Gauß Algorithmus

15.04.2012, 14:23

Jessica19

Gauß Algorithmus

Aufgabe: Lösen sie mithile des Gauß-Algorithmus die Gleichung

$\begin{eqnarray*} 2x+y-z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5x-5y+2z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+2y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Bin voll die Niete beim Gauß Verfahren. Woran kann ich mich am besten richten? traurig

Wäre es eine gute Idee die 3. Zeile mit 2 zu dividieren und dann die dritte Zeile mit der ersten Zeile zu subtrahieren?

15.04.2012, 14:39

DP1996

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Letztendlich ist es beim Gauß-Verfahren egal, wo du anfängst, wenn du keinen Fehler machst, wirst du früher oder später immer mit dem richtigen Ergebnis dastehen.

Du könntest jetzt z. Bsp. die 2. Gleichung mius der ersten und dann minus der 3. rechnen, mit dem Erfolg, dass du dort schon einmal kein x mehr stehen hast.

15.04.2012, 14:51

Jessica19

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Wenn ich die zweite Zeile mit der ersten Zeile subtrahiere, erhalte ich Zeile 2 und 3 oder? 1 fällt nach der Subtraktion weg?

$\begin{eqnarray*} 3x-6y+3z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+2y-3z=0 \end{eqnarray*}$

15.04.2012, 14:54

DP1996

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Nein, 3 Gleichungen bleiben, sonst kriegst du nachher Probleme (Die erste gleichung ist ja trotzdem noch gültig!)

Du erhieltest
$\begin{eqnarray*} 2x+y-z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x-6y+3z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+2y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Beachte, dass du ganze Gleichungen voneinander abziehen musst! Also auch die rechte Seite!

15.04.2012, 15:02

Jessica19

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RE: Gauß Algorithmus
$\begin{eqnarray*} 2x+y-z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5x-5y+2z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+2y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Zeile 2 wird mit Zeile 1 subtrahiert

$\begin{eqnarray*} 2x+y-z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x-6y-3z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+2y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Zeile 2 wird mit Zeile 3 subtrahiert

$\begin{eqnarray*} 2x+y-z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -8y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+2y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Zeile 2 wird durch -8 dividiert

$\begin{eqnarray*} 2x+y-z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+2y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Soweit so richtig?

Da y=0 ist, fallen die Y Variablen komplett aus den 3 Zeilen weg?

15.04.2012, 15:08

DP1996

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Leider nein. Du hast in deinem zweiten Gleichungssystem in der zweiten Gleichung -3z anstatt +3z stehen... und das auch noch, obwohl ich dir oben die Gleichung schon hingepinselt hab.

15.04.2012, 15:12

Jessica19

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RE: Gauß Algorithmus
$\begin{eqnarray*} 2x+y-z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5x-5y+2z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+2y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Zeile 2 wird mit Zeile 1 subtrahiert

$\begin{eqnarray*} 2x+y-z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x-6y+3z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+2y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Zeile 2 wird mit Zeile 3 subtrahiert

$\begin{eqnarray*} 2x+y-z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -8y-6z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+2y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Soweit so richtig? Was kann ich jetzt bitte tun? smile

15.04.2012, 15:15

DP1996

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Jetzt musst du noch aus einer der beiden Zeilen 1 oder 3 dein x rauswerfen (geeignetes Vielfaches wählen und voneinander abziehen)

15.04.2012, 15:19

Jessica19

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Verstehe ich nicht. Was meinst du bitte mit gemeinsames Vielfaches herausfinden? Das ist mir nur bei Addition und Subtraktion von Brüchen bekannt. verwirrt

meinst du damit, dass ich Zeile 1 Beispielsweise mal 3 nehmen kann und zeile 3 mal 2, damit beide 6x haben?

15.04.2012, 15:24

DP1996

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geeignet, nicht gemeinsam!

Zitat:

meinst du damit, dass ich Zeile 1 Beispielsweise mal 3 nehmen kann und zeile 3 mal 2, damit beide 6x haben?

Genau so was.

