l'Hospital ln(x)+ (1/sin(x))

21.04.2012, 23:59

MarOl1992

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l'Hospital ln(x)+ (1/sin(x))

Meine Frage:
Hallo,
brauche mal wieder Hilfe, diesmal gehts um l'Hospital!

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{+} } (ln(x) + \frac{1}{\sin(x) } ) \end{eqnarray*}$

Meine Ideen:
Habe erstmal umgeformt zu

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{+} } (\frac{\sin(x)*ln(x) + 1}{\sin(x) } ) \end{eqnarray*}$

Frage:

Der Nenner nimmt ja, wenn man nun aus dem positiven gegen 0 geht, einen sehr sehr kleinen Wert an, damit würde ein Bruch gegen unendlich gehen.
Der ln geht für einen sehr sehr kleinen Wert immer weiter ins negative, für Null ist er nicht definiert. Der sinus, wie im Nenner gegen etwas sehr kleines.
Die Frage ist nun, ist nun der Grenzwert, dadurch das der Nenner klein wird unendlich, oder kommt man von diesem Ausdruck irgendwie auf "unendlich/unendlich" oder "0/0" um l'Hospital anwenden zu dürfen?

LG
Marcel

22.04.2012, 00:52

Kimi_R

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Bei $\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{+} } \frac{\sin(x)*ln(x) + 1}{\sin(x) } \end{eqnarray*}$ weiß man nicht, wer im Zähler "stärker" ist, der ln (geht gegen - unendlich) oder der Sinus (geht gegen 0)

Bevor wir uns den ganzen Quotienten anschauen müssen wir also den Grenzwert dieses Produkts klären. Trick:

$\begin{eqnarray*} sin(x)*ln(x) = \frac{sin(x)}{\frac{1}{ln(x)}} \end{eqnarray*}$

22.04.2012, 00:53

SusiQuad

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RE: l'Hospital ln(x)+ (1/sin(x))
l'Hospital ?

$\begin{eqnarray*} \ln(x)+\frac{1}{\sin(x)} > \ln(x) + \frac{1}{x} = \frac{x\,\ln(x)+1}{x}> \frac{-\tfrac{1}{2} +1}{x} = \frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$

Einmal was Bekanntes mit $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ und einmal Mini von $\begin{eqnarray*} x\, \ln(x) \end{eqnarray*}$ abschätzen ...

22.04.2012, 20:15

MarOl1992

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Zitat:

Original von Kimi_R
Bevor wir uns den ganzen Quotienten anschauen müssen wir also den Grenzwert dieses Produkts klären. Trick:

$\begin{eqnarray*} sin(x)*ln(x) = \frac{sin(x)}{\frac{1}{ln(x)}} \end{eqnarray*}$

Wenn ich es so schreibe, habe ich ja quasi "0/0", also l'Hospital erlaubt.

Leite ich nun Zähler und Nenner unabhängig ab, komme ich zu:

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^{+} } \frac{\cos(x)}{\frac{-1}{x*ln²(x)} } \end{eqnarray*}$

Damit hätte ich im Nenner ja wieder x (was gegen 0 geht) und ln(x) was gegen -unendlich geht..

Führe ich das so weiter, sprich erst wieder die beiden betrachten, dann geht mein Aufwand gegen unendlich Big Laugh

Big Laugh

Oder was mache ich falsch?

Sollte ich die Methode von SusiQuad viellleicht eher anlernen?

LG
Marcel

22.04.2012, 20:49

Kimi_R

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Edit (mY+): Vollquote entfernt! Bitte im Interesse der Übersichtlichkeit mit Quotas sparsam umgehen! Unnötige Vollquotes werden entfernt.

Also um ehrlich zu sein, hab ich meinen Gedankengang nicht zu Ende gebracht. Das war nur eine spontane Idee von mir um l'Hopital anwenden zu können. Scheint einen aber wohl doch nicht ans Ziel zu führen

SusiQuads Lösung ist super elegant und auch nachvollziehbar. Ist halt die Frage ob man etwa in einer Prüfung dann auch selber drauf kommt. Das ist ja letztlich entscheident

22.04.2012, 21:09

Mystic

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Wenn man sowas hat wie sin x * ln x für x ->0 immer daran denken, dass man sin x sofort durch x ersetzen darf... Genauer gilt

$\begin{eqnarray*} \sin x \cdot \ln x = \underbrace{\frac {\sin x}x}_{\to 1} \frac { \ln x}{\frac 1x} \end{eqnarray*}$

wobei der zweite Faktor für x ->0 dann zu einer "leichten" Anwendung von l'Hospital wird...

