Welche Ableitung muss ich wann benutzen?

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Welche Ableitung muss ich wann benutzen?
Hallo Mathe Board!!

Ich schreibe morgen eine Matheklausur und bin gerade nochmal auf Textaufgaben gestoßen (mit Lösungen). Mir ist dabei aufgefallen, dass ich gar nicht mehr wusste, wann ich die 1. und die 2. Ableitung anwenden muss. Ich bin jetzt total nervös und habe das Gefühl, dass ich alles vergessen habe !!! unglücklich

Beispiel der Aufgabe:

Ein Industrieunternehmen lässt ständig
beobachten, wie viele Surfer gerade die
Internetseiten des Unternehmens besuchen. Die
nebenstehende Kurve zeigt den durchschnittlichen
Besuch der Internetseiten im
Zeitraum von 4h morgens bis 16h nachmittags.
Die Anzahl der Surfer, die zu einem bestimmten
Zeitpunkt gerade die Internetseiten besuchen,
lässt sich näherungsweise durch den folgenden
Funktionsterm beschreiben:


Aufgabe:

b) Von besonderem Interesse ist die Höchstzahl von Surfern, die an einem bestimmten Tag zu
einem bestimmten Zeitpunkt zwischen 4h und 16h gleichzeitig die Internetseiten des
Unternehmens besuchen. Wie hoch ist dieser Spitzenwert gemäß f(x)?
(Zur Kontrolle: 520 Surfer)

Woher weiß ich jetzt, welche Ableitung ich benutzen muss ? :/
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wir suchen die Höchstzahl der Surfer.
Das meint also wir müssen den Hochpunkt berechnen.
Welche Bedingungen gelten für den Hochpunkt??
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dass ich diese Aufgabe nochmal sehen würde...genau diese Aufgabe habe ich am 30.05.06 in einer Vergleichsklausur, Klasse 11 gehabt. Lediglich ein kleiner Satz zur Erläuterung fehlt. Big Laugh

Dann sehen wir uns die Funktion mal näher an. Sie gibt dir zu einer bestimmten Tageszeit die Anzahl der zu diesem Zeitpunkt auf der Seite anwesenden User an. Jetzt möchte man gerne wissen, wann diese Anzahl am größten ist (zwischen 04:00 und 16:00 Uhr), gesucht ist also der höchste Punkt des Funktionsgraphen. Kommst du damit schon weiter? smile

Edit: Das Datum nachschlagen hat etwas länger gedauert...
SchnelleHilfe123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine dafür braucht man die 1. Ableitung oder ? ;/
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

@ Iorek: Du kannst gerne hier übernehmen. Ich muss eben etwas speisen. Augenzwinkern

1. Ableitung ist korrekt.

Du brachst aber noch etwas.
SchnelleHilfe123 Auf diesen Beitrag antworten »

Evtl. die Nullstellen der 1. Ableitung ausrechnen ?
 
 
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

@Gmasterflash, dann wünsche ich einen guten Appetit. smile

Ganz genau, die Nullstellen der ersten Ableitung liefern dir mögliche Kandidaten für die Extrempunkte. Wie sieht denn deine erste Ableitung aus? Und wo liegen die Nullstellen der ersten Ableitung?
SchnelleHilfe123 Auf diesen Beitrag antworten »

1.Ableitung:

Durch pq-Formal nach dem 0 setzen erhalte ich 15 und -5 als Nullstelle.
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

pq-Formel nachdem du durch (-3) dividiert hast. Augenzwinkern

Ansonsten stimmt das soweit. Wie geht es nun weiter? Das war ja bisher die notwendige Bedingung für eine Extremstelle, das reicht aber noch nicht aus.

Edit: Ich habe bei dir ein Minuszeichen übersehen, -5 ist keine Nullstelle der ersten Ableitung sondern...
SchnelleHilfe123 Auf diesen Beitrag antworten »

Jetzt setze ich beide Nullstellen in die Ausgangsfunktion ein, damit ich den y-Wer rauskriege?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein, zuerst musst du noch überprüfen, ob es sich auch wirklich um Extremstellen handelt. Die notwendige Bedingung reicht dafür nicht aus.
SchnelleHilfe123 Auf diesen Beitrag antworten »

Achso, dann überprüfe ich das mit dem hinreichenden Kriterium für beide Nullstellen?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Genau. Beachte aber meinen Nachtrag zu deiner zweiten Nullstelle, -5 ist nicht richtig.
SchnelleHilfe123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, also dann sieht das jetzt so aus.

Nullstelle 5:[/latex]


Stimmt das so für die 1. Nst?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Nein. Wie lautet denn das hinreichende Kriterium?
SchnelleHilfe123 Auf diesen Beitrag antworten »

Hm, weiß ich nicht, ich weiß nur, dass man überprüfen muss, ob ein Vorzeichenwechsel vorhanden ist ( glaube ich zumindest)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ihr hattet noch nicht die hinreichende Bedingung für Extremstellen?

(Notwendige Bedingung: . Hinreichende Bedingung: )

Dann werden wir es wohl mit dem Vorzeichenwechsel der ersten Ableitung machen. Allerdings würde ich den Abstand etwas kleiner machen, du hast nun Werte eingesetzt, die jeweils einen Abstand von 1 zur gefundenen Nullstelle haben, das ist sehr grob. Nimm lieber . Ähnlich überprüfst du das dann auch für die zweite Nullstelle.
SchnelleHilfe123 Auf diesen Beitrag antworten »

Eine hinr. Bedingung für ein relatives Maximum ist:

Es ist:
Wegen f''(5) > 0 und f''(15) < 0 ergibt sich für x=15 ein relatives Maximum mit f(15)=520

Der Randwert f(4) liegt deutlich darunter.


So haben wir das aufgeschrieben, allerdings weiß ich nicht mehr genau, was damit gemeint war ( gehörte auch zu dieser Aufgabe)
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Dann hattet ihr die angesprochene hinreichende Bedingung.

Allgemein lautet die hinreichende Bedingung wie oben in meinem Beitrag. Du nimmst die berechneten Nullstellen der ersten Ableitung und setzt diese in die zweite Ableitung ein. Wenn diese nicht 0 wird, handelt es sich um ein Extremum. Die Art des Extempunktes (Hoch- oder Tiefpunkt) liest man dann am Vorzeichen ab.

Ist , so handelt es sich um ein rel. Minimum, also einen Tiefpunkt.
Ist , so handelt es sich um ein rel. Maximum, also einen Hochpunkt.
SchnelleHilfe123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok. Also.

2.Ableitung:

Einsetzen der Nst. :





Und nun ist die 1. Nst ein TP und die 2. Nst. ein HP ?
Iorek Auf diesen Beitrag antworten »

Ganz genau. smile

Da wir uns nur für den Hochpunkt interessieren, können wir den Tiefpunkt ignorieren, dieser spielt für die Bearbeitung der Aufgabe ja keine Rolle mehr. Den x-Wert des Hochpunktes kannst du nun in die Ausgangsfunktion einsetzen und den zugehörigen y-Wert berechnen.
SchnelleHilfe123 Auf diesen Beitrag antworten »

Ok, vielen dank =)
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