Riemann-integrierbar - ja? - nein?

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itchy00 Auf diesen Beitrag antworten »
Riemann-integrierbar - ja? - nein?
HI,

hab ein "kleines" Problem mit zwei Funktionen. Die erste haben wir vor zwei drei Wochen bearbeitet. Dann kam die andere.





jetzt gilt angeblich (so unsere Dozentin), dass f(x) Riemann-integrierbar (R-intbar) ist, g(x) allerdings nicht.

Wir haben R-intbar so definiert:



also d.h. man kann die Zange bei geeigneter unterteilung der x-Achse beliebig eng um f schließen (O,U heißt Ober-,Untersumme).

Das ganze muss wohl irgendwas mit den Stetigkeitsstellen zu tun haben. Die erste Funktion soll an den irrationalen Stellen stetig sein, und da es nur abzählbar viele rationale (Unstetigkeits-)Stellen gibt lässt sich ein endlicher Flächeninhalt zuordnen. Also R-intbar
(bzw. es gibt für ein geeignetes nur abzählbar viele Fkt.-Werte oberhalb von )

Bei der zweiten Funktion haben wir aber ganz einfach gesagt, dass nie kleiner als 1 werden kann, da die Funktion ja springt. Also nicht R-intbar

Ich sehe jetzt nicht ganz den Unterschied zwischen den beiden Funktionen. Beide haben doch nur abzählbar viele Unstetigkeitsstellen (oder seh ich das schon falsch). Genauso springen sie beide. Wie kann die eine R-intbar sein und die andere nicht???????
Hilfe, wo ist mein Denkfehler

thx
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-integrierbar - ja? - nein?
Ich habe mir jetzt nicht die Begründung klargemacht, warum integrierbar ist, aber ist auf ganz unstetig.
Abakus Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-integrierbar - ja? - nein?
Siehe erstmal hier: Popcorn-Funktion. Ggf. findest du auch noch andere Threads.

Grüße Abakus smile
itchy00 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-integrierbar - ja? - nein?
Zitat:
Original von papahuhn
..., aber ist auf ganz unstetig.



ja, das ist ja meine eigentliche Frage. Denn wenn ich weiß, dass die Funktion g überall unstetig ist, dann ist sie auch nicht R-intbar.
Aber wieso ist sie überall auf [0,1] unstetig.
Bei der Funktion f ist das ja nicht so. Die ist in den irrationalen Stellen stetig, und in den (nur abzählbar vielen) rationalen Stellen unstetig (sollten wir damals jedenfalls zeigen). Und die ist R-intbar.

Warum ist aber g(x) auch an den irrationalen Stellen unstetig. Wo ist denn da der Unterschied zu f(x). Außer dass der Wert den die Funktion an den rationalen Stellen annimmt halt einmal immer 1 und einmal 1/q ist. Aber springen tut sie doch trotzdem???
Oder spielt das mit dem "gekürzten kleinstmöglichen Bruch" ne Rolle???

?
papahuhn Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Riemann-integrierbar - ja? - nein?
Damit an einer irrationalen Stelle stetig ist, muss gelten.
In einem Intervall gibt es maximal eine gekürzte rationale Zahl mit , denn die nächste ist ja entfernt. (*)

Jetzt werd ich mal bewusst salopp:
Wenn sich auf den Weg zu macht, passiert es eine ganze Menge irrationaler und rationaler Zahlen. Wenn der Abstand kleiner 1 wird, gibt es wegen (*) maximal eine natürliche Zahl dazwischen. Diese sei mal als "kritische Zahl" bezeichnet. Sobald die kritische Zahl passiert hat, ist die nächste kritische Zahl eine Zahl, die die 2 im Nenner stehen hat. Wieder gilt: Sobald der Abstand von zu kleiner ist und die aktuell kritische Zahl (2) überschritten ist, ist die nächste kritische Zahl größer 2.
Das ganze kann man so weiterspinnen. An irrationalen Stellen ist sowieso gleich 0, durch das abarbeiten aller kritischen Zahlen mit wachsendem Nenner wird die obere Schranke immer weiter runtergedreht. Es bedeutet allerdings _nicht_, dass monoton fällt, wenn man ihren Definitionsbereich auf rationale Zahlen einschränkt. Doch das ist für die Stetigkeit nicht nötig.
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