Extremwertaufgabe Flächenberechnung

Neue Frage »

jonas99 Auf diesen Beitrag antworten »
Extremwertaufgabe Flächenberechnung
Hey, ich hatte noch eine ähnliche Aufgabe gefunden und würde mich wieder über eure Hilfe freuen.
(die Aufgabe hab ich als Bild angehangen)

Ich hab mir überlegt, dass die Gerade oder die Funktion die Gleichung
y = -3/4x + 60m hat, aber wie immer habe ich keine richtige Idee wie ich anfangen kann. Vielleicht einen Punkt ausrechnen ?! (ich hätte gedacht der Punkt des
Rechtecks, der die Funktion berührt)

[attach]24100[/attach]


Edit Equester: Neue Frage, neuer Thread bitte smile .
Hier abgetrennt: Frage zur Flächenberechnung
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Deine Geraden Gleichung stimmt.

Jetzt brauchen wir eine Funktion, die in abhängigkeit dieser Geradengleichung den Flächeninhalt des Rechteckes beschreibt.

Hast du eine Idee??
Dopap Auf diesen Beitrag antworten »

die Idee mit dem Punkt auf der Geraden wurde schon angedeutet.
Es geht jetzt mehr um das formale Ausformulieren der Idee.
jonas99 Auf diesen Beitrag antworten »

nicht wirklich. Ich hätte aber vllt eine Formel genommen, die man dann in die Scheitelpunktform umstellt oder so . Oder vllt A(x) = x ( 80m -x) bin mir da aber überhaupt nicht sicher.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Die Fläche des Rechteckes wird ja durch das Dreieck begrenzt.

Wenn x die Breite des Rechtecks ist, wie lautet dann die höhe??
jonas99 Auf diesen Beitrag antworten »

Aber ist x nicht die Breite des Dreiecks ?
Die Höhe ist dann y ?
 
 
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Dadurch, dass die Breite und Höhe des Rechtecks von dem Dreieck abhängt, kann man von dem einem auf das andere schließen.

y ist die Höhe. Das ist korrekt, wir brauchen aber eine andere Schreibweise für y.

Wenn du Beispielsweise x=2 hast.
Wie erhältst du den zugehörigen y-Wert??
Was tust du?
jonas99 Auf diesen Beitrag antworten »

Da würde ich dann die x-Zahl in die Gleichung für x einsetzen.
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

f(x)=-3/4x+60

Was können wir also anstatt y schreiben?
jonas99 Auf diesen Beitrag antworten »

60 vielleicht ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich wollte eigentlich auf f(x) hinaus. smile


Wie können wir nun die Fläche des Rechtecks, in Abhängigkeit des Dreiecks, darstellen?
jonas99 Auf diesen Beitrag antworten »

Meinst du jetzt A(x) ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ich meine unsere Zielfunktion.
jonas99 Auf diesen Beitrag antworten »

achso, achso ich bin grade nicht so mitgekommen ;D
y= -3/4*80 + 60 ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.

Wir haben oben ja festgehalten, dass die Breite des Rechtecks x und die Höhe f(x) ist.

Die Fläche eines Rechtecks ist ja Breite mal Höher (Länge mal Breite, wie auch immer)

Wie sieht jetzt also A(x) aus?
jonas99 Auf diesen Beitrag antworten »

A = x*y ?!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

y=f(x)

A(x)=x*f(x)


So lautet unsere Zielfunktion.

Jetzt können wir f(x) wieder durch -3/4x+60 ersetzen und haben dort stehen:

A(x)=x(-3/4x+60)

Siehst du das alles ein?
Oder gibt es fragen?

Wie gehst du jetzt weiter vor???
jonas99 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja, gut okay. Habs verstanden.

Ich würde daraus die Scheitelpunktform machen und den Scheitelpunkt ausrechnen ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Das kannst du machen. Einfacher kriegst du es aber wenn du die erste Ableitung von A(x)=0 setzt. Augenzwinkern

Deine Methode geht auch, ist jedoch meiner Meinung nach umständlicher, aber wenn du lieber mit dem Scheitelpunkt arbeiten möchtest kannst du das auch tuen.
jonas99 Auf diesen Beitrag antworten »

ja, wäre glaube besser für mich, weil wir in mathe parabeln und den scheitelpunkt haben.

ist dann
A(x) = x(-3/4x+60)
= -3/4x² + 60x
= -3/4 [x²-45]
= -3/4 [(x-22,5)²-506,25]
= -3/4 (x-22,5)² +379,6875

S(22,5 | 379,6875)

richtig ?

und 379,6875 ist die Fläche dann ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Wenn du aus 60 die -3/4 ausklammerst, dann ist das nicht -45.

Denn

Des Weiteren unterschlägst du im weiterem Verlauf das x.

Deine vorgehensweise ist allerdings korrekt. Das was dich runterzieht ist der fehler beim Ausklammern.
jonas99 Auf diesen Beitrag antworten »

A(x) = x(-3/4x+60)
= -3/4x² + 60x
= -3/4 [x²-80]
= -3/4 [(x-40)²-1600]
= -3/4 (x-40)² -1200

jetzt richtig ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja so stimmt das.

Wie lautet den nun unser Scheitelpunkt?

Edit: Du hast einen Vorzeichenfehler gemacht.
Es muss +1200 lauten.

Wenn du die -3/4 wieder reinziehst wird es positiv.

Hab gerade Blödsinn erzählt.
jonas99 Auf diesen Beitrag antworten »

der ist dann S(40 | 1200)

wenn 1200 die Höhe des Rechtecks ist muss ich doch dann für die Fläche
1200*40 rechnen oder ?
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

1200 ist nicht die höhe des Rechtecks. Ich habe oben Müll erzählt.

Die Höhe müssen wir durch einsetzen des x-Wertes in die Geradengleichung ausrechnen.
jonas99 Auf diesen Beitrag antworten »

y= -3/4* 40+60
y=30

aber dann 40*30 und das ergibt dann die Fläche ?!
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Richtig.

Jetzt müssen wir allerdings noch prüfen ob x=40 auch tatsächlich das Maximum ist.

Wie machen wir das?
jonas99 Auf diesen Beitrag antworten »

30 = -3/4x+60 und dann nach x umstellen da kommt 40 raus
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Nein.

Das machen wir mit der zweiten Ableitung von A(x)

Wir gucken also was:

für ein Ergebnis bringt.

Denke dabei an Hoch bzw. Tiefpunkte bei einer Kurvendiskussion.
jonas99 Auf diesen Beitrag antworten »

Okay. und dann ist man fertig ?
jonas99 Auf diesen Beitrag antworten »

Dankeschön schonmal smile Du hast mir schon zum 2.Mal geholfen. Danke, Danke smile
Gast11022013 Auf diesen Beitrag antworten »

Ja ist es.
Sollte nicht das gewünschte Ergebnis rauskommen, so musst du die Randwerte betrachten.
Dies entfällt hier allerdings.

Schon mal gern geschehen. Augenzwinkern
Neue Frage »
Antworten »



Verwandte Themen

Die Beliebtesten »
Die Größten »
Die Neuesten »