Potenzgesetz und Epsilon

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Potenzgnom Auf diesen Beitrag antworten »
Potenzgesetz und Epsilon
Hallo,

Hier mal die ganze Aufgabe:

Zitat:
Gegeben sei und

Zeigen Sie die folgenden Behauptungen
(a)
(b) Falls für alle gilt, gilt auch


Also bei (a)

Laut Rechenregeln für Potenzen gilt ja:



Und wenn ich das auf (a) anwende bekomm ich ja und wegen dem Distributivgesetz gilt ja das ist dann und das ist ein wegen dem neutralen Element der Multiplikation. Alles in allem wäre das dann = .

Dürfte das so stimmen? Allerdings find ich nirgendwo eine Definition davon das =
hm
Also das erst mal zur Aufgabe a).

Lg !
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Potenzgesetz und Epsilon
Zitat:
Original von Potenzgnom
Laut Rechenregeln für Potenzen gilt ja:


Ich kann mir nicht vorstellen, dass du das benutzen darfst. Damit wäre die Aufgabe doch irgendwie dämlich. Augenzwinkern Vermutlich sollst du dich eher nur auf Körperaxiome stützen, sowie die Eindeutigkeit des Inversen.

Desweiteren gilt das nicht für alle , sondern nur für . Denn was sollte denn sein?

Edit: Das Problem mit dem sehe ich übrigens auch. Man betrachtet in diesem Fall bei die -1 nicht als "Potenz" in dem Sinne (weil man das noch gar nicht kennt), sondern nur zur Kennzeichnung als das Inverse zu bezüglich Multiplikation.
 
 
Potenzgnom Auf diesen Beitrag antworten »

Wink Mulder

Ok ich hab ein wenig rumgewurschtelt und es jetzt mal so versucht:

Hier nochmal das zu beweisende:



Es gibt ja zu jedem mit ein . D.h. auch zu dem auf der rechten Seite gibt es dieses Inverse:



Dann ist laut Definition des Inversen:



Und dann nochmal die Definition des Inversen ergibt:



Ist

Ist das ok so? Big Laugh

Gruß
Potenzgnom Auf diesen Beitrag antworten »

Oh mist, zu beweisen war natürlich (x^-1)^-1 = x aber egal, dann sag ich eben das man von links und rechts das inverse hin zu "gibt" und dann geht es so weiter wie ich es geschrieben hab smile

Gruß
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

@Potenzgnom

Bei b) hast du dich mit Sicherheit verschrieben. Das ganze macht allenfalls mit dem entgegengesetzten Relationszeichen Sinn, d.h.

Zitat:
(b) Falls für alle gilt, gilt auch
Potenzgnom Auf diesen Beitrag antworten »

Hey Hal 9000, alles fit im Raumschiff? Big Laugh

Ja hab mich verschrieben, wie so oft^^ Aber ist mein Ansatz mit dem Beweis richtig??

Da würde ich gleich was für die b) versuchen Freude

Gruß
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Also deiin erster Versuch war natürlich nix, denn

Zitat:

ist auf jeden Fall Murks. Denn da steht



Zitat:
Oh mist, zu beweisen war natürlich (x^-1)^-1 = x aber egal, dann sag ich eben das man von links und rechts das inverse hin zu "gibt"

Man sollte drauf achten, die zu zeigende Aussage nicht für den Beweis dieser Aussage zu verwenden. Auch aus etwas falschem kann man nämlich etwas richtiges folgern. Man muss da aufpassen, wie man es formuliert.

ist invertierbar, also gibt es ein , so dass ist. Und daraus kann man jetzt das gewünschte folgern, z.B. indem man mit multipliziert, bzw. die Eindeutigkeit des Inversen benutzt, wenn das schon gezeigt wurde.
Potenzgnom Auf diesen Beitrag antworten »

Ahsoow, wenn ich etwas invertiertes invertieren will dann muss ich es noch mal invertieren^^ ok das hab ich verstanden. Dann kann man das selbe Argument auch mit der rechten Seite benutzen:

Also ist invertierbar deswegen gibt es ein , so dass dann wären beide und die Gleichung stimmt und wenn ich dann noch dazu multipliziere, wie du gemeint hast, dann kommt .
Ich denk das stimmt oder? Freude

Gruß
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Potenzgnom
Also ist invertierbar deswegen gibt es ein , so dass dann wären beide und die Gleichung stimmt und wenn ich dann noch dazu multipliziere, wie du gemeint hast, dann kommt .

