Untervektorräume und Matrizen

22.04.2012, 23:02

Mimamumei

Untervektorräume und Matrizen

Meine Frage:
Hallo liebe Menschen,

gegeben sei folgendes LGS $\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1&1&1&1&1\\1&-1&0&0&0&0 \end{pmatrix}x = \begin{pmatrix} 0 \\ 0 \end{pmatrix} \end{eqnarray*}$
Dieses LGS definiere einen Unterraum des $\begin{eqnarray*} R^6 \end{eqnarray*}$

Meine Fragen:
1)"Wie" definiert ein Lgs einen Unterraum? Kann man das irgendwie anschaulich erklären? Ist das dann der Spalten- oder der Zeilenraum?
2)Welche Dimension hat dieser Unterraum? Kann ich sie irgendwie ausrechnen?
3)Wie hängen Orthogonalraum und definierter Untervektorraum zusammen?
4) In welchem Zusammenhang stehen Kern,Rang,Dimension (insbesondere die Rangformel) des definierten U-Vektorraumes und die entsprechenden Größen des Orthogonalraumes ?Gibt es eine solche Entsprechung ?

Ich habe über diese Begriffe gelesen und komme eigentlich nur durcheinander. Wenn ich glaube ein wenig verstanden zu haben bin ich im nächsten Moment wieder verwirrt.

Meine Ideen:
1) Das LGS definiert den Unterrvekorraum aller Vektoren die auf die Null abgebildet werden. Ergo aller Vektoren im Kern der Matrix. Ich kann also um beispielsweise eine Basis zu berechnen Vektoren suchen, die orthogonal bzgl des zugehörigen Skalarproduktes zu den Zeilenvektoren der Matrix sind und habe meine Basis des Untervektorraumes.
Aber was ist, wenn meine rechte Seite nicht der Nullvektor, mein untervektorraum also _nicht_ der Kern der MAtrix ist? Welcher Größe entspricht der Raum dann und wie berechne ich geschickt eine Basis?
Außerdem finde ich es ein wenig verwirrend, denn es hieß doch immer man kombiniert mit dem Lösungsvektor x die Spalten einer Matrix zu einer rechten Seite b... sind dann nicht die Spalten die Basis des Untervektorraumes?
2)Habe ich keine wirkliche Idee. Habe mir die Rangformel angesehen.
Dim(V) = Kern(M)+Rang(M) ... hilft mir nicht wirklich weiter.:/
Kann ich die Dimension des Utervektorraumes und die des dazugehörigen Orthogonalsraumes irgendwie ablesen? Ich kenne das nur mit Urbild und Bidlraum, da war die Anzahl lin. unabhängiger Zeilen/ Spalten die Dimension des Bildraumes/Urbildraumes.

3)Wenn gilt V ist endlicher Vektorraum und es gibt einen Untervektorraum U, dann ist doch quasi $\begin{eqnarray*} V/U = U^\perp \end{eqnarray*}$ , oder?

4) Diese Suche ich. Habe einigen Unsinn mit der Dimensions-und Rangformel angestellt und glaube nicht daran, dass der Rang einer Matrix der Dimension des Orthogonalen Komplements entspricht ....

Ich hoffe ihr könnt mir ein wenig weiterhelfen.... smile

Grüße,

Mimamumei

Meine Ideen:
.

22.04.2012, 23:12

soase

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Du schmeißt viel zu viele Sachen durcheinander.
Die Aufgabe hier hat nicht aber auch gar nichts mit Orthogonalität und Skalarprodukten zu tun.
1) Die Lösungsmenge einer homogenen linearen Gleichung ist immer ein Untervektorraum.
Diese lösungsmenge ist der Unterraum den das LGS definiert.
Ist das LGS nicht homogen, sprich rechts steht nicht der Nullvektor, ist die Lösungsmenge kein Unterraum.
2) Dimensionssatz ist gut. Der Rang ist der Matrix doch schnell anzusehen.

22.04.2012, 23:18

Pepi

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Wenn ich das LGS löse, kann ich das doch so betrachten, dass ich für beide Zeilen einen Vektor suche, der orthogonal zu diesen steht und somit rechts die gewünschten Nullen kombiniert?

22.04.2012, 23:22

soase

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Ja könnte man. Das wäre ein Fall von "warum einfach wenn´s auch total kompliziert geht".
Und außerdem hat nicht Körper ein Skalarprodukt. Der Gauß-Algorithmus funktioniert aber auch ohne Skalarprodukt.

