Injektivität zeigen

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Fibonacci12 Auf diesen Beitrag antworten »
Injektivität zeigen
Meine Frage:
Wie zeige ich Injektivität an folgendem Beispiel?

f: {x element R, x größer gleich 0} --> R.
f(x) = x^3 + x^2.

Meine Ideen:
f(x) = f(y) --> x = y.

x^3 + x^2 = y^3 + y^2 --> ....... --> x = y.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität zeigen
Am einfachsten wäre es, über die Ableitung zu argumentieren.
Fibonacci12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität zeigen
Wenn man gezeigt hat, dass die Funktion differenzierbar ist, heißt das noch nicht, dass sie auch injektiv ist.

x^2 ist differenzierbar, aber nicht injektiv, da für y=1 zwei x-Werte existieren.

Das gilt glaube ich für Surjektivität. Hier geht es aber um Injektivität.
Mulder Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität zeigen
Zitat:
Original von Fibonacci12
Wenn man gezeigt hat, dass die Funktion differenzierbar ist, heißt das noch nicht, dass sie auch injektiv ist..

Hat das denn irgendjemand behauptet? Natürlich muss man mit der Ableitung dann noch etwas machen, bzw. sie untersuchen. Diese Aufgabe wollte ich dir überlassen.

Mit Surjektivität hät Differenzierbarkeit im übrigen auch nichts zu tun.
Fibonacci12 Auf diesen Beitrag antworten »
RE: Injektivität zeigen
Alles klar. Mit Hilfe der ersten Ableitung "streng monotones Wachstum" zeigen. Wenn die Funktion streng monoton steigt, ist sie auch injektiv, da es für alle y element R höchstens ein x element {x element R, x größer gleich 0} gibt.
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