Dimension des Spaltenraum einer Matrix Mit Basis

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golmi_muetze Auf diesen Beitrag antworten »
Dimension des Spaltenraum einer Matrix Mit Basis
Meine Frage:
Hallöchen an alle,

ich bearbeite gerade eine Übungsaufgabe für eine Klausur, nur find ich kein wirklichen Ansatz.
Die Aufgabe:



a) Ermitteln sie Die Dimension des Spaltenraums S(A) der Matrix A. geben sie eine Basis an.
b)Sei . Berechnen Sie die Projektion von b auf S(A).
c) Ist das Gleichungssystem A.x=b konsistent?

Meine Ideen:
Ansatz für a;
Ich hatte überlegt wenn ich die Matrix Transponiere kann ich das Gauß verfahren anwenden. Dadurch kann ich ja die uhrsprünglichen Spalten auf unabhängigkeit prüfen und hätte gleichzeitig die Dimension.
Die Dimension ist ja die Anzahl an linear unabhängigen Zeilen.


So an dieser Stelle habe ich 2 Spaltenvektoren


ansatz für b)
Eine Projektion istja kein Problem aber wie lautet der Spaltenraum?

c)
leider habe ich hierzu keine Idee wie ich das angehen soll. =(

lg Micha
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Dimension des Spaltenraum einer Matrix Mit Basis
Hi,

du bestimmst den Rang der Matrix. Der Rang ist ja definiert als,

D.h. Du bringst die Matrix in Zeilenstufenform. smile
golmi_muetze Auf diesen Beitrag antworten »

Also lag ich mit dem Transponieren von A , dann Gauß verfahren Richtig?!
Also hat der Spaltenraum der Matrix die Dimension 2? bzw den Rang 2?
Aber wie bekomme ich diese Basis herraus?

PS: Ich wollte diese Frage eigentlich in Algebra packen statt Analysis, hatte mich leider verklickt. wies jemand wie ich das verschieben kann?
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »

Transponieren musst du dort garnichts. Das Bild der Matrix kannst du nun eigentlich ablesen wenn du die Matrix in Zeilenstufenform gebracht hast. Es sind die "Stufen" an den die Treppe runter geht, d.h. die liest die Zahl ab an der die Matrix eine Zeile weiter runter geht und schaust in deiner Ausgangsmatrix welche Spalten es sind. Diese Spalten geben dir dann die Basis an - Etwas komisch ausgedrückt.
golmi_muetze Auf diesen Beitrag antworten »
RE:Dimension des Spaltenraum einer Matrix Mit Basis
Gut. Soweit sogut.



das heißt ich habe 2 Basisvektoren einmal die Spalte 1 und die Spalte 2.
Die 3. Spalte ist keine Basis, weil sie an der 3. Stufe eine Nullzeile beherbergt oder?

Laut aufgabenstellung brauch ich nur eine von diesen Basen




Bin ich da jetzt auf dem Richtigem weg? oder ist er hölzern?
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: RE:Dimension des Spaltenraum einer Matrix Mit Basis
Du hast dir die richtigen Spalten angeschaut. Die Basisvektoren sind allerdings die Spalten aus der ursprünglichen Matrix also aus,

 
 
golmi_muetze Auf diesen Beitrag antworten »
RE:Dimension des Spaltenraum einer Matrix Mit Basis
Ich Danke dir!
So nun weis ich wie ich zumindestens schonmal das.
Weist du wie ich jetzt noch zu dem Spaltenraum S(A) komme?
(für die Projektion brauch ich ja eigentlich das als Vektor)

Die einzelnen Spalten sind ja:

;;

Wie komme Ich zu dem Spaltenraum von dieser Matrix bzw. von den Spaltenvektoren?

PS: Was ich noch fragen wollte ist die Dimension des Spaltenraums identisch mit der Dimension des Zeilenraums? deswegen habe ich vorhin überlegt ob ich diese Matirx Transponieren soll.

Ich bin dir übrigens sehr dankbar das du dir dafür zeit nimmst.
Cheftheoretiker Auf diesen Beitrag antworten »
RE: RE:Dimension des Spaltenraum einer Matrix Mit Basis
Da darf gerne jemand anderes weiter machen! smile
golmi_muetze Auf diesen Beitrag antworten »
RE:Dimension des Spaltenraum einer Matrix Mit Basis
Ich lese überall das der Vektorraum nicht durch ein einzelnen Vektor angegeben wird, sondern immer mit den Vektoren die den Raum bzw. Unterraum aufspannen.

Da ich keine Lösung zu der Aufgabe habe kann ich auch leider nicht nachvollziehen ob es richtig ist.
Meine Überlegung für b) :

Wenn der Raum bzw die Ebene durch die 2 Basisvektoren aufgepannt Aufgespannt wird, muss man die Projektion von
auf die Basisvektoren des S(A) (= Spaltenraum von A)
auf jeden einzelnen der beiden Basisvektoren durchführen um die Aufgabe zu lösen?
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