Potenzreihen arctan(x) und arcsin(x)

18.04.2012, 23:50	GabbaG	Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzreihen arctan(x) und arcsin(x) Meine Frage: Guten Abend, ich sitze hier vor folgenden Aufgaben und habe dazu eine Frage: Aufgabe Zeige, dass für $\begin{eqnarray} x \in \left(-1,1\right) \end{eqnarray}$ gilt: (a) $\begin{eqnarray} \arctan(x) = x - \frac{x^{3}}{3} + \frac{x^{5}}{5} \pm ... \end{eqnarray}$ (b) $\begin{eqnarray} \arcsin(x) = x + \frac{1}{2} \frac{x^{3}}{3} + \frac{13}{24}\frac{x^{5}}{5} + ... \end{eqnarray}$ Meine Ideen: zur (a): ich habe den arctan(x) zuerst einmal abgeleitet. Für die Ableitung erhalte ich $\begin{eqnarray} \arctan(x) = \frac{1}{1+x^{2}} = \frac{1}{1-(-x^{2})} \end{eqnarray}$ Dann habe ich $\begin{eqnarray} -x^{2} \end{eqnarray}$ durch y ersetzt und das als Reihe dargestellt, so erhalte ich die geometrische Reihe. also habe ich da stehen: arctan(x) = $\begin{eqnarray} \int \sum\limits_{n=0}^\infty y^{n} dy \end{eqnarray}$ Da die geometrische Reihe konvergent und stetig ist, kann ich Integral und Summenzeichen tauschen (?), integriere den Teil und erhalte dann am Ende arctan(x) = $\begin{eqnarray} \sum\limits_{n=0}^\infty \frac{y^{n+1}}{n+1} \end{eqnarray}$ so ganz richtig ist das aber nicht, kann mir jemand helfen? Und bei der (b) brauche ich auch Hilfe, die sieht zwar sehr ähnlich aus aber da komme ich absolut nicht weiter. Vielen Dank schonmal im voraus!
19.04.2012, 09:45	Valdas Ivanauskas	Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzreihen arctan(x) und arcsin(x) Dein Ansatz passt schon. Du solltest aber auf die Substitution mit dem $\begin{eqnarray} y \end{eqnarray}$ verzichten. Du kannst jeweils ausgehen von den Integraldarstellungen: $\begin{eqnarray} \arctan(x)=\int_0^x\frac {\dd t}{1+t^2}=\int_0^x\left(\sum_{n=0}^\infty (-1)^nt^{2n}\right)\dd t \end{eqnarray}$ bzw. $\begin{eqnarray} \arcsin(x)=\int_0^x\frac {\dd t}{\sqrt{1-t^2}}. \end{eqnarray}$ In Teil b.) wirst Du dabei auf die Binomialreihe zurückgreifen müssen. Beachte dabei folgende Identität: $\begin{eqnarray} \frac 1{4^n}{2n\choose n}=(-1)^n{-\frac 12\choose n},~n\geq 0. \end{eqnarray}$
19.04.2012, 10:30	GabbaG	Auf diesen Beitrag antworten »
danke dir, das hat mir sehr geholfen!
19.04.2012, 11:24	GabbaG	Auf diesen Beitrag antworten »
ich hätte nochmal eine Frage, wie gehe ich bei folgender Aufgabe vor: Pi/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 ....
19.04.2012, 11:56	Valdas Ivanauskas	Auf diesen Beitrag antworten »
$\begin{eqnarray} \arctan(1)=\frac{\pi}4 \end{eqnarray}$
21.04.2012, 15:11	fussball99	Auf diesen Beitrag antworten »
wie kommst du denn da auf die erste ableitung? ich habe da $\begin{eqnarray} 1-x^{2}+x^{4}-x^{6} \pm .... \end{eqnarray}$ gruss
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