Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren |
21.04.2012, 17:24 | happy12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren Hallo, ich soll zeigen, dass: definieren die gleiche Funktion äquivalent zu alle Koeffizienten von f und g sind gleich. Meine Ideen: Meine Idee sieht wie folgt aus: Angenommen f(t)=0 für alle , wobei . Setze t=0 um zu folgern, dass ist. Dann folgt für alle , also auch für alle . Mit vollständiger Induktion nach n folgert man nun, dass ist für alle i=0,...,n. Stimmt das so oder seht ihr noch nen Denkfehler? BIn für jedes Drüberschauen und Mitdenken dankbar. |
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21.04.2012, 20:43 | lp-raum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Eventuell nur ein Schreibfehler, aber ist die Menge der rationalen Funktionen mit Koeffizienten in C, nicht nur der Polynome. Der Teil, den du gemacht hast, passt. |
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21.04.2012, 21:20 | happy12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
dann sind f, g einfach nur? Danke fürs Kommentieren! |
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21.04.2012, 22:06 | lp-raum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Was meinst du? Wenn wirklich rationale Funktionen gemeint sind, das sind Quotienten von Polynomen |
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21.04.2012, 23:07 | happy12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
ach so klar, das hast du gemeint, steh allerding jetzt gerade nen bisschen auf dem schlauch wie ich den beweis dementsprechend anpassen müsste, was fehlt denn dann jetzt noch ? |
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22.04.2012, 01:39 | lp-raum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Du hast doch nur gezeigt, dass ein Polynom, das überall Null ist, das Nullpolynom sein muss (alle Koeffizienten 0 sind). Die Frage ist, warum aus f=g folgt, dass f und g alle Koeffizienten gleich haben. |
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22.04.2012, 04:43 | SusiQuad | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren Ein paar Zeilen zur Orientierung: Für mich ist Ring mit über einem Körper und . Für zwei Elte. gilt: Andererseits ist jedes eine Funktion. Z.zg. ist, dass eine Äquivalenzrel. auf ist mit Bzw. gleichwertig: Dies zerlegt disjunkt. Bleibt nur zu überlegen, warum einelementig ist (was bei sonstigen, z.B. endlichen PolyRingen nicht der Fall ist). Stichwort: Identitätssätze von Funktionen. Darfs nicht nur stetig, sondern auch sein, wirds einfach ... ?! |
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22.04.2012, 11:44 | happy12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren also muss ich jetzt nur noch zeigen, dass die Relation transitiv, reflexiv und symmetrisch ist. Und dann stimmt der beweis? |
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22.04.2012, 13:43 | SusiQuad | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren
Leider Nein. - Dann würde die Aussage für jeden Körper gelten. Z.Zg. ist noch, dass einelementig ist, d.h. zwingend nach sich zieht, wenn gegeben ist. Einfaches Bsp. wo diese Richtung NICHT gilt, die Umkehrung jedoch immer ... ... hat 2 Elemente. Es gibt genau 4 Abbildungen (wenn man Funktionen danach unterscheidet, dass sie versch. Funktionswerte haben) und die sind Polynome: . selber (Unterscheidung nach Koeff.) hat unendlich viele. So ist dort . Jedoch gilt in ... Stichwort: endl. Char. Andere Stichworte hatte ich im Beitrag gegeben. Es muss an liegen ... |
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22.04.2012, 15:22 | Aja | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren hi, ich hab im moment so ziemlich die gleich Aufgabe und auch so meine Problem damit , ich bin mir nicht sicher ob ich dich ganz richtig verstanden habe, aber kommst dann hin wenn ich happy12 obigen Beweis folgendermaßen ergänze ? Angenommen f(t)=0 für alle , wobei . Setze t=0 um zu folgern, dass ist. Dann folgt für alle , und daraus folgt für alle . Da stetig ist, folgt und damit folgt für dass also und dann fortfahren, und somit dann auch |
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22.04.2012, 17:37 | SusiQuad | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren @Aja Prinzipiell ok. Was hälst Du von der ff. Idee um dem aus dem Weg zu gehen ... Nehme an und , dann ... mit Widerspruch (iterativ) |
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22.04.2012, 17:44 | happy12 | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
RE: Beweis Polynome mit stetigen Fkt. C -> C identifizieren Vielen Dank für all die Hilfe! |
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23.04.2012, 04:07 | lp-raum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Wenn man die (auch sonst sehr nützliche und sehr bekannte) Aussage kennt, dass sich ein Polynom immer als für ein Polynom schreiben lässt, wenn a eine Nullstelle von f ist, kann man sich auch Stetigkeitsargumente sparen, dann ist gleich klar, dass ein Polynom nur endlich viele Nullstellen haben kann. |
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23.04.2012, 04:23 | lp-raum | Auf diesen Beitrag antworten » | ||
Ergänzung: Ich meine natürlich ein Polynom, das nicht das Nullpolynom ist. |
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