Man kann das aber auch billiger haben, indem man die erste Gleichung mit 1,5 multipliziert (denn 2*1,5 gibt 3, und dann haben beide 3x)

15.04.2012, 15:32

Jessica19

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$\begin{eqnarray*} 2x+y-z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 5x-5y+2z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+2y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Zeile 2 wird mit Zeile 1 subtrahiert

$\begin{eqnarray*} 2x+y-z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x-6y+3z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+2y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Zeile 2 wird mit Zeile 3 subtrahiert

$\begin{eqnarray*} 2x+y-z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -8y-6z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 3x+2y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Zeile 1 wird mit 3 multipliziert und Zeile 3 mit 2 multipliziert

$\begin{eqnarray*} 6x+3y-3z=18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -8y-6z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} 6x+4y-6z=0 \end{eqnarray*}$

Zeile 3 wird mit Zeile 1 subtrahiert

$\begin{eqnarray*} 6x+3y-3z=18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -8y-6z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Zeile 1 mit Zeile 3 subtrahieren

$\begin{eqnarray*} 6x+2y=18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -8y-6z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Zeile 2 wird durch 2 geteilt

$\begin{eqnarray*} 6x+2y=18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -4y-3z=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Zeile 2 wird mit Zeile 3 subtrahiert

$\begin{eqnarray*} 6x+2y=18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -5y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Kann ich nun Zeile 2 mit -5 dividiere und dadurch den Wert y=0 erhalten, wenn ja, muss ich anschließend dann das EInsetzungsverfahren anwenden, also für jedes y eine 0 einsetzen? Oder wäre das kein Gaus-Verfahren?

15.04.2012, 15:43

DP1996

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Richtig ist es, wobei du dir den Schritt vom 5. auf das 6. Gleichungssystem hättest sparen können Augenzwinkern

Und jetzt musst du natürlich nacheinander die bekannten Werte einsetzen, das ist durchaus so im Gauß-Algorithmus vorgesehen.

15.04.2012, 15:51

Jessica19

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Super, du bist sehr nett. smile

Das hat mir ungemein geholfen. Ich hoffe ich kann auf deine Hilfe bei ggf. weiteren Gauß Aufgaben zählen Augenzwinkern

$\begin{eqnarray*} 6x+2y=18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -5y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y-3z=0 \end{eqnarray*}$

Zeile 2 wird durch -5 geteilt

$\begin{eqnarray*} 6x+2y=18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y-3z=0 \end{eqnarray*}$

y=0 wird in Zeile 1 und 3 eingesetzt

$\begin{eqnarray*} 6x=18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -3z=0 \end{eqnarray*}$

Zeile 3 wird durch -3 dividiert

$\begin{eqnarray*} 6x=18 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$

Zeile 1 wird durch 6 dividiert

$\begin{eqnarray*} x=3 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} y=0 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} z=0 \end{eqnarray*}$

15.04.2012, 15:54

DP1996

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Die Lösung stimmt Freude

Zitat:

Ich hoffe ich kann auf deine Hilfe bei ggf. weiteren Gauß Aufgaben zählen Augenzwinkern

Mal schauen, ich sollte mich heute auch noch dem Leben außerhalb des Matheboards widmen Augenzwinkern

Ach ja, und dafür bitte einen neuen Thread eröffnen!

15.04.2012, 16:39

BoLLe89

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Hallo, die Lösung stimmt nicht, macht doch einfach mal die Probe Augenzwinkern

spätestens beim Einsetzen in die 2. Gleichung wirds auffallen da 15 ungleich 6...

die Lösung lautet:

x=4
y=6 und
z=8

Rechnet das lieber nochmal durch Augenzwinkern

15.04.2012, 17:47

Jessica19

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Zitat:

Original von BoLLe89
Hallo, die Lösung stimmt nicht, macht doch einfach mal die Probe Augenzwinkern

spätestens beim Einsetzen in die 2. Gleichung wirds auffallen da 15 ungleich 6...

die Lösung lautet:

x=4
y=6 und
z=8

Rechnet das lieber nochmal durch Augenzwinkern

Hast du denn in unserer Rechnung einen Fehler gefunden? Ich konnte keinen finden. verwirrt

15.04.2012, 18:19

BoLLe89

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ich würd das anders rechnen, wo man nich durcheinander kommt. so hab ichs gemacht:

x y z ci

18x=72 --> x=4

15x-3z=36 --> z=8

2x+y-z=6 --> y=6

Ist ein einfaches System und nach 2-3 mal üben geht es damit wesentlich schneller und übersichtlicher! smile

achja, und hier ist der fehler:

Zeile 2 wird mit Zeile 3 subtrahiert

$\begin{eqnarray*} 2x+y-z=6 \end{eqnarray*}$
$\begin{eqnarray*} -8y-6z=0 \end{eqnarray*}$ <--- richtig wäre so: -8y + 6z=0
$\begin{eqnarray*} 3x+2y-3z=0 \end{eqnarray*}$

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