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22.04.2012, 21:41

MarOl1992

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RE: l'Hospital ln(x)+ (1/sin(x))

Zitat:

Original von SusiQuad
$\begin{eqnarray*} \ln(x)+\frac{1}{\sin(x)} > \ln(x) + \frac{1}{x} = \frac{x\,\ln(x)+1}{x}> \frac{-\tfrac{1}{2} +1}{x} = \frac{1}{2x} \end{eqnarray*}$

Einmal was Bekanntes mit $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ und einmal Mini von $\begin{eqnarray*} x\, \ln(x) \end{eqnarray*}$ abschätzen ...

Aber wieso ist denn von $\begin{eqnarray*} x*ln(x) \end{eqnarray*}$ ein Mini $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ ?

Ansonsten kann ich das auch soweit nachvollziehen.

Zitat:

Original von Kimi_R
SusiQuads Lösung ist super elegant und auch nachvollziehbar. Ist halt die Frage ob man etwa in einer Prüfung dann auch selber drauf kommt. Das ist ja letztlich entscheident

Wenn sich herausstellt, dass es wirklich super einfach und elegant klappt, dann rechne ich dazu ab und an immer wieder n paar Aufgaben, dann wird sich das schon einprägen smile

smile

LG

Wink

22.04.2012, 23:16

Fragen über Fragen

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Wenn nach Anwenden der l'Hospitalschen Regel unendlich rauskommt, geht dann auch der ursprüngliche Ausdruck gegen unendlich?

(Rest gelöscht, sorry)

22.04.2012, 23:42

SusiQuad

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RE: l'Hospital ln(x)+ (1/sin(x))
@MarOl1992

Genau lesen. Ich habe das Mini. von $\begin{eqnarray*} x\,\ln(x) \end{eqnarray*}$ abgeschätzt (weil es in der Formel besser aussieht). Schaffst Du das mit dem Ableiten von $\begin{eqnarray*} x\cdot\ln(x) \end{eqnarray*}$ ?

Tatsächlich habe ich zwischen $\begin{eqnarray*} -\frac{1}{2} \end{eqnarray*}$ und $\begin{eqnarray*} -\frac{9}{10} \end{eqnarray*}$ geschwankt, es hätte auch $\begin{eqnarray*} e-\pi \end{eqnarray*}$ sein können. - Warum wohl ??!

Ernsthaft: Ich sehe $\begin{eqnarray*} x\,\ln(x) \end{eqnarray*}$ im Zähler und erkenne $\begin{eqnarray*} \xrightarrow{x \to \infty} +\infty \end{eqnarray*}$ . Also weiss ich auch (durch gedankliche Subst. $\begin{eqnarray*} x \to \frac{1}{x} \end{eqnarray*}$ ) was bei $\begin{eqnarray*} x \approx 0^{+} \end{eqnarray*}$ passiert.

Und die Nummer mit $\begin{eqnarray*} \sin(x) \leq x \end{eqnarray*}$ kennt man, seit die Ableitung von $\begin{eqnarray*} \sin \end{eqnarray*}$ existiert.

HTH

22.04.2012, 23:49

MarOl1992

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Das mit dem Ableiten bekomme ich hin, ist ja einfach Produktregel (bzw ln(x) auch noch Kettenregel).

Aber das mit dem Abschätzen auf -1/2 (oder den anderen Werten) kann ich leider immernoch nicht nachvollziehen..

e-pi hat das was damit zu tun, dass der ln die Umkehrfunktion von e ist?

@Fragen über Fragen:

ja.

23.04.2012, 00:26

Fragen über Fragen

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Ich habe einen Vorschlag; bin mir aber nicht 100% sicher, ob alles stimmt.
Erstmal umschreiben:
$\begin{eqnarray*} \ln(x) + \frac{1}{\sin(x)} = \ln(x \cdot e^{\frac{1}{\sin(x)}} ) \end{eqnarray*}$

Den Limes kann man in den ln reinziehen.

$\begin{eqnarray*} x \cdot e^{\frac{1}{\sin(x)}} \geq x \cdot e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$

und es gilt (z. B. wegen Reihendarstellung der exp-Funktion)

$\begin{eqnarray*} <br /> \lim_{x \to 0+0} {e^{\frac{1}{x}}}x=\infty \end{eqnarray*}$

23.04.2012, 00:29

SusiQuad

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$\begin{eqnarray*} x\,\ln(x) \xrightarrow{\tiny\text{Prod.Regel}} 1\cdot\ln(x) + x\,\frac{1}{x} \overset{!}{=} 0 \iff x= \frac{1}{e} \xrightarrow{\tiny\text{in f(x) einsetzen}} -\frac{1}{e} \end{eqnarray*}$

[attach]24136[/attach]

$\begin{eqnarray*} \text{Min.} = -\frac{1}{e} < e-\pi < -1 \end{eqnarray*}$ wie Anna Kournikowa, sieht gut aus, nix dahinter. D.h. Die Abschätzung hätte so auch geklappt.

