aber nicht, deine Wurzelfunktion ist doch immer positiv.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Immer positiv? Wie seh ich das?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Edit: Also damit das jetzt nicht falsch rüber kommt: Man kann schon auch die negative Lösung hernehmen, aber das ist nicht üblich. Die Wurzelfunktion wird ja auch eindeutig definiert (damit man eben weiß, was gemeint ist).



Kein Plotter, kein CAS der Welt wird die "negative" Variante nehmen.
djguendalf Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, schon ne tragische Geschichte mit meinen Kenntnissen.

Muss ich es mit einem minus ergänzen oder wie?
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Also, man landet beim Rechnen ja hier:



Und hier hast du eben "vergessen", dass es hier beim Wurzelziehen zwei Lösungen gibt:





Das wären theoretisch beides mögliche Lösungen für unsere Umkehrfunktion. Aber für uns kommt nur eine davon in Frage, das sieht man an dem Wertebereich unserer Umkehrfunktion.

Darum war es mir auch so wichtig, dass wir Definitions- und Wertebereich erstmal klären. Damit du dann genau weißt, welche der Lösungen du nehmen musst. Das meinte ich vorhin, als ich sagte, dass du "von hinten" angefangen bist.
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