Bilinearform Beweis

23.04.2012, 13:36	GabbaG	Auf diesen Beitrag antworten »
Bilinearform Beweis Meine Frage: Hallo zusammen, ich habe ein Problem bei folgender Aufgabe: Sei s eine symmetrische Bilinearform auf einem Vektorraum V. Wir nehmen an, dass es Vektoren v, w aus V gibt, so dass s(v,w) ungleich 0. Zeigen Sie, dass es einen Vektor u aus V gibt, so dass s(u,u) ungleich 0. Meine Ideen: ich habe folgendes als Tipp: Schreibe u als Ausdruck in v und w also s(u,u) = s(irgendetwas in v,w, irgendetwas in v,w)? Ich habe auf jedenfall ein ganz großes Problem dabei, wie ich an die Aufgabe rangehen soll. Der Tipp hilft mir nicht weiter, hat jemand einen Ansatz für mich?
23.04.2012, 15:28	Ehos	Auf diesen Beitrag antworten »
Gegeben ist die quadratische Form $\begin{eqnarray} \vec v\cdot V\vec w \end{eqnarray}$ im Koordinatensystem K. In einem gedrehten Koordinatensystem K' hat lautet dieselbe quadratische Form $\begin{eqnarray} \vec v'\cdot V'\vec w' \end{eqnarray}$ . Bekanntlich kann man stets eine solche Drehung finden, dass die Formenmatrix V' in K' diagonal ist, wobei die Diagonalelemente gerade die reellen Eigenwerte dieser Formenmatrix sind, also $\begin{eqnarray} V'=\begin{pmatrix} \lambda_1 & & \\ & ... & \\ & & \lambda_n \end{pmatrix} \end{eqnarray}$ Unter den Diagonalelementen muss mindestes eines ungleich Null sein, also $\begin{eqnarray} \lambda_i\neq 0 \end{eqnarray}$ , weil anderenfalls niemals wie gefordert gelten würde $\begin{eqnarray} \vec v\cdot V\vec w\neq 0 \end{eqnarray}$ . Wenn dies so ist, wählen wir als gesuchten Vektor $\begin{eqnarray} \vec u \end{eqnarray}$ gerade einen Eigenvektor zu diesem Eigenwert $\begin{eqnarray} \lambda_i \end{eqnarray}$ . Das heißt, es soll gelten $\begin{eqnarray} V'\vec u=\lambda_i\vec u \end{eqnarray}$ . Damit gilt in der Tat $\begin{eqnarray} \vec u \cdot V'\vec u=\vec u\cdot \lambda_i \vec u=\underbrace{\lambda_i}_{\neq 0} \underbrace{\vec u\cdot \vec u}_{>0} \end{eqnarray}$ Die rechte Seite ist offenbar reell und wie gefordert ungleich Null.
23.04.2012, 15:38	GabbaG	Auf diesen Beitrag antworten »
Danke dir, den ersten Abschnitt kann ich nicht nachvollziehen, die Aussagen v * V * w und v' * V' * w' waren mir bis jetzt unbekannt. Aber mit diesem Ansatz kann ich den Rest glaube ich nachvollziehen, danke dir!

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