Summenzeichen - Formel stimmt nicht

16.04.2012, 09:57

Marcosen

Summenzeichen - Formel stimmt nicht

Meine Frage:
Hallo,
ich habe bei folgender Aufgabe $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^6 8(\frac{1}{2})^{i} \end{eqnarray*}$ ein Problem.
Ich verstehe nicht warum ich diese Aufgabe nicht mit dieser Formel $\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=1}^n a^{i} = a\cdot \frac{a^{n}-1 }{a-1} \end{eqnarray*}$ rechnen kann.

Meine Ideen:
Wenn ich die Zahlen in die Formel einsetzte sieht das folgendermaßen aus:
$\begin{eqnarray*} 8\sum\limits_{i=2}^6 (\frac{1}{2})^{i} = 8\cdot \frac{1}{2} \cdot \frac{\frac{1}{2} ^{5}-1 }{\frac{1}{2} -1} \end{eqnarray*}$

das Ergebnis ist $\begin{eqnarray*} 7\frac{3}{4} \end{eqnarray*}$ also genau das doppelte vom eigentlichen Ergebnis $\begin{eqnarray*} 3\frac{7}{8} \end{eqnarray*}$

Ich habe jetzt schon herausgefunden, dass es am Zähler i=2 liegt.
Ist nämlich i=2 so verdoppelt sich das Ergebnis, bei i=3 vervierfacht sich das Ergebnis und bei i=4 verachtfacht sich das Ergebnis.

Aber wie bringe ich das jetzt in die Formel unter um auf das richtige Ergebnis zu kommen?

16.04.2012, 10:12

chris95

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Naja, die Summe die ausfuehrst ist ja falsch, denn ob du von i=1 bis 5 oder von i=2 bis 6 summierst ist ja was anderes.

Was du machen kannst ist folgendes:

$\begin{eqnarray*} \sum_{i=2}^6 \frac 8 {2^i}= \sum_{i=1}^6 \frac{8}{2^i} - \frac{8}{2^1} \end{eqnarray*}$

16.04.2012, 10:22

Mystic

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Ich würde überhaupt eine andere Formel hier verwenden, sodass dieses Problem gar nicht erst entsteht, nämlich

$\begin{eqnarray*} \sum_{k=0}^{n-1} a_0q^k = a_0 \frac{q^n-1}{q-1} \end{eqnarray*}$

Hierbei ist $\begin{eqnarray*} a_0 \end{eqnarray*}$ das erste Glied, q der Quotient und n die Anzahl der Glieder der Folge... Im konkreten Fall gilt somit

$\begin{eqnarray*} a_0=\frac 8 {2^2}=2, \quad q=\frac 12, \quad n=6-(2-1)=5 \end{eqnarray*}$

Edit: Und bist du sicher, dass das hier Hochschulmathematik ist? verwirrt

16.04.2012, 10:34

Marcosen

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Danke, hab meinen Fehler erkannt!

@Mystic: 1. Semester, ansonsten bitte woanders klugscheißen...

16.04.2012, 11:05

Mystic

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Zitat:

Original von Marcosen
@Mystic: 1. Semester, ansonsten bitte woanders klugscheißen...

Ja, das würde ich dir auch dringend empfehlen... unglücklich

Edit: Schon aus Eigeninteresse solltest solche "elementaren Fragen" doch lieber in der Schulmathematik stellen, die Moderatoren dort sind einiges gewohnt und halten daher auch mehr aus... Big Laugh

16.04.2012, 12:33

Math1986

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Zitat:

Original von Marcosen
@Mystic: 1. Semester, ansonsten bitte woanders klugscheißen...

Bitte achte in Zukunft auf einen angemesseneren Ton!
Ich werde das Thema erstmal hierlassen, da die Aufgabe doch ein wenig "Grenzwertig" ist und in beiden Foren gut aufgehoben wäre.

Zur Ausgangsfrage und der dort gegebenen Formel:

Nach einer Indexverschiebung ist
$\begin{eqnarray*} \sum\limits_{i=2}^6 8\left(\frac{1}{2}\right)^i=\sum\limits_{i=2}^6 4\left(\frac{1}{2}\right)^{i-1}=4\sum\limits_{i=1}^5 \left(\frac{1}{2}\right)^i \end{eqnarray*}$

Darauf kannst du dann die anfangs gegebene Formel anwenden.

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