mengen im Rn

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chrlan Auf diesen Beitrag antworten »
mengen im Rn
Meine Frage:
Es seien . Welche der Gleichungen



sind richtig, welche falsch?

Meine Ideen:
Ich würde sagen die erste und die letzte sind richtig.
hab da allerdings keine begründung für, stoße nur immer wieder darauf wenn ich mir versuche das vorzustellen. stimmt das? gibt es dazu eine schlagfeste begründung?
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

stimmen meine antworten überhaupt?
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

die letzten beiden sind falsch. de'morgansches gesetz. stimmt das?
Mathewolf Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, die letzten beiden Gleichungen sind falsch, denn

chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

kann mit den ersten beiden leider nichts anfangen, denke aber das die dann wohl richtig sind. kann mir jemand sagen warum?
Mathewolf Auf diesen Beitrag antworten »

Nun, ich würde folgendermaßen argumentieren:

Sei , dann ist

Sei nun , dann folgt wegen

.

Andererseits gilt und . Ferner gilt .
Daraus folgt die Richtigkeit der Gleichung .

Analog argumentiert man für
 
 
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

@Mathewolf
Bist du gerade wirklich der Auffassung das Innere einer jeder Teilmenge des R^n ist leer? Es gibt nicht einmal eine Topologie, die das erfüllt. Geschweige denn die Standardtopologie des R^n.
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mengen im Rn
das ist ja keine 0 im exponent. das ist ein gradzeichen...°
kann damit ehrlich nichts anfangen...
Totto-GE Auf diesen Beitrag antworten »
RE: mengen im Rn
Man sollte vorher wissen, was die Symbole bedeuten ...

ist das Innere von

ist der Abschluss von

abs. Komplement


Und oft helfen die banalen Intervall-Fälle im

Nehme daher , d.h links abgeschlossen, rechts offen für übersichtliche Tests ...
Mathewolf Auf diesen Beitrag antworten »

@ IfindU: Dieser Ansicht bin ich natürlich nicht. Ich hatte den Term schlichtweg fehlinterpretiert.
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

Die ersten beiden Aussagen müssten demnach ja richtig sein, weil das innere von A geschnitten B das gleiche sein muss wie das innere von A geschnitten mit dem inneren von B. genauso bei der vereinigung.
aber wie begründet man das vernünftig?
chrlan Auf diesen Beitrag antworten »

oder hat das etwas damit zu tun, dass das innere offen ist?
IfindU Auf diesen Beitrag antworten »

Das Innere von ist definiert durch:
, also die größte offene Menge, die noch ganz in A enthalten ist.

Dann ist .

Da die offenen Mengen von A geschnitten mit den offenen Mengen von B wieder offen sind, A geschnitten B aber noch mehr offene Mengen enthalten kann, gilt diese Kette oben. Jetzt muss man noch begründen, warum die andere Relation gilt.
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