22.04.2012, 23:28

Pepi

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Zitat:

Original von soase
Ja könnte man. Das wäre ein Fall von "warum einfach wenn´s auch total kompliziert geht".

Na, kompliziert ist Ansichtssache. Augenzwinkern

Wenn man so sieht, dass man bloß schauen muss, welche Vektoren orthogonal sind um Elemente zu bekommen ist das doch eine schnelle feine Sache.

Zitat:

Der Gauß-Algorithmus funktioniert aber auch ohne Skalarprodukt.

Das stimmt. Aber wir befinden uns hier in einem Vektorraum mit Skalarprodukt smile

22.04.2012, 23:36

soase

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Zitat:

Na, kompliziert ist Ansichtssache.Augenzwinkern Wenn man so sieht, dass man bloß schauen muss, welche Vektoren orthogonal sind um Elemente zu bekommen ist das doch eine schnelle feine Sache.

Na dann viel Spass bei nicht ganz so banalen Matrizen.

Was ist denn jetzt der Rang der Matrix?

23.04.2012, 12:56

Pepi

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Der Rang der Matrix wäre dann wohl 2.
Gilt die Formel :

$\begin{eqnarray*} V \subset R^6 \end{eqnarray*}$ und der Matrix M

Dimension (V) = Rang(M) + Kern(M) ?

Grüße

23.04.2012, 13:01

Pepi

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Zitat:

Original von soase

1) Die Lösungsmenge einer homogenen linearen Gleichung ist immer ein Untervektorraum.
Diese lösungsmenge ist der Unterraum den das LGS definiert.
Ist das LGS nicht homogen, sprich rechts steht nicht der Nullvektor, ist die Lösungsmenge kein Unterraum.

Aber ist es dann kein affiner Unterraum? sprich eine partikuläre Lsg + Lösungsraum des homogenen LGS?

Zitat:

2) Dimensionssatz ist gut. Der Rang ist der Matrix doch schnell anzusehen.

Die Matrix hat ja die Dimension 6, die Anzahl der Nullzeilen wäre 4 ( da sie keine Information enthalten kann man sie weglassen? ) Sprich: Rang (M) = 6-4 = 2 und die Dimension des Kerns somit 4.

Sprich der Untervektorraum hat die Dimension : 4

Hat der Orthogonalraum zu W dann automatisch Dimension 2? Sozusagen die Differenz zu 6?

23.04.2012, 21:17

soase

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Zitat:

Die Matrix hat ja die Dimension 6, die Anzahl der Nullzeilen wäre 4 ( da sie keine Information enthalten kann man sie weglassen? ) Sprich: Rang (M) = 6-4 = 2 und die Dimension des Kerns somit 4.

Eine Matrix hat keine Dimension. Du meinst wahrscheinlich, dass sie 6 Spalten hat.
Die Matrix hat auch keine 4 Nullzeilen. Beachte hierzu den unterschied der 2 Matrizen:
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1&1&1&1&1\\1&-1&0&0&0&0 \end{pmatrix} \in Mat (2\times 6,K) \end{eqnarray*}$
und
$\begin{eqnarray*} \begin{pmatrix} 1&1&1&1&1&1\\1&-1&0&0&0&0 \\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0\\ 0&0&0&0&0&0 \end{pmatrix} \in Mat(6 \times 6,K) \end{eqnarray*}$ .
Beide haben Rang 2, nur letztere hat 4 Nullzeilen.
(In einem gewissen Sinne enthalten die Nullzeilen Information: über die Größe der Matrix)
Verwende die Def. des Rangs durch: max. Anzahl linear unabhängiger Zeilen/Spalten
(da die Matrix nur 2 Zeilen hat kann der Rang höchstens 2 sein.)

Die berechnete Dimension des Kerns/Umterraums stimmen.

Zitat:

Aber ist es dann kein affiner Unterraum? sprich eine partikuläre Lsg + Lösungsraum des homogenen LGS?

Doch. Aber ein affiner unterraum ist nur dann ein Unterraum wenn er den Nullvektor enthält, und das passiert hier nur bei homogenen Gleichungen.

Auch wenn Orthogonalität nach wie vor nichts mit dem lösen linearer Gleichungssysteme zu tun hat:
Es ist $\begin{eqnarray*} V \cong W \oplus W^\perp \end{eqnarray*}$ für einen Unterraum W von V.
Und damit gilt: $\begin{eqnarray*} dim (V)=dim(W)+dim(W^\perp) \end{eqnarray*}$

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