Welche "beiden" sind 1? Welche Gleichung stimmt? Wenn du wo was multiplizierst, kommt wo x=x?

Es herrscht wohl noch Übungsbedarf, wenn es darum geht, etwas klar auszudrücken und auf den Punkt zu bringen. Augenzwinkern
Potenzgnom Auf diesen Beitrag antworten »

Dann nur in mathe-Sprache Big Laugh :



Wenn das ok ist versuch ich dann weiter zur b) Freude
Hier noch mal die Aufgabe:
Falls für alle , gilt auch .


Es gibt da nur diese Definition:

Zu jedem existiert ein , so das für alle .

Das ist ja die Definition vom Grenzwert, könnte ich jetzt nicht einfach die obere Gleichung machen, dann hätte ich:


Aber dann hab ich halt keine Betragsstriche, so ganz weiß ich nicht genau was ich machen soll verwirrt

Gruß
HAL 9000 Auf diesen Beitrag antworten »

Zitat:
Original von Potenzgnom
Es gibt da nur diese Definition:

Zu jedem existiert ein , so das für alle .

Das ist ja die Definition vom Grenzwert

Allerdings, aber wieso bringst du die hier an, hier gibt es doch gar keine Folge ? Ist das ein Pawlowscher Reflex beim Auftauchen des Symbols ? Augenzwinkern

Ich würde es eher mit einem indirekten Beweis versuchen: Angenommen, gilt nicht, dann muss wegen der totalen Ordnung in dann gelten, d.h. dann auch . Nun betrachte mal die Voraussetzung für ...
Potenzgnom Auf diesen Beitrag antworten »

Die Voraussetzung für Epsilon ist doch aber anders? Also nicht ?? Und das dann auch gilt kann doch nicht sein oder? Es könnte ja z.b. 2-4 sein und dann is es kleiner als Null hhm

Gruß
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Lies den Beitrag von HAL nochmal genauer. Macht irgendwie den Eindruck, als wäre kein Wort davon bei dir angekommen.

Zu beweisen ist, dass a kleinergleich b ist. Wenn man nun annimmt, dass a>b ist und das zu einem Widerspruch führt, dann hat man genau das doch bewiesen.
Potenzgnom Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ich könnte dann die Ungleichung am Anfang noch umformen:



Und beide Seiten sollen größer als 0 sein, ja aber das ist doch nicht schlimm, können sie doch oder? Ooh immer diese Rätsel.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »

Also eigentlich steht die Lösung ja zu 95% schon da. Also nochmal Gedanken ordnen: Wir wissen:



Nun wollen wir zeigen, dass dann sein muss.

Wir nehmen einfach mal das Gegenteil an, also dass ist. Beachte: Das nehmen WIR jetzt an. Wir unterstellen das. Wenn wir jetzt zeigen, dass sich daraus Widersprüche ergeben,dann haben wir gezeigt, dass nicht sein kann.

Wenn aber ist, dann ist doch auch . Das sollte klar sein.

Die Ungleichung



gilt für absolut jedes . Das ist Voraussetzung. Bedenke, das ist einfach eine beliebige positive Zahl. Da wir aber annehmen, muss diese Ungleichung auch für gelten. Denn IST eine positive Zahl nach unserer eigenen Annahme.

Setz das mal in diese Ungleichung oben ein, was ergibt sich dann?
Potenzgnom Auf diesen Beitrag antworten »

Oh man, ok ich hab die ganze Zeit vor dem Blatt gesessen und mir gedacht "Ja aber die sind doch beide ungleich null, was ist daran so schlimm?", da muss man(ich) echt aufpassen Forum Kloppe

gibt dann ja und kann nicht gleichzeitig größer und kleiner sein als es selbst.
Potenzgnom Auf diesen Beitrag antworten »

Also ich denke das die Aufgaben dann fertig sind und bedanken mich bei Mulder und HAL 9000 für ihre geduldige Hilfe Freude
Und dann euch beiden noch eine gute Nacht smile

Lg
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