Exponentialfunktionen und e-Funktionen

14.04.2012, 22:21

Magnus87

Exponentialfunktionen und e-Funktionen

hallo liebe mathematiker

ich versuche mir gerade die exponenzialfunktionen bei zu bringen

allerdings verstehe ich den unterschied zwischen e-funktion und exponenzialfunktion nicht ganz.

zudem habe ich gelesen das diese besagten funktionen asymptotisch sind, das heißt ja das ich gar keine nullstellen habe oder??

liebe grüße

14.04.2012, 22:38

thk

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Hallo,

als Exponentialfunktion bezeichnet man $\begin{eqnarray*} f(x)=a^x \end{eqnarray*}$ . Die e-Funktion hat speziell die Basis e (also $\begin{eqnarray*} e^x \end{eqnarray*}$ ). e ist die Eulersche Konstante 2,718...

Die Exponentialfunktion a^x hat keine Nullstelle und geht asymptotisch gegen 0 für x-> -unendlich.

14.04.2012, 22:40

Iorek

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@thk, es wäre noch interessant zu wissen, welche Werte $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ annehmen darf. Überdies hängt das Grenzwertverhalten der allgemeinen Exponentialfunktion von $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ab, d.h. $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to -\infty} a^x=0 \end{eqnarray*}$ ist nicht für alle $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ korrekt.

14.04.2012, 22:44

iForReal

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Ich sag noch was zum Thema Ableitungen, sofern nicht bekannt:

wenn
$\begin{eqnarray*} f(x)=e^x \end{eqnarray*}$ , dann ist auch
$\begin{eqnarray*} f'(x)=e^x \end{eqnarray*}$

So sieht man den Unterschied zu $\begin{eqnarray*} a^x \end{eqnarray*}$ , denn dort gilt:

$\begin{eqnarray*} f(x)=a^x \end{eqnarray*}$

$\begin{eqnarray*} f'(x)= \ln {(a)}* a^x \end{eqnarray*}$

MfG

ForReal

14.04.2012, 22:48

thk

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@ Iorek
OK. Aber welchen Sinn die Def. für 0<a<1 macht oder für a=0 oder für a=1 oder gar für a<0 kann der Fragesteller gern selbst erkunden...

14.04.2012, 22:54

Iorek

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@thk,

trotzdem ist deine Aussage bezüglich des Grenzwertverhaltens für $\begin{eqnarray*} x\to -\infty \end{eqnarray*}$ so wie sie da steht nicht richtig. Eine Fallunterscheidung für $\begin{eqnarray*} a \end{eqnarray*}$ ist zwingend notwendig.

14.04.2012, 23:05

thk

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@ Iorek
Und wenn ich jetzt auch noch mal OK schreibe haben wir uns beide wiederholt. Auf die anderen Fälle (außer dem bezeichneten mit a>1) habe ich als Antwort indirekt verwiesen.

14.04.2012, 23:12

Iorek

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Dann hättest du auch angeben sollen, dass du $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ voraussetzt (wobei es sich dann nicht mehr um die allgemeine Exponentialfunktion handeln würde), dies hast du aber nirgends getan. Insofern ist deine Aussage " $\begin{eqnarray*} f(x)=a^x \end{eqnarray*}$ ist die Exponentialfunktion und $\begin{eqnarray*} \lim\limits_{x\to -\infty} f(x)=0 \end{eqnarray*}$ " nunmal falsch, da hilft auch ein später getätigter (indirekter) Verweis auf mögliche andere Fälle nicht.

14.04.2012, 23:25

thk

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OK Okay, als umgangssprachlicher Ausdruck der Zustimmung.
Ich habe diesen Sachverhalt bereits 2mal anerkannt. Für mehr Anbetung bin ich angesichts der Trivialität nicht offen. Ja, ich habe oben die Einschränkung nicht gemacht. Das war falsch.
Für jemanden der seine Fehler auch mal blind editiert dank seiner Rechte hier oder Magie (persönl. Erfahrung) ist das nun bissl dick aufgetragen. Ich bin hier raus.

15.04.2012, 10:04

Magnus87

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nun bin ich etwas verwirrt was ist nun korrekt?

15.04.2012, 11:41

Mulder

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Zitat:

Original von Magnus87
nun bin ich etwas verwirrt was ist nun korrekt?

Wie Iorek schon sagte, ist das, was thk geschrieben hat, für a>1 auf jeden Fall korrekt, also konkret auch für die e-Funktion.

Im Falle 0<a<1 sieht es ein bisschen anders aus. Zum Beispiel a=1/2.

Denn du kannst dir ja leicht klar machen, dass eine Zahl, die kleiner als 1 ist, nicht unendlich groß, sondern unendlich klein wird, wenn man sie immer und immer wieder mit sich selbst multipliziert. Es ist da eben genau "andersrum" wie im Fall a>1.

15.04.2012, 17:40

Magnus87

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reicht es also nur diesen graphen zu kennen?

15.04.2012, 20:13

Iorek

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Reicht es wofür nur welchen Graphen zu kennen? In diesem Thread sind zwei Graphen zu zwei verschiedenen Exponentialfunktionen, der Verlauf ist aber völlig unterschiedlich (eben abhängig davon, ob $\begin{eqnarray*} 0<a<1 \end{eqnarray*}$ oder $\begin{eqnarray*} a>1 \end{eqnarray*}$ ist). Und nein, natürlich sollte man mehr als nur den Verlauf zweier Graphen kennen, um mit der Exponentialfunktion umgehen zu können.

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