Wink

Wink

23.04.2012, 00:49

SusiQuad

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@Fragen über Fragen

Der Ausdruck $\begin{eqnarray*} \bullet=x\,e^{\frac{1}{x}} \end{eqnarray*}$ ist vom Typ $\begin{eqnarray*} 0\cdot \infty \end{eqnarray*}$
l'Hospital sieht gerne Typ $\begin{eqnarray*} \frac{0}{0} \end{eqnarray*}$
also nehme $\begin{eqnarray*} \bullet= \frac{x}{e^{-\frac{1}{x}}} \end{eqnarray*}$ .

- ok. - Wenns gefällt ?!
___________

Edit + PS.:

Begründung ist die Monotonie von $\begin{eqnarray*} \exp \end{eqnarray*}$
Obwohl ... auch die erkennt man an der Reihendarstellung ...

Haltet die Dinge so einfach als möglich.

23.04.2012, 09:10

Mystic

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Wer mich kennt, weiß, dass ich ansonsten durchaus Sympathien für Lösungsvarianten "abseits dem Hauptwege" habe, in diesem Fall ist aber die Umformung

$\begin{eqnarray*} \ln x +\frac 1 {\sin x} =\frac{\sin x \ln x+1}{\sin x} \end{eqnarray*}$

mit anschließender Berechnung von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} \sin x \ln x =0 \end{eqnarray*}$

wie oben angegeben so naheliegend, dass ich die "wilden Verrenkungen", die hier teils aufgeführt werden, nicht ganz nachvollziehen kann... verwirrt

verwirrt

24.04.2012, 15:05

MarOl1992

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Zitat:

Original von Mystic

mit anschließender Berechnung von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} \sin x \ln x =0 \end{eqnarray*}$

wie oben angegeben so naheliegend, dass ich die "wilden Verrenkungen", die hier teils aufgeführt werden, nicht ganz nachvollziehen kann... verwirrt

verwirrt

Da der ln von "nahezu" 0 aber doch gegen -unendlich geht, steht da nun ja wieder:

"0*(-unendlich)", also ein unbestimmter ausdruck..

Die Methode von FragenüberFragen, nach Verbesserung/Anmerkung von Susi kann ich am besten nachvollziehen und würde ich so auch in der Klausur vermutlich am ehesten hinbekommen. Und das Ergebnis (zumindest nach Vergleich mit Freunden) passt auch (unendlich).

LG

24.04.2012, 21:07

Mystic

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Zitat:

Original von MarOl1992
Da der ln von "nahezu" 0 aber doch gegen -unendlich geht, steht da nun ja wieder:

"0*(-unendlich)", also ein unbestimmter ausdruck..

Wenn du auf ein Posting antwortest, dann wäre doch das Mindeste was man erwarten könnte, dass du es einmal sorgfältig durchliest..

Zitat:

Original von Mystic

mit anschließender Berechnung von

$\begin{eqnarray*} \lim_{x \to 0^+} \sin x \ln x =0 \end{eqnarray*}$

wie oben angegeben

Hättest du auch wirklich gelesen, was ich "da oben" geschrieben habe, nämlich

Zitat:

Original von Mystic
Wenn man sowas hat wie sin x * ln x für x ->0 immer daran denken, dass man sin x sofort durch x ersetzen darf... Genauer gilt

$\begin{eqnarray*} \sin x \cdot \ln x = \underbrace{\frac {\sin x}x}_{\to 1} \frac { \ln x}{\frac 1x} \end{eqnarray*}$

wobei der zweite Faktor für x ->0 dann zu einer "leichten" Anwendung von l'Hospital wird...

so wäre dir insbesondere auch die Blamage erspart geblieben, so einen Unsinn zu schreiben wie eingangs angegeben... unglücklich

unglücklich

24.04.2012, 23:57

MarOl1992

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Zitat:

Original von Mystic
so wäre dir insbesondere auch die Blamage erspart geblieben, so einen Unsinn zu schreiben wie eingangs angegeben... unglücklich

unglücklich

Oh herrje, du hast natürlich recht, habe den wichtigsten Satz mit der Berechnung zwischen deinen beiden Zitaten übersehen! Dafür eine diiicke Entschuldigung!

25.04.2012, 00:19

Mystic

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Ok, akzeptiert... Immerhin bist du damit eine erfreuliche Ausnahme, denn nach so einem "Rüffel" bekommt man üblicherweise eine patzige Anwort, wenn überhaupt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

25.04.2012, 09:30

MarOl1992

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Zitat:

Original von Mystic..., denn nach so einem "Rüffel" bekommt man üblicherweise eine patzige Anwort, wenn überhaupt... Augenzwinkern

Augenzwinkern

Solche Leute kann ich überhaupt nicht leiden, man versucht ihnen zu helfen und wenn man sie korrigiert motzen die nur rum -.-

Ich würde eifnach mal abschließend ein großes Danke an alle Helfer aussprechen, denn ich glaube das Thema ist geklärt und mehrere Lösungswege wurden als Alternativen genannt smile

smile

LG und bis bald! Wink

